1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷3 至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题 共 40 分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 ，集合 ， ，那么集合UR|23Ax |1
2、4Bx或等于（ ）ABA B|24x |4x或 C D|1 |13 2若 ， ， ，则（ ）0.5alog3b2lsin5cA B C Dcacabbca3 “函数 存在反函数 ”是“函数 在 上为增函数”的（ ）()fxR()fxRA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4若点 到直线 的距离比它到点 的距离小 1，则点 的轨迹为（ ）P1x(20)， PA圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线5若实数 满足 则 的最小值是（ ）xy， 0， 23xyzA0 B1 C D96已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于（ na*pqN， pqqa26a10a）A
3、B C D16530217过直线 上的一点作圆 的两条切线 ，当直线 关于yx2(5)()xy12l， 12l，对称时，它们之间的夹角为（ ）A B C D30456098如图，动点 在正方体 的对角线 上过点 作垂直于平面P1AB1P的直线，与正方体表面相交于 设 ， ，则函数1DMN， xNy的图象大致是（ ）()yfx2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）第卷（共 110 分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2答卷前将密封线内的项目填写清楚二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上9已知 ，其中 是虚数单
4、位，那么实数 2()aii a10已知向量 与 的夹角为 ，且 ，那么 的值为 b1204b(2)Ab11若 展开式的各项系数之和为 32，则 ，其展开式中的常数231nx n项为 （用数字作答）12如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为()fABC， ，则 ；(04)26， ， ， ， ， 0f （用数字作答）01()limxff13已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件：2()cosfxx2， 12x，A BCD MNPA1 B1C1D1 yxAOyxBOyxCOyxDO2BCAyx1O 3 4 5 61234 ； ； 12x21x12x其中能使 恒成立的条件序号是 2()ff
5、14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植k在点 处，其中 ， ，当 时，()kkPxy， 1x1y2k1552kkTky，表示非负实数 的整数部分，例如 ， ()Taa(.6)2T(0.)按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题共 13 分）已知函数 （ ）的最小正周期为 2 ()sin3sin2fxx0（）求 的值；（）求函数 在区间 上的取值范围()fx03，16 （本小题共 14 分）如图，在三棱锥 中， ， ， ，P
6、ABC290ACBPABC（）求证： ；（）求二面角 的大小；（）求点 到平面 的距离17 （本小题共 13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 四个不同的岗位服务，每个岗位至ABCD， ， ，ACBP少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率；A（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量 为这五名志愿者中参加 岗位服务的人数，求 的分布列 18 （本小题共 13 分）已知函数 ，求导函数 ，并确定 的单调区间2()1xbf()fx()fx19 （本小题共 14 分）已知菱形 的顶点 在椭圆 上，对角线 所在直线的斜率为 1ABCD， 234xyBD（）当直线 过
7、点 时，求直线 的方程；(01)， AC（）当 时，求菱形 面积的最大值6BD20 （本小题共 13 分）对于每项均是正整数的数列 ，定义变换 ， 将数列 变换成数列12nAa： ， ， ， 1TA1()TA： 12nna， ， ， ，对于每项均是非负整数的数列 ，定义变换 ， 将数列 各项从大到12mBb： ， ， ， 2B小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 ；()T又定义 22121()mmSBbb 设 是每项均为正整数的有穷数列，令 0A21()0)kkA， ， ，（）如果数列 为 5，3，2，写出数列 ；0 ，（）对于每项均是正整数的有穷数列 ，证明 ；1()(STA（）证明：对于
8、任意给定的每项均为正整数的有穷数列 ，存在正整数 ，当0K时， kK 1()(kkSA2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1 D 2A 3B 4D 5B 6C 7C 8B二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9 10 115 10 120213 14 (1)， 2)，三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15 （共 13 分）解：（） 1cos23()sin2xfxx31sin2cos2xxsin26因为函数 的最小正周期为 ，且 ，()fx0所以 ，解得 2
9、1（）由（）得 1()sin26fx因为 ，03 所以 ，7266x 所以 ，1sin1 因此 ，即 的取值范围为 30i262x ()fx302，16 （共 14 分）解法一：（）取 中点 ，连结 ABDPC，P，C，平面 ABPDA C BDPACBEP平面 ，PCDAB（） ， ，PB 又 ，又 ，即 ，且 ，90ACBCAPC平面 P取 中点 连结 E， 是 在平面 内的射影，CA是二面角 的平面角BC在 中， ， ， ，E 902B36EAB6sin3B二面角 的大小为 APC6arcsin3（）由（）知 平面 ，D平面 平面 B过 作 ，垂足为 H平面 平面 ，APP平面 C的长即
10、为点 到平面 的距离AB由（）知 ，又 ，且 ，CAC平面 P平面 ，DC在 中， ， ，Rt 12AB36PDB2P3CDHA A C BDP H点 到平面 的距离为 CAPB23解法二：（） ， ， 又 ，PCB，A平面 平面 ，（）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 CCxyz则 (0)(20)()AB， ， ， ， ， ， ， ，设 Pt， ，B， 2t(0)， ，取 中点 ，连结 APEC， ，CBP， A是二面角 的平面角B， ， ，(01)E， ， (01)， ， (21)E， ，3cos6CBA二面角 的大小为 Parcos3（） ，ACB在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的
11、长为点 到平面 的距APB HCAPB离如（）建立空间直角坐标系 Cxyz，2BHE点 的坐标为 23， ，ACBPzxyHE23CH点 到平面 的距离为 APB2317 （共 13 分）解：（）记甲、乙两人同时参加 岗位服务为事件 ，那么 ，AAE32451()0APC即甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率是 140（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 ，那么 ，4251()0A所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 9()1PE（）随机变量 可能取的值为 1，2 事件“ ”是指有两人同时参加 岗位服务，2则 2354()CAP所以 ， 的分布列是1()1 3P418 （共 13 分）
12、解：24(1)()(1)xbxfA32()bx31()令 ，得 0fxb当 ，即 时， 的变化情况如下表：1b2()fxx(1)b， (1)b， ()，)f0 当 ，即 时， 的变化情况如下表：1b2(x1)， ()b， 1()b，()fx0 所以，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，2b()， ()，在 上单调递减(1)，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上()fx1)， (1)b， (1)b，单调递减当 ，即 时， ，所以函数 在 上单调递减，在1b22()fx()fx1)，上单调递减()，19 （共 14 分）解：（）由题意得直线 的方程为 BD1yx因为四边形
13、 为菱形，所以 ACAC于是可设直线 的方程为 n由 得 234xyn， 226340x因为 在椭圆上，AC，所以 ，解得 216403n设 两点坐标分别为 ， 12()xy， ， ，则 ， ， ， 123nx2141xn2yxn所以 12y所以 的中点坐标为 AC34n，由四边形 为菱形可知，点 在直线 上， ABCD34n， 1yx所以 ，解得 314n2所以直线 的方程为 ，即 yx20y（）因为四边形 为菱形，且 ，ABCD6ABC所以 所以菱形 的面积 23S由（）可得 ，222112316()()nACxy所以 2343(6)4Snn所以当 时，菱形 的面积取得最大值 0ABCD4
14、320 （共 13 分）（）解： ，0532： ， ，10()4TA： ， ， ，；210： ， ， ，1()3： ， ， ， ，214AT： ， ， ，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列 为 ，A12na， ， ，则 为 ， ， ， ， ，1()n1a2 n从而 112()()3()(1)nSTAaa22nna又 ，22121()n 所以 1()(STA1223)()nnna 212()na，2()0故 1(STA（）证明：设 是每项均为非负整数的数列 12na， ， ，当存在 ，使得 时，交换数列 的第 项与第 项得到数列 ，ijn ija AijB则 ()2()jiijSBAi()0jii当存在 ，使得 时，若记数列 为 ，1m 120mna 12ma， ， ， C则 ()C所以 2()STA从而对于任意给定的数列 ，由012()012)kkAT， ， ，可知 11()()kk又由（）可知 ，所以 ()kST1()()kkSA即对于 ，要么有 ，要么有 kN1A1S因为 是大于 2 的整数，所以经过有限步后，必有 ()kA 2()()kkkA即存在正整数 ，当 时， Kk 1()(kkSA
