1、吉林建筑大学电气与电子信息工程学院数字信号处理课程设计报告设计题目： IIR 数字滤波器的设计 专业班级： 信工 101 学生姓名： 岳跃斌 学 号： 10210127 指导教师： 高晓红 王超 设计时间： 2014.01.062014.01.10 教师评语：成绩 评阅教师 日期 一、 设计目的课程设计是理论学习的延伸，是掌握所学知识的一种重要手段，对于贯彻理论联系实际、提高学习质量、塑造自身能力等于有特殊作用。本次课程设计一方面通过 MATLAB 仿真设计内容，使我们加深对理论知识的理解，同时增强其逻辑思维能力，另一方面对课堂所学理论知识作一个总结和补充。二、设计内容通过课程设计各环节的实践
2、，达到如下要求：1.掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计 IIR 数字滤波器以及窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理、具体方法及计算机编程2.观察双线性变换法、脉冲响应不变法及窗函数法设计的滤波器的频域特性，了解各种方法的特点3.用 MATLAB 画出三种方法设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查结果是否满足要求。三、设计原理3.1 数字低通滤波器的设计原理3.1.1 滤波器的概念滤波器是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的交流电。您可以通过基本的滤波器积木块-二阶通用滤波器传递函数，推导出最通用的滤波器类型：低通、带通、高通、帯阻和椭圆型滤波器。传递函数
3、的参数f0、d、hHP、hBP 和 hLP，可用来构造所有类型的滤波器。转降频率 f0 为 s 项开始占支配作用时的频率。设计者将低于此值的频率看作是低频，而将高于此值的频率看作是高频，并将在此值附近的频率看作是带内频率。阻尼 d 用于测量滤波器如何从低频率转变至高频率，它是滤波器趋向振荡的一个指标。实际阻尼值从 0 至 2 变化。高通系数 hHP 是对那些高于转降频率的频率起支配作用的分子的系数。带通系数 hBP 是对那些在转降频率附近的频率起支配作用的分子的系数。低通系数 hLP 是对那些低于转降频率的频率起支配作用的分子的系数。设计者只需这 5 个参数即可定义一个滤波器。3.1.2 滤波
4、器的发展过程凡是有能力进行信号处理的装置都可以称为滤波器。在近代电信装备和各类控制系统中，滤波器应用极为广泛；在所有的电子部件中，使用最多，技术最复杂要算滤波器了。滤波器的优劣直接决定产品的优劣，所以，对滤波器的研究和生产历来为各国所重视。1917 年美国和德国科学家分别发明了 LC 滤波器，次年导致了美国第一个多路复用系统的出现。50 年代无源滤波器日趋成熟。自 60 年代起由于计算机技术、集成工艺和材料工业的发展，滤波器发展上了一个新台阶，并且朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价廉方向努力，其中小体积、多功能、高精度、稳定可靠成为 70 年代以后的主攻方向，导致 RC 有源滤波
5、器 、数字滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种滤波器的飞速发展。到 70 年代后期，上述几种滤波器的单片集成被研制出来并得到应用。80 年代致力于各类新型滤波器性能提高的研究并逐渐扩大应用范围。90 年代至今在主要致力于把各类滤波器应用于各类产品的开发和研制。当然，对滤波器本身的研究仍在不断进行。我国广泛使用滤波器是 50 年代后的事，当时主要用于话路滤波和报路滤波。经过半个世纪的发展，我国滤波器在研制、生产应用等方面已有一定进步，但由于缺少专门研制机构，集成工艺和材料工业跟不上来，使许多新型滤波器的研制应用与国际水平有一段距离。3.1.3 滤波器的原理凡是可以使信号中特定的频率成分通过，
6、而极大地衰减或抑制其他频率成分的装置或系统都称之为滤波器，相当于频率“筛子”。 滤波器的功能就是允许某一部分频率的信号顺利的通过，而另外一部分频率的信号则受到较大的抑制，它实质上是一个选频电路。滤波器中，把信号能够通过的频率范围，称为通频带或通带；反之，信号受到很大衰减或完全被抑制的频率范围称为阻带；通带和阻带之间的分界频率称为截止频率；理想滤波器在通带内的电压增益为常数，在阻带内的电压增益为零；实际滤波器的通带和阻带之间存在一定频率范围的过渡带。理想滤波器与实际滤波器：a理想滤波器的频率特性理想滤波器:使通带内信号的幅值和相位都不失真,阻喧内的频率成分都衰减为零的滤波器，其通带和阻带之间有明
7、显的分界线。如理想低通滤波器的频率响应函数为或 0()()jwtCHjAlW()0CHjwW理想滤波器实际上并不存在。b实际滤波器实际滤波器的特性需要以下参数描述：1）恒部平均值 A0：描述通带内的幅频特性；波纹幅度：d。2）上、下截止频率：以幅频特性值为 A0/2 时的相应频率值 WC1，WC2 作为带通滤波器的上、下截止频率。带宽 。21CBW因为 所以 也称“-3dB”带宽0lg3AdB3）选择性：实际滤波器过渡带幅频曲线的倾斜程度表达了滤波器对通带外频率成分的衰减能力，用信频程选择性和滤波器因素 描述。信频程选择性：与上、下截止频率处相比，频率变化一倍频程时幅频特性的衰减量，即倍频程选
8、择性：= 或 =220lg()(CAW信频程选择性总是小于等于零，显然，计算信量的衰减量1120lg()(CAW越大，选择性越好。滤波器因素 ：60dB 处的带宽与3dB 处的带宽之比值，即 越小,选择性越好.分辨力：即分离信号中相邻频率成分的能力，用品质因素 Q 描述。1203CdBWQQ 越大，分辨率越高。c实际带通滤波器的形式1）恒定带宽带通滤波器:B=常量，与中心频率 f0 无关。2）恒定百分比带通滤波器：在高频区恒定百分比带通滤波器的分辨率比恒定带宽带通滤波器差。3.1.4 滤波器的分类从大的方面分，滤波器分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器有电阻，电容，电感，及由原器件构成；实际
9、中数字滤波器应用的比较广泛。从实现方法上分，数字滤波器分为 IIR 和 FIR，即无限冲激响应滤波器和有限冲激响应滤波器；其中 IIR 网络中有反馈回路，FIR 网络中没有反馈回路。从小的方面分：a.按所处理的信号分为模拟滤波器和数字滤波器两种。 b.按所通过信号的频段分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。 低通滤波器：它允许信号中的低频或直流分量通过，抑制高频分量或干扰和噪声。 高通滤波器：它允许信号中的高频分量通过，抑制低频或直流分量。 带通滤波器：它允许一定频段的信号通过，抑制低于或高于该频段的信号、干扰和噪声。 带阻滤波器：它抑制一定频段内的信号，允许该频段以外的信号通过。 c.按所采
10、用的元器件分为无源和有源滤波器两种: 无源滤波器： 仅由无源元件(R、L 和 C)组成的滤波器，它是利用电容和电感元件的电抗随频率的变化而变化的原理构成的。这类滤波器的优点是：电路比较简单，不需要直流电源供电，可靠性高；缺点是：通带内的信号有能量损耗，负载效应比较明显，使用电感元件时容易引起电磁感应，当电感 L 较大时滤波器的体积和重量都比较大，在低频域不适用。 有源滤波器：由无源元件(一般用 R 和 C)和有源器件(如集成运算放大器）组成。这类滤波器的优点是：通带内的信号不仅没有能量损耗，而且还可以放大，负载效应不明显，多级相联时相互影响很小，利用级联的简单方法很容易构成高阶滤波器，并且滤波
11、器的体积小、重量轻、不需要磁屏蔽(由于不使用电感元件）；缺点是：通带范围受有源器件(如集成运算放大器）的带宽限制，需要直流电源供电，可靠性不如无源滤波器高，在高压、高频、大功率的场合不适用。 滤波器种类繁多，下面着重介绍近年来发展很快的几种滤波器。a.有源滤波器有源滤波器由下列一些有源元件组成：运算放大器、负电阻、负电容、负电感、频率变阻器（FDNR）、广义阻抗变换器（GIC）、负阻抗变换器（NIC）、正阻抗变换器（PIC）、负阻抗倒置器（NII）、正阻抗倒置器（PII）、四种受控源，另外，还有病态元件极子和零子。b.开关电容滤波器（SCF）SCF 具有下列一些优点：可以大规模集成；精度高；功
12、能多，几乎所有电子部件和功能均可以由 SC 技术来实现；比数字滤波器简单，因为不需要A/D，D/A 转换；功能小，可以做到。 SCF 的应用情况：以声频范围应用为主体，工作频率在 100KHz 之内；在信号处理方面的应用有：程控 SCF、模拟信号处理、振动分析、自适应性滤波器、音乐综合、共振谱、语言综合器、音调选择、语声编码、声频分析、均衡器、解调器、锁相电路、离散傅氏变换。总之，SCF 在仪表测量、医疗仪器、数据或信息处理等许多领域都有广泛的应用前景。c.几种新型数字滤波器（DF）1)自适应 DF自适应 DF 具有很强的自学习、自跟踪功能。它在雷达和声纳的波束形成、缓变噪声干扰的抑制、噪声信
13、号的处理、通信信道的自适应均衡、远距离电话的回声抵消等领域获得了广泛的应用，促进了现代控制理论的发展。自适应 DF 有如下一些简单算法：W-LMS 算法；M-LMS 算法；TDO 算法；差值 LMS 算法和 C-LMS 算法。2)复数 DF在输入信号为窄带信号处理系统中，常采用复数 DF 技术。为了降低采样率而保存信号所包含的全部信息，可利用正交双路检波法，取出窄带信号的复包络，然后通过 A/D 变换，将复包络转化为复数序列进行处理，这个信号处理系统即为复数 DF。它具有许多功能。MTI 雷达中抑制具有卜勒频移的杂波干扰；数字通信网与模拟通信网之间多路 TDM/FDM 信号变换复接等等。 3)
14、多维 DF在图象处理、地震、石油勘探的数据处理中都用到多维 DF（常用是二维DF），多维 DF 的设计，往往将一维 DF 优化设计直接推广到多维 DF 中去。对于模糊和随机噪声干扰的二维图象的处理，多维 DF 也能发挥很好的作用。d.其它新型滤波器1)电控编程 CCD 横向滤波器（FPCCDTF）电荷耦合器（CCD）固定加权的横向滤波器（TF）在信号处理中，其性能和造价均可与数字滤波器和各种信号处理部件媲美。这种滤波器主要用于自适应滤波；P-N 序列和 Chirp 波形的匹配滤波；通用化的频域滤波器以及作相关、褶积运算；语音信号和相位均衡；相阵系统的波束合成和电视信号的重影消除等。2)晶体滤波
15、器 它是适应单边带技术而发展起来的。在 70 年代，集成晶体滤波器的产生，使它发展产生一个飞跃，近十年来，对晶体滤波器致力于下面一些研究：实现最佳设计，除具有优良的选择外，还具有良好的时域响应；寻求新型材料；扩展工作频率；改造工艺，使其向集成化发展。它广泛应用于多路复用系统中作为载波滤波器，在收发信中、单边带通信机中作为选频滤波器，在频谱分析仪和声纳装置中作为中频滤波器。3)声表面波滤波器 它是理想的超高频器件。它的幅频特性和相位特性可以分别控制，以达到要求，体积小，长时间稳定性好和工艺简单。通常应用于：电视广播发射机中作为残留边带滤波器；彩色电视接收机中调谐系统的表面梳形滤波器，此外，在国防
16、卫星通信系统中已广泛采用。声表面波滤波器是电子学和声学相结合的产物，而且可以集成。所以，它在所有无源滤波器中最有发展前途。3.2 变换方法的原理3.2.1 脉冲响应不变法脉冲响应不变法的设计原理是使数字滤波器的单位抽样响应序列 h(n)，模仿模拟滤波器的脉冲响应 g(t)。设系统传递函数为 G(s)的模拟滤波器的单位脉冲响应为 g(t),并将脉冲响应 g(t)进行等间隔采样，使得数字滤波器的单位抽样响应 h(n)刚好等于 g(t)的采样值，即：(3-1)0|nssTt Tnhtgnhs其中的 为采样周期。TsG(s)是模拟滤波器的系统传递函数，又令 H(z)是数字滤波器的系统传递函数。采样信号
17、的拉式变换与相应的采样序列 Z 变换的映射关系为：(3-2)ezsT所以系统函数 G(s)和 H(z)的关系为：(3-3)kssez jGHsT1|式(3-3)的物理意义为首先将模拟滤波器的系统函数 G(s)作周期的延拓，在经过式(3-2)的映射变换，映射到 Z 平面上，从而得到数字滤波器的系统函数H(z)。且模拟和数字频率满足下列关系：=T。经过式(3-2)的映射，s 平面的左半平面映射为 Z 平面的单位圆内，因此，一个因果的和稳定的模拟滤波器映射成因果的和稳定的数字滤波器。经过以上分析，按照脉冲响应不变法，通过模拟滤波器的系统传递函数G(s)，可直接求得数字滤波器系统函数 H(Z),其设计
18、具体步骤归纳如下：(1)利用 =T（可由关系式 推出） ，将数字滤波器指标 ， 转ezsTPS换为模拟滤波器指标 ，PS(2)根据指标 ， 来设计模拟滤波器 G(s)(3)利用部分分式展开法，把 G(s)展成(3-4)NkkPsAG1(4)最后把模拟极点 转换为数字极点 ，得到数字滤波器：PkeTSk(3-5)NkTSkZAzH11根据上述理论，将举例在 MATLAB 环境下用函数实现脉冲响应不变法设计一数字低通滤波器。其函数为b,a=impinvar(c,d,T) ，其中， b 表示数字滤波器自变量为 的分子多项式，a 表示数字滤波器自变量为 的分母多项式，c 表示模Z1 Z1拟滤波器自变量
19、为 s 的分子多项式,d 表示模拟滤波器自变量为 s 的分母多项式，T 表示采样变换参数。3.2.2 双线性 Z 变换法利用脉冲响应不变法设计数字滤波器时，由于 =T 的频率关系是根据推导的，所以是 轴每隔 2/T 便映射到单位圆上一周，引起了频域混ezsTj叠。为克服这一现象，人们找到了另一种映射关系：(3-6)12ZTS此关系称为双线性 Z 变换法。双线性 Z 变换法的基本思路是：首先将整个 s 平面压缩到 s1 平面的一条带宽为 2/T（丛-/T 到 /T）的横带里，然后通过标准的变化关系 将横ezsT带变换成整个 Z 平面上去，这样就得到 s 平面与 Z 平面间的一一对应的单值关系，整
20、个过程如图 2-8 所示j j1 jIm(Z)/T0 0 0 1 -/Ts 平面 s1 平面 Z 平面图 1 双线性 Z 变换法的映射关系由式(3-6)得 (3-7)sT2/及 (3-8)tan(3-9)/rc式(3-6)及式(3-7)给出了 s 和 z 之间的映射关系，而式(3-8) 和式(3-9)给出了 和 之间的映射关系，但这是一种非映射关系，双线性 Z 变换法正是利用了正切函数的非线性特点，把整个 j 轴压缩到了单位圆的一周上。在 MATLAB 中，双线性 Z 变换可通过 bilinear 函数实现,其调用格式为：Bz,Az=bilinear(B,A,Fs)，其中 B,A 为模拟滤波器
21、的传递函数 G(s)的分子分母多项式系数分量，而 Bz,Az 为数字滤波器的传递函数 H(Z)的分子分母多项式的系数分量。四、设计步骤IIR 数字滤波器技术设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表可供查询，因此充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大方便。滤波器设计最重要的是寻找一个稳定、因果的系统函数去逼近滤波器的技术指标，因此模拟滤波器的设计十分重要。实际中，有三种广泛应用的滤波器，即巴特沃斯低通滤波器、切比雪夫低通滤波器，椭圆低通滤波器。4.1 巴特沃斯低通滤波器设计巴特沃斯滤波器拥
22、有最平滑的频率响应，在截止频率以外，频率响应单调下降。在通带中是理想的单位响应，在阻带中响应为 0。在截止频率处有 3dB的衰减。巴特沃斯滤波器除了具有平滑单调递减的频率响应的优点之外，其过渡带的陡峭程度正比于滤波器的阶数。高阶巴特沃斯滤波器的频率响应近似于理想低通滤波器。巴特沃斯(Butterworth)低通滤波器是将巴特沃斯函数作为滤波器的传递函数 ，它的平方幅度函数为：|)(|2jG(4-1) NcjG221|)(| 式中, 为滤波器频率， 为 3dB 截止频率，N 表示滤波器的阶次。cMATLAB 信号处理工具箱为低通模拟巴特沃斯滤波器的产生提供了函数buttap,其调用的格式为：z,
23、p,k=buttap(N)，其中，z 表示零点,p 表示极点,k 表示增益，N 表示阶次。%设模拟低通巴特沃斯滤波器，通带纹波为 Rp=1dB,通带上限角频率p=0.2,阻带下限角频率 s=0.3，带阻最小衰减 s=15dB，根据该低通模拟滤波器，利用冲激响应不变法设计相应的数字低通滤波器wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;As=15;T=1; %采样周期%性能指标Rip=10(-Rp/20);Atn=10(-As/20);OmgP=wp*T;OmgS=ws*T;N,OmgC=buttord(OmgP,OmgS,Rp,As,s); %选取模拟滤波器的阶数cs,ds=butter(
24、N,OmgC,s); %设计出所需的模拟低通滤波器b,a=impinvar(cs,ds,T); %应用脉冲响应不变法进行转换 db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a); %求得相对，绝对频响及相位、群延迟响应%绘制各条曲线subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);title(幅频特性);xlabel(w(/pi);ylabel(|H(jw)|);axis(0,1,0,1.1);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0 0.2 0.3 0.5 1);set(gca,YTickMode,manual,YTick,0 Atn Rip 1);
25、gridsubplot(2,2,2);plot(w/pi,db);title(幅频特性(dB);xlabel(w(/pi);ylabel(dB);axis(0,1,-40,5);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0 0.2 0.3 0.5 1);set(gca,YTickMode,manual,YTick,-40 -As -Rp 0);gridsubplot(2,2,3);plot(w/pi,pha/pi);title(相频特性);xlabel(w(/pi);ylabel(pha(/pi);axis(0,1,-1,1);set(gca,XTickMode,manua
26、l,XTick,0 0.2 0.3 0.5 1);gridsubplot(2,2,4);plot(w/pi,grd);title(群延迟);xlabel(w(/pi);ylabel(Sample);axis(0,1,0,12);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0 0.2 0.3 0.5 1);grid%本设计用到的 M 文件函数functiondb,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a)%滤波器幅值响应（绝对、相对） 、相位响应及群延迟%Usage:db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a) %500 点对应0,pi%db 相对幅值响
27、应； mag 绝对幅值响应； pha 相位响应； grd 群延迟响应；%w 采样频率； b 系统函数 H(z)的分子项%a 系统函数 H(z)的分母项H,w=freqz(b,a,500); %500 点的幅频响应mag=abs(H);db=20*log10(mag/max(mag);pha=angle(H);grd=grpdelay(b,a,w);图 2 脉冲响应不变法设计数字低通滤波器的特性(基于 MATLAB 实现)%使用双线性 Z 变换设计一低通数字滤波器，fp=100HZ,fs=300HZ，p=3dB,s=20dB,抽样频率为 Fs=1000HZfp=100;fs=300;Fs=100
28、0;rp=3;rs=20; wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;Fs=Fs/Fs %使 Fs 为一wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);n,wn=buttord(wap,was,rp,rs,s)z,p,k=buttap(n);bp,ap=zp2tf(z,p,k)bs,as=lp2lp(bp,ap,wap)bz,az=bilinear(bs,as,Fs/2)H,w=freqz(bz,az,256,Fs*1000);图 3 双线性 Z 变换设计数字低通滤波器的特性(基于 MATLAB 实现)总结以上，脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即 =T，如不考
29、虑频率混叠现象，用这种方法设计数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率响应。另外一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域逼近好。但其也具有很大的缺点，若抽样频率不高或其它原因将产生混叠失真，不能重现原模拟滤波器频率响应。所以，脉冲响应不变法适合低通、带通滤波器设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。五、 数字低通滤波器 MATLAB 编程及幅频特性曲线 5.1 MATLAB 语言编程5.1.1 MATLAB 软件简介MATLAB 是英文 Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写，它是由美国MathWorks 公司推出的用于数值计算和图形处理的数学计算环
30、境。在 MATLAB 环境下，用户可以集成的进行程序设计、数值计算、图形绘制、输入输出、文件管理等各项操作。它优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其在同类软件中脱颖而出。MATLAB 系统最初由 Cleve Moler 用 FORTRAN 语言设计，现在的 MATLAB 程序是由 MathWorks 公司用 C 语言开发的。它的第一版（DOS 版本 1.0）发行于1984 年，经过多年的改进，版本不断升级，其所包含的工具箱功能也越来越丰富，应用越广泛。MATLAB 语言之所以能如此迅速的普及，显示出如此旺盛的生命力，是由于它有着不同于其他语言的特点，归纳如下：1、简单易学：MATLAB
31、不仅是一个开发软件，也是一门编程语言。其语法规则与结构化高级编程语言(如 C 语言等)大同小异，而且使用更为简便。用MATLAB 编程写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题，所以被称为演算纸式科学算法语言。2、计算功能强大：MATLAB 拥有庞大的数学、统计及工程函数，可使用户立刻实现所需的强大数学计算功能。由各领域的专家学者们开发的数值计算程序，使用了安全、成熟、可靠的算法，从而保证了最快的运算速度和可靠的结果。此外，MATLAB 还有数十个工具箱，可解决应用中的大多数数学、工程问题。3、先进的可视化工具：MATLAB 提供功能强大的、交互式的二维和三维绘图功能，可使用户创建富有表现力的彩
32、色图形。可视化工具包括曲面渲染、线框图、伪彩图、光源、图像显示、动画等。4、开放性、可扩展性强：M 文件是可见的 MATLAB 程序，所以用户可以查看源代码。开放的系统设计使用户能够检查算法的正确性，修改已存在的函数，或者加入自己的新部件。5、特殊应用工具箱：MATLAB 的工具箱加强了对工程及科学中特殊应用的支持。工具箱也和 MATLAB 一样是完全用户化的，可扩展性强。将某个或几个工具箱与 MATLAB 联合使用，可以得到一个功能强大的计算组合包，满足用户的特殊要求。MATLAB 数字信号处理工具箱和滤波器设计工具箱专门应用于信号处理领域。工具箱提供了丰富而简便的设计，使原来繁琐的程序设计
33、简化成函数的调用。只要以正确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，便可以得到正确的设计结果，使用非常方便。5.2 幅频特性曲线%巴特沃斯低通模拟滤波器clear all;n=0:0.01:2;for i=1:4switch icase 1N=2;case 2N=5;case 3N=10;case 4N=20;endz,p,k=buttap(N); %函数 buttap-设计巴特沃斯低通滤波器b,a=zp2tf(z,p,k); %函数 zp2tf-零极点增益模型转换为传递函数模型H,w=freqs(b,a,n); %函数 freqs-求解模拟滤波器频率响应magH2=(abs(H).2
34、; %函数 abs-取模值函数 hold on %函数 hold-控制是否保持当前图形plot(w,magH2) %函数 plot-画二维线性图axis(0 2 0 1); %函数 axis-控制坐标轴比例和外观endxlabel(w/wc);ylabel(|H(jw)|2);title(巴特沃斯低通模拟滤波器);grid on由此得出的巴特沃斯低通模拟滤波器的平方幅度响应曲线如图所示：图 4 巴特沃斯滤波器的幅频特性(基于 MATLAB 实现)由图 2-1 可清楚地分析出，巴特沃斯滤波器拥有平滑的频率响应，在截止频率以外，频率响应单调下降。其过渡带的陡峭程度正比于滤波器的阶数，高阶巴特沃斯滤
35、波器的频率响应近似于理想低通滤波器。由图 2-1 所示，对 N=2阶滤波器和 N=20 阶滤波器的平方幅度响应进行比较后，证明了高阶巴特沃斯滤波器有着更好的幅度特性，更接近理想低通滤波器。5.3 频带变换及其 MATLAB 实现除了低通数字滤波器之外，实际中还常常需要高通、带通、及带阻数字滤波器。设计这三种滤波器的方法有很多，例如基于模拟滤波器转换法的 IIR 数字滤波器设计，基于直接数字域法的 IIR 数字滤波器设计等等。下面将具体介绍基于滤波器转换法的 IIR 数字滤波器设计直接由模拟低通滤波器转换成数字高通、带通或带阻滤波器。5.3.1 模拟低通滤波器转换成数字高通滤波器若已知模拟低通滤
36、波器的系统传递函数为 G(s)，则模拟低通滤波器 s 平面到数字高通滤波器的 Z 平面的变换公式为：(5-1)ZTS12频率变换公式为：(5-2)2cotTS从而得到数字高通滤波器的传递函数表达式为：(5-3)|12ZTSsGzH接下来，基于 MATLAB 利用巴特沃斯模拟滤波器举例，设计一数字高通滤波器，要求通带截止频率为通带截至频率为 0.6,通带内衰减不大于 1dB,阻带起始频率为 0.4，阻带内衰减不小于 15dB,采样周期为 Ts=1。clear all;Wp=0.6*pi;Ws=0.4*pi;Ap=1;As=15;N,wn=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Ap,As) %计
37、算巴特沃斯滤波器阶次和截至频率b,a=butter(N,wn,high); %频率变换法设计巴特沃斯高通滤波器b0,B,A=dir2cas(b,a) %数字高通滤波器级联型db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a) %数字滤波器响应subplot(211);plot(w/pi,mag);title(高通数字滤波器幅频响|H(ejOmega)|)subplot(212);plot(w/pi,db);title(高通数字滤波器幅频响(db)其 MATLAB 运行结果为：b0 =0.0751B = 1.0000 -2.0000 1.00001.0000 -2.0000 1.0000A
38、 = 1.0000 0.1562 0.44881.0000 0.1124 0.0425所以由巴特沃斯模拟滤波器设计的数字高通滤波器的传递函数表达式为：ZZZH 212121045048.0562.7 图 5 基于巴特沃斯模拟滤波器设计的数字高通滤波器的幅频响应曲线5.3.2 模拟低通滤波器转换成数字带通滤波器若已知模拟低通滤波器的系统传递函数为 G(s)，则模拟低通滤波器 s 平面到数字带通滤波器的 Z 平面的变换公式为：(5-4)ZS1cos220频率变换公式为：(5-5)sin0其中：(5-6)2cos0lh式中 为下截止频率， 为上截止频率。l h从而可得数字带通滤波器的传递函数表达式为
39、：(5-7)|1cos220ZSGZH接下来，基于 MATLAB 利用巴特沃斯模拟滤波器举例，设计一数字带通滤波器，要求带通上下截止频率为 0.4,0.3,带通内衰减不大于 3dB，阻带上下起始频率为 0.5，0.2，阻带内衰减不小于 18dB。clear all;Wp=0.3*pi,0.4*pi;Ws=0.2*pi,0.5*pi;Ap=3;As=18;N,wn=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Ap,As); %计算巴特沃斯滤波器阶次和截至频率b,a=butter(N,wn,bandpass); %频率变换法设计巴特沃斯带通滤波器b0,B,A=dir2cas(b,a) %数字带通滤波器
40、级联型db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a); %数字滤波器响应subplot(211);plot(w/pi,mag);title(带通数字滤波器幅频响|H(ejOmega)|)subplot(212);plot(w/pi,db);title(带通数字滤波器幅频响(db)其 MATLAB 运行结果为：b0 =0.0213B = 1.0000 -2.0000 1.00001.0000 2.0000 1.0000A = 1.0000 -0.6249 0.78401.0000 -1.0053 0.8061所以由巴特沃斯模拟滤波器设计的数字带通滤波器的传递函数表达式为：（5.8）Z
41、ZZH8061.53.17840.629.01213212 图 6 基于巴特沃斯模拟滤波器设计的数字带通滤波器的幅频响应曲线2.3.3 模拟低通滤波器转换成数字带阻滤波器若已知模拟低通滤波器的系统传递函数为 G(s)，则模拟低通滤波器 s 平面到数字带阻滤波器的 Z 平面的变换公式为：(5-9)ZS201cos2频率变换公式为：(5-10)in0其中：(5-11)2cos0lh式中 为下截止频率， 为上截止频率。l h从而可得数字带阻滤波器的传递函数表达式为：(5-12)|201cos2ZSsGZH接下来，基于 MATLAB 利用巴特沃斯模拟滤波器举例，设计一数字带通滤波器，要求通带上下截止频
42、率为 0.8,0.2,通带内衰减不大于 1dB，阻带上下起始频率为 0.7，0.4，阻带内衰减不小于 30dB。clear all;Wp=0.4*pi,0.7*pi;Ws=0.2*pi,0.8*pi;Ap=1; As=30;N,wn=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Ap,As); %计算巴特沃斯滤波器阶次和截至频率b,a=butter(N,wn,stop); %频率变换法设计巴特沃斯带阻滤波器b0,B,A=dir2cas(b,a) %数字带阻滤波器级联型db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a); %数字滤波器响应subplot(211);plot(w/pi,mag);
43、title(数字带阻滤波器幅频响|H(ejOmega)|)subplot(212);plot(w/pi,db);title(数字带阻滤波器幅频响(db)其 MATLAB 运行结果为：b0 =0.1054B =1.0000 0.3563 1.00211.0000 0.3548 0.99681.0000 0.3527 1.00531.0000 0.3496 0.99481.0000 0.3475 1.00321.0000 0.3460 0.9979A =1.0000 1.1450 0.80871.0000 0.8469 0.50871.0000 0.4608 0.29431.0000 -0.022
44、2 0.26311.0000 -0.3959 0.45081.0000 -0.6617 0.7750图 7 基于巴特沃斯模拟滤波器设计的数字带阻滤波器的幅频响应曲线六、总结这一课程设计主要是用 MATLAB 语言进行 IIR 滤波器的设计和实现。IIR 滤波器的设计步骤分为三步，即模拟低通滤波器设计，模拟-数字滤波器变换，滤波器的频带变换。在模拟低通滤波器的设计中，主要讨论了三种设计方法；在模拟-数字滤波器变换中，讨论了两种变换方法，即脉冲响应不变法和双线性 Z 变换法；在频带变换的实现中，主要以巴特沃斯滤波器为例并结合 MATLAB 信号处理工具箱中提供的几个相关函数来进行分析设计。整个设计过程都是在理论分析的基础上，用 MATLAB 语言来进行编程设计，并最终通过具体滤波器指标来加以实现的。七、参考文献1 数字信号处理原理与实践（第 2 版） ，方勇主编，清华大学出版社，2010 年 2 数字信号处理 ，丁玉美主编，西安电子科技大学出版社，20083 数字信号处理原理与实践（第 2 版） ，方勇主编，清华大学出版社，2010 4 数字信号处理实验指导书 ，电气与电子实验中心，吉林建筑工程学院，2011
