九年级数学上册 第四章《图形的相似》同步练习（打包15套）（新版）北师大版.zip

11 第 1 课时 成比例线段知识点 1 线段的比1．下列说法中正确的有( )①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；③两条线段的比值是一个数量，不带单位；④两条线段的比有顺序， 与 不同，它们互为倒数．ab baA．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个2．已知线段 AB，在 BA 的延长线上取一点 C，使 CA＝3 AB，则线段 CA 与线段 CB 之比为( )A．3∶4 B．2∶3C．3∶5 D．1∶2知识点 2 成比例线段3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A．1，2，3，4 B．1，2，2，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，34．教材随堂练习第 3 题变式题若线段 a， b， c， d 成比例，其中 a＝3 cm， b＝6 cm， c＝2 cm，则 d＝__________．2知识点 3 比例的基本性质5．已知 ＝ ，那么下列式子中一定成立的是( )x2 y3A．2 x＝3 y B．3 x＝2 yC． x＝2 y D． xy＝66．若 3a＝5 b，则 ＝________．ab7．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( )A. ∶2 B. ∶1 3 3C．2∶ D．1∶3 38．如果 ＝ ，那么 的值是( )a＋ 2bb 52 abA. B．2 C. D．512 159．如图 4－1－1 所示，已知矩形 ABCD 和矩形 A′ B′ C′ D′， AB＝8 cm， BC＝12 cm， A′ B′＝4 cm， B′ C′＝6 cm.(1)求 和 的值；A′ B′AB B′ C′BC(2)线段 A′ B′， AB， B′ C′， BC 是成比例线段吗？图 4－1－1310．教材习题 4.1 第 2 题变式题如图 4－1－2，已知 ＝ ， AD＝6.4 cm， DB＝4.8 ADDB AEECcm， EC＝4.2 cm，求 AC 的长．图 4－1－211．已知三条线段的长度分别是 4，8，5，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例线段．41．D.2．A .3．B 4.4 cm 5.B 6. 7.C538．A 9．解：(1)∵ AB＝8 cm， BC＝12 cm， A′ B′＝4 cm， B′ C′＝6 cm，∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ .A′ B′AB 48 12 B′ C′BC 612 12(2)由(1)知 ＝ ， ＝ ，A′ B′AB 12 B′ C′BC 12∴ ＝ ，A′ B′AB B′ C′BC∴线段 A′ B′， AB， B′ C′， BC 是成比例线段．10．解：∵ ＝ ，∴ ＝ ，ADDB AEEC 6.44.8 AE4.2解得 AE＝5.6(cm)，则 AC＝ AE＋ EC＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．11．解：设所求的线段长度为 x.当 x∶4＝8∶5 时，可求得 x＝ ；325当 x∶4＝5∶8 时，可求得 x＝ ＝ ；208 52当 4∶8＝5∶ x 时，可求得 x＝ ＝10.404所以所求的线段长度可能为 或 或 10.325 521第 2 课时 等比性质知识点 比例的等比性质1．如果 ＝ ＝ ＝ (a， b， c， d， e， f 均为正数)，那么下列选项中错误的是( )ab cd ef 23A. ＝ B. ＝a＋ cb＋ d 23 a＋ c＋ eb＋ d＋ f 23C. ＝ D. ＝a＋ cb＋ d c＋ ed＋ f a＋ bb 232．教材例 2 变式题已知△ ABC 和△ DEF 中， ＝ ＝ ＝ ，则△ ABC 与△ DEF 的周长ABDE BCEF ACDF 56之比为( )A. B. C. D.1518 56 65 18153．已知 ＝ ＝ ＝ ， b＋ d＋ f＝50，那么 a＋ c＋ e＝________.ab cd ef 354．已知 a， b， c 是△ ABC 的三边长，且 ＝ ＝ ≠0.a5 b4 c6(1)求 的值；2a＋ b3c(2)若△ ABC 的周长为 90，求各边的长．25．已知 ＝ ＝ ＝ ，则 的值为( )ab cd ef 12 a－ 4c＋ 2e2b－ 8d＋ 4fA. B. C. D.12 13 14 156．若 ＝ ＝ ，且 x＋2 y＋ z＝38，则 x＝________， y＝________， z＝________．x2 y5 z77．若 ＝ ＝ ，且 m－ n＋ p＝10，则 m＋ n－ p＝________．m4 n5 p68．已知 ＝ ＝ ＝ ＝ k，求 k 的值．ab＋ c＋ d ba＋ c＋ d ca＋ b＋ d da＋ b＋ c9．阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知 ＝ ＝ (a， b， c 互不相等)，求 x＋ y＋ z 的值．xa－ b yb－ c zc－ a解：设 ＝ ＝ ＝ k，则 x＝ k(a－ b)， y＝ k(b－ c)， z＝ k(c－ a)，于是，xa－ b yb－ c zc－ a3x＋ y＋ z＝ k(a－ b＋ b－ c＋ c－ a)＝ k·0＝0.依照上述方法解答下列问题：已知 ＝ ＝ (x＋ y＋ z≠0)，求 的值．y＋ zx z＋ xy x＋ yz x－ y－ zx＋ y＋ z10．已知 a， b， c 为△ ABC 的三边长，且 a＋ b＋ c＝60， ＝ ＝ ，试求△ ABC 的面a3 b4 c5积．41．D 2.B 3.304．解：(1)设 ＝ ＝ ＝ k，则 a＝5 k， b＝4 k， c＝6 k，所以 ＝ ＝ .a5 b4 c6 2a＋ b3c 10k＋ 4k18k 79(2)由(1)及题意得 5k＋4 k＋6 k＝90，解得 k＝6，所以 a＝30， b＝24， c＝36.5．C6．4 10 147．68．解：①当 a＋ b＋ c＋ d＝0 时， k＝－1；②当 a＋ b＋ c＋ d≠0 时，由比例的等比性质，得＝ ＝ ＝ k，a＋ b＋ c＋ d（ b＋ c＋ d） ＋ （ a＋ c＋ d） ＋ （ a＋ b＋ d） ＋ （ a＋ b＋ c） a＋ b＋ c＋ d3（ a＋ b＋ c＋ d） 13∴ k＝ .13综上可知， k＝－1 或 .139．解：设 ＝ ＝ ＝ k，y＋ zx z＋ xy x＋ yz则 y＋ z＝ xk， z＋ x＝ yk， x＋ y＝ zk，∴2( x＋ y＋ z)＝ k(x＋ y＋ z)，解得 k＝2，∴ y＋ z＝2 x， z＋ x＝2 y， x＋ y＝2 z，解得 x＝ y＝ z，则 ＝－ .x－ y－ zx＋ y＋ z 1310．解：由 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5，a3 b4 c5 a＋ b＋ c3＋ 4＋ 5 6012可得 a＝15， b＝20， c＝25.又∵15 2＋20 2＝25 2，即 a2＋ b2＝ c2，∴△ ABC 是直角三角形．5∴ S△ ABC＝ ×15×20＝150.1212 平行线分线段成比例知识点 1 平行线分线段成比例1．如图 4－2－1，已知 AB∥ CD∥ EF，那么下列结论正确的是( )A. ＝ B. ＝ADDF BCCE CDEF ADAFC. ＝ D. ＝CDEF BCBE BCCE DFAD图 4－2－1图 4－ 2－22．如图 4－2－2， AD∥ BE∥ CF，直线 l1， l2分别与这三条平行线交于点 A， B， C 和点D， E， F.已知 AB＝1， BC＝3， DE＝2，则 EF 的长为( )A．4 B．5 图 4－2－32C．6 D．83．如图 4－2－3，已知 AD∥ BE∥ CF，它们依次交直线 l1， l2于点 A， B， C 和点D， E， F，如果 DE∶ EF＝3∶5， AC＝24，那么 BC＝________．知识点 2 平行线分线段成比例的推论4．如图 4－2－4，在△ ABC 中， DE∥ BC，若 ＝ ，则 的值为( )ADDB 23 AEECA. B. C. D.13 25 23 35图 4－2－4图 4－2－55．如图 4－2－5，在△ ABC 中， DE∥ BC， AD＝6， DB＝3， AE＝4，则 EC 的长为( )A．1 B．2 C．3 D．46．如图 4－2－6，已知△ ABC 中， DE∥ BC， AD＝5， EC＝2， BD＝ AE＝ x，求 BD 的长．图 4－2－637．如图 4－2－7，在△ ABC 中，点 D， E， F 分别在边 AB， AC， BC 上，且DE∥ BC， EF∥ AB.若 AD＝2 BD，则 的值为( )CFBFA. B. C. D.12 13 14 23图 4－2－7图 4－2－88．如图 4－2－8，在△ ABC 中， AB＞ AC， AD 是 BC 边上的高， F 是 BC 的中点， EF⊥ BC交 AB 于点 E，若 BD∶ DC＝3∶2，则 BE∶ AB＝________．9．如图 4－2－9，在△ ABC 中， DG∥ EC， EG∥ BC.求证： AE2＝ AB·AD.图 4－2－94详解1．A2．C [解析] 本题考查平行线分线段成比例基本事实的运用．∵ AD∥ BE∥ CF，∴ ＝ .ABBC DEEF又∵ AB＝1， BC＝3， DE＝2，∴ EF＝ ＝6.BC·DEAB3．15 [解析] ∵ AD∥ BE∥ CF，∴ ＝ ＝ .ABBC DEEF 35∵ AC＝24，∴ BC＝24× ＝15.58故答案为 15.4．C5．B [解析] ∵ DE∥ BC，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 EC＝2.ADDB AEEC 63 4EC故选 B.6．解：∵ DE∥ BC，∴ ＝ ，ADBD AEEC∴ ＝ ，∴ x2＝10，5x x2∴ x＝ 或 x＝－ (不合题意，舍去)，10 10∴ BD＝ .107．A [解析] 由 DE∥ BC， EF∥ AB， AD＝2 BD，得 ＝ ＝2， ＝ ＝2，∴ ＝ .故ADBD AEEC AEEC BFCF CFBF 12选 A.8．5∶6 5[解析] ∵ AD 是 BC 边上的高， EF⊥ BC，∴ AD∥ EF.又∵ F 是 BC 的中点，且BD∶ DC＝3∶2，∴ BF∶ FD＝5∶1.再根据平行线分线段成比例基本事实，得BE∶ EA＝ BF∶ FD＝5∶1，即 BE∶ AB＝5∶6.9．证明：∵ DG∥ EC，∴ AD∶ AE＝ AG∶ AC.∵ EG∥ BC，∴ AG∶ AC＝ AE∶ AB，∴ AD∶ AE＝ AE∶ AB，即 AE2＝ AB·AD.13 相似多边形知识点 1 相似多边形的定义及性质1．下列说法中错误的是( )A．相似多边形的对应边成比例B．相似多边形的对应角相等C．相似多边形的边数相同D．对应边成比例的两个多边形是相似多边形2．若图 4－3－1 所示的两个四边形相似，则∠ α 的度数是( )A．60° B．75° C．87° D．120°图 4－3－1图 4－3－23.如图 4－3－2，四边形 ABCD∽四边形 A1B1C1D1， AB＝12， CD＝15， A1B1＝9，则边C1D1的长是( )A．10 B．12 2C. D.454 365图 4－3－34．如图 4－3－3，矩形 ABCD 中， AB＝4， M， N 分别是 AD， BC 的中点， MN∥ AB，若矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，则 AD 的长为________．知识点 2 相似多边形的判定5．下列判断正确的是( )A．两个对应角相等的多边形相似B．两个对应边成比例的多边形相似C．边数相同的正多边形都相似D．有一组角对应相等的两个平行四边形相似6．教材随堂练习第 1 题变式题如图 4－3－4，有三个矩形，其中相似的是( )图 4－3－4A．甲和乙 B．甲和丙C．乙和丙 D．没有相似的矩形7．如图 4－3－5， G 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 G 作 GE⊥ AD， GF⊥ AB，垂足分别为 E， F.求证：四边形 AFGE 与四边形 ABCD 相似．图 4－3－538．若△ OAB 各个顶点的坐标分别为 O(0，0)， A(2，4)， B(4，0)，△ OA′ B′∽△OAB，已知点 A′(4，8)，且点 B′位于 x 轴上，则点 B′的坐标为________．9．一个六边形的六边长分别为 3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为 66，则与其相似的六边形的最短边的长为________．10．一个矩形 ABCD 的较短边长为 2.(1)如图 4－3－6①，将矩形 ABCD 沿它的长边对折( MN 为折痕)，得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；(2)如图 4－3－6②，已知矩形 ABCD 的另一边长为 4，剪去一个矩形 ABEF 后，余下的矩形 EFDC 与原矩形相似，求余下矩形 EFDC 的面积．图 4－3－641．D2．C 3．C 4．4 5．C26．B .7．证明：∵∠ GEA＝∠ EAF＝∠ GFA＝90°，∴四边形 EAFG 为矩形．∵四边形 ABCD 为正方形，∴ AC 平分∠ DAB.又∵ GE⊥ AD， GF⊥ AB，∴ GE＝ GF，∴四边形 AFGE 为正方形．∴四边形 AFGE 与四边形 ABCD 相似．8．(8，0)9．6 10．解：(1)由已知得 MN＝ AB＝2， DM＝ AD＝ BC.12 12∵将矩形 ABCD 沿 MN 对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似， ＝ ，DMAB MNBC∴ DM·BC＝ AB·MN，即 BC2＝4，12∴ BC＝2 ，即它的另一边长为 2 .2 2(2)∵矩形 EFDC 与原矩形 ABCD 相似，∴ ＝ .DFAB CDBC∵ AB＝ CD＝2， BC＝4，5∴ DF＝ ＝1，AB·CDBC∴矩形 EFDC 的面积＝ CD·DF＝2×1＝2.1第 2 课时 相似三角形的判定 2图 4－4－14知识点 由两边成比例且夹角相等判定两三角形相似1．如图 4－4－14 所示，已知△ABC，则图 4－4－15 中与△ABC 相似的是( )图 4－4－152．如图 4－4－16，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的是( )A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADEC. ＝ D. ＝ABAD ACAE ABAD BCDE2图 4－4－16 图 4－4－173.如图 4－4－17，能保证△ABC 与△ACD 相似的条件是( )A. ＝ ABBC ACCDB. ＝BCAC CDADC．AC 2＝AD·AB D．CD 2＝AD·DB4．2016·贵阳期末在三角形纸片 ABC 中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )图 4－4－185．如图 4－4－19，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB 与 AC 上，且AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4，△ADE 与△ACB 相似吗？请说明理由．图 4－4－196．在△ABC 和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝________时，△ABC 与△A′B′C′相似．3图 4－4－207．如图 4－4－20 所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是 AC 的中点，过点 P 的直线交 AB 于点 Q，若以 A，P，Q 为顶点的三角形和△ABC 相似，则 AQ 的长为________．8．2017·贵阳期末如图 4－4－21，在正三角形 ABC 中，D，E 分别在 AC，AB 上，且＝ ，AE＝EB.求证：△AED∽△CBD.ADAC 13图 4－4－219．如图 4－4－22，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE.求证：△ABC∽△DBE.图 4－4－224详解1．C2．D [解析] ∵∠1＝∠2，∴∠ DAE＝∠ BAC.A．添加∠ C＝∠ E，可用两角法判定△ ABC∽△ ADE，故本选项不合题意；B．添加∠ B＝∠ ADE，可用两角法判定△ ABC∽△ ADE，故本选项不合题意；C．添加 ＝ ，可用两边及其夹角法判定△ ABC∽△ ADE，故本选项不合题意；ABAD ACAED．添加 ＝ ，不能判定△ ABC∽△ ADE，故本选项符合题意．ABAD BCDE故选 D.3．C [解析] 从图中可看出，两个三角形有一公共角，若 AB∶ AC＝ AC∶ AD 成立，则可利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定△ ABC 与△ ACD 相似．故选 C.4．D [解析] 三角形纸片 ABC 中， AB＝8， BC＝4， AC＝6.A. ＝ ＝ ，对应边 ＝ ＝ ≠ ，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ ABC 不相似，4AB 48 12 ACAB 68 34 12故此选项错误；B. ＝ ，对应边 ＝ ＝ ≠ ，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ ABC 不相似，3AB 38 ACAB 68 34 38故此选项错误；C. ＝ ＝ ，对应边 ＝ ＝ ≠ ，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ ABC 不相似，2AC 26 13 ACAB 68 34 13故此选项错误；D. ＝ ＝ ，对应边 ＝ ＝ ，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ ABC 相似，故2BC 24 12 BCAB 48 12此选项正确．故选 D.5．解：△ ADE∽△ ACB.理由如下：∵ AD＝5， DB＝7， AE＝6， EC＝4，5∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，ADAC 56＋ 4 12 AEAB 67＋ 5 12∴ ＝ .ADAC AEAB又∵∠ A＝∠ A，∴△ ADE∽△ ACB.6．3 或 [解析] 两个三角形中已经有一组角对应相等，只需这两个角的夹边对应163成比例即可说明这两个三角形相似，成比例有两种情况：AB∶ A′ B′＝ BC∶ B′ C′， AB∶ B′ C′＝ BC∶ A′ B′.7．3 或 [解析] ∵ AC＝4， P 是 AC 的中点，∴ AP＝ AC＝2.∵∠ A＝∠ A，∴①若 ＝43 12 APAC，则△ APQ∽△ ACB，即 ＝ ，解得 AQ＝3；②若 ＝ ，则△ APQ∽△ ABC，即 ＝ ，AQAB 24 AQ6 AQAC APAB 26 AQ4解得 AQ＝ .综上， AQ 的长为 3 或 .43 438．证明：∵△ ABC 为正三角形，∴∠ A＝∠ C＝60°， BC＝ AB.∵ AE＝ BE，∴ BC＝2 AE，∵ ＝ ，ADAC 13∴ CD＝2 AD，∴ ＝ ＝ .ADCD AEBC 12又∵∠ A＝∠ C，∴△ AED∽△ CBD.9．证明：在△ ABD 和△ CBE 中，∵∠ DAB＝∠ ECB，∠ ABD＝∠ CBE，∴△ ABD∽△ CBE，6∴ ＝ ，ABCB BDBE即 ＝ .ABDB BCBE∵∠ ABC＝∠ ABD＋∠ DBC，∠ DBE＝∠ DBC＋∠ CBE，∠ ABD＝∠ CBE，∴∠ ABC＝∠ DBE.在△ ABC 和△ DBE 中，＝ ，∠ ABC＝∠ DBE，ABDB BCBE∴△ ABC∽△ DBE.1第 3 课时 相似三角形的判定 3知识点 由三边成比例判定两三角形相似图 4－4－231．教材习题 4.7 第 2 题变式题如图 4－4－23，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形(每个小正方形的边长均为 1)中的三角形(阴影部分)与△ ABC 相似的是( )图 4－4－242．已知 AB ＝ 12 cm， AC＝ 15 cm， BC＝21 cm， A1B1＝16 cm， B1C1＝28 cm，当A1C1＝________ cm 时，△ ABC∽△ A1B1C1.3．已知△ ABC 的三边长分别为 AB＝6 cm， BC＝7.5 cm， AC＝9 cm，△ DEF 的三边长分别为 DE＝4 cm， EF＝5 cm， DF＝6 cm.求证：∠ A＝∠ D.24．已知△ ABC 的三边长分别为 6 cm，7.5 cm，9 cm，△ DEF 的一边长为 4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm图 4－4－255．如图 4－4－25，点 A， B， C， D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，若以 C， D， E 为顶点的三角形与△ ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是( )A．(6，0) B．(6，3)C．(6，5) D．(4，2)6．如图 4－4－26，在△ ABC 和△ ADE 中， ＝ ＝ ，点 B， D， E 在一条直线上．求ABAD BCDE ACAE证：△ ABD∽△ ACE.图 4－4－2637．如图 4－4－27，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ ABC 和△ DEF 的顶点都在格点上， P1， P2， P3， P4， P5是△ DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题：(1)求证：△ ABC 为直角三角形；(2)判断△ ABC 和△ DEF 是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为 P1， P2， P3， P4， P5中的 3 个格点并且与△ ABC相似(要求：不写作法与证明)．图 4－4－2741．B [解析] 因为每个小正方形的边长均为 1，所以已知的三角形的各边长分别为 ，22， ， B 选项中的三角形三边长分别为 1， ， ，三边与已知三角形的各边对应成比例，10 2 5故两三角形相似．2．203．证明：∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，ABDE 64 32 BCEF 7.55 32 ACDF 96 32∴ ＝ ＝ ，∴△ ABC∽△ DEF，ABDE BCEF ACDF∴∠ A＝∠ D.4．C [解析] 设△ DEF 的另两边的长分别为 x cm， y cm，若△ DEF 中为 4 cm 长的边的对应边为 6 cm，则 ＝ ＝ ，解得 x＝5， y＝6；46 x7.5 y9若△ DEF 中为 4 cm 长的边的对应边为 7.5 cm，则 ＝ ＝ ，解得 x＝3.2， y＝4.8；47.5 x6 y9若△ DEF 中为 4 cm 长的边的对应边为 9 cm，则 ＝ ＝ ，解得 x＝ ， y＝ .故选 C.49 x6 y7.5 83 1035．B6．证明：∵在△ ABC 和△ ADE 中， ＝ ＝ ，ABAD BCDE ACAE∴△ ABC∽△ ADE，∴∠ BAC＝∠ DAE，∴∠ BAD＝∠ CAE.又∵ ＝ ，ABAD ACAE∴ ＝ ，ABAC ADAE∴△ ABD∽△ ACE.7．解：(1)证明：∵ AB2＝20， AC2＝5， BC2＝25，5∴ AB2＋ AC2＝ BC2，∴△ ABC 为直角三角形，且∠ BAC＝90°.(2)△ ABC 和△ DEF 相似．理由：由(1)中数据得 AB＝2 ， AC＝ ， BC＝5.5 5由题意易知 DE＝4 ， DF＝2 ， EF＝2 ，2 2 10∴ ＝ ＝ ＝ ，ABDE ACDF BCEF 104∴△ ABC∽△ DEF.(3)如图，连接 P2P5， P2P4， P4P5.∵ P2P5＝ ， P2P4＝ ， P4P5＝2 ，10 2 2AB＝2 ， AC＝ ， BC＝5，5 5∴ ＝ ＝ ＝ ，P2P5BC P4P5AB P2P4AC 105∴△ ABC∽△ P4P5P2.1第 4 课时 黄金分割知识点 1 对黄金分割的理解1．已知点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC，BC，下列说法错误的是( )A．如果 ＝ ，那么线段 AB 被点 C 黄金分割ACAB BCACB．如果 AC2＝AB·BC，那么线段 AB 被点 C 黄金分割C．如果线段 AB 被点 C 黄金分割，那么 AC 与 AB 的比叫做黄金比D．一条线段有两个黄金分割点2．如图 4－4－28，点 C 是线段 AB 的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是( )图 4－4－28A. ＝ B．BC 2＝AB·ACACAB BCACC. ＝ D. ≈0.618ACAB 5－ 12 BCAC3．已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，AB＝2，则 AC 的长为( )A. －1 B．3－ C. D．0.6185 55－ 124．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点(AP＞BP)，若 AB＝2，则 AP－BP＝________．5．教材习题 4.8 第 1 题变式题如图 4－4－29，乐器上的一根弦 AB＝80 cm，两个端点2A，B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，求 C，D 之间的距离．图 4－4－29知识点 2 黄金分割的应用6．如图 4－4－30 所示，扇子的圆心角为 α ，余下扇形的圆心角为 β ， α 与 β 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为 0.6，则 α 为( )A．216° B．135° C．120° D．108°图 4－4－30图 4－4－317．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感．如图 4－4－31，某女士的身高为 160 cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm8．人体的正常体温是 37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为________(精确到 1 ℃)．9．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台 AB 的长为 20 m，主持人应走到离 A 点至少多远处才最自然得体？(结果精确到 0.1 m，黄金比≈0.618)3图 4－4－3210．点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB＝6 cm，则 BC 的长为( )A．(3 －3) cm5B．(9－3 )cm5C．(3 －3) cm 或(9－3 )cm5 5D．(9－3 )cm 或(6 －6) cm5 511．宽与长之比为 ∶1 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们5－ 12以协调匀称的美感．如图 4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形 CDFE 还是黄金矩形吗？请证明你的结论．图 4－4－33412．如图 4－4－34，已知点 C 和点 D 均为线段 AB 的黄金分割点，CD＝6 cm，求 AB 的长．图 4－4－3413．定义：如图 4－4－35①，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2＝BC·AB，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点．如图②，在△ABC 中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD 平分∠ABC 交 AC于点 D.(1)求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点；(2)求线段 AD 的长．图 4－4－3514．如图 4－4－36①，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ＝ ，那么称点 C 为线段ACAB BCACAB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1，S 2，如果 ＝ (S1S2)，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线．S1S S2S1(1)如图②，在△ABC 中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB 的平分线交 AB 于点 D，请问点D 是不是 AB 边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?5(2)若△ABC 在(1)的条件下，如图③，请问直线 CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(3)如图④，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝∠BCD＝90°，对角线 AC，BD 相交于点 F，延长 AB，DC 交于点 E，连接 EF 并延长分别交梯形上、下底于 G，H 两点，请问直线 GH 是不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线？并证明你的结论．图 4－4－3661．C 2.B3．A [解析] ∵点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞ BC，∴ AC＝ AB，而5－ 12AB＝2，∴ AC＝ －1.54．2 －4 [解析] ∵点 P 是线段 AB 的黄金分割点，5AP＞ BP，∴ AP＝ AB＝ －1，则 BP＝2－ AP＝3－ ，5－ 12 5 5∴ AP－ BP＝( －1)－(3－ )＝2 －4.5 5 55．解：∵点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，∴ AC＝ BD＝80× ＝(40 －40)cm，5－ 12 5∴ CD＝ BD－( AB－ BD)＝2 BD－ AB＝(80 －160)cm.56．B 7.D8．23 ℃ [解析] 37× ≈23(℃)．5－ 129．解：根据黄金比，得 20×(1－0.618)≈7.6(m)，故主持人应走到离 A 点至少 7.6 m 处才最自然得体．10．C [解析] ∵点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB＝6 cm，∴ BC＝ AB＝(3 5－ 12－ 3)cm，或 BC＝ AB＝(9－3 )cm.53－ 52 511．解：留下的矩形 CDFE 还是黄金矩形．证明：∵四边形 ABEF 是正方形，∴ AB＝ DC＝ AF.又∵ ＝ ，ABAD 5－ 12∴ ＝ ，AFAD 5－ 127即点 F 是线段 AD 的黄金分割点，∴ ＝ ＝ ，FDAF AFAD 5－ 12∴ ＝ ，FDDC 5－ 12∴矩形 CDFE 是黄金矩形．12．[解析] 因为 C， D 均为线段 AB 的黄金分割点，所以 与 相等，都等于黄金比．ADAB BCAB因此 AD＝ BC，所以 AC＝ BD.解：∵ C， D 均为线段 AB 的黄金分割点，∴ ＝ ，∴ AD＝ BC，ADAB BCAB∴ AB－ AD＝ AB－ BC，即 BD＝ AC.设 AC＝ BD＝ x cm，则 AD＝( x＋6)cm， AB＝(2 x＋6)cm.∵ ＝ ，ADAB 5－ 12∴ ＝ ，x＋ 62x＋ 6 5－ 12∴ ＝ ，x＋ 62（ x＋ 3） 5－ 12解得 x＝3 ＋3，5∴ AB＝(6 ＋12)cm.513．解：(1)证明：∵ AB＝ AC，∠ A＝36°，∴∠ ABC＝∠ C＝72°.∵ BD 平分∠ ABC，∴∠ ABD＝∠ DBC＝∠ A＝36°，∴∠ BDC＝72°，∴ BC＝ BD＝ AD.8∵∠ DBC＝∠ A，∠ C＝∠ C，∴△ BCD∽△ ACB，∴ ＝ ，即 BC2＝ AC·CD，BCAC CDCB∴ AD2＝ AC·CD，∴点 D 是线段 AC 的黄金分割点．(2)设 AD＝ x，则 CD＝1－ x.由(1)得 x2＝1－ x.解得 x1＝ (舍去)， x2＝ ，－ 1－ 52 － 1＋ 52∴ AD＝ .－ 1＋ 5214．解：(1)点 D 是 AB 边上的黄金分割点．(2)直线 CD 是△ ABC 的黄金分割线．证明：设△ ABC 的边 AB 上的高为 h，则S△ ADC＝ AD·h， S△ DBC＝ BD·h， S△ ABC＝ AB·h，12 12 12∴ S△ ADC∶ S△ ABC＝ AD∶ AB，S△ DBC∶ S△ ADC＝ BD∶ AD.由(1)知点 D 是 AB 的黄金分割点，∴ ＝ ，ADAB BDAD∴ S△ ADC∶ S△ ABC＝ S△ DBC∶ S△ ADC，∴直线 CD 是△ ABC 的黄金分割线．(3)直线 GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线．证明：∵ BC∥ AD，∴△ EBG∽△ EAH，△ EGC∽△ EHD，9∴ ＝ ，①BGAH EGEH＝ .②GCHD EGEH由①②得 ＝ ，BGAH GCHD即 ＝ .③BGGC AHHD同理，由△ BGF∽△ DHF，△ CGF∽△ AHF，得 ＝ ，即 ＝ .④BGHD GCAH BGGC HDAH由③④得 ＝ ，AHHD HDAH∴ AH＝ HD，∴ BG＝ GC，∴梯形 ABGH 与梯形 GCDH 的上、下底分别相等，高也相等，∴ S 梯形 ABGH＝ S 梯形 GCDH＝ S 梯形 ABCD，12∴直线 GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线．15 相似三角形判定定理的证明知识点 1 证明相似三角形判定定理图 4－5－11．如图 4－5－1，在△ ABC中，点 D， E分别在 AB， AC边上， DE∥ BC，若AD＝1， BD＝2，则 的值为( )DEBCA. B. C. D.12 13 14 192．如图 4－5－2，在▱ ABCD中， AC与 BD相交于点 O， E为 OD的中点，连接 AE并延长交 DC于点 F，则 DF∶ FC＝( )A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2图 4－5－22图 4－5－33．2017·恩施州如图 4－5－3，在△ ABC中，DE∥ BC，∠ ADE＝∠ EFC， AD∶ BD＝5∶3， CF＝6，则 DE的长为( )A．6 B．8 C．10 D．124．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．知识点 2 相似三角形判定的综合应用5．如图 4－5－4，为了测量一池塘的宽 DE，在岸边找到一点 C，测得 CD＝30 m，在DC的延长线上找到一点 A，测得 AC＝5 m，过点 A作 AB∥ DE交 EC的延长线于点 B，测得AB＝6 m，则池塘的宽 DE为( )A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m图 4－5－4图 4－5－56．如图 4－5－5， AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚 B距墙脚 1.6 m，梯上点 D距墙 1.4 m， BD长 0.55 m，该梯子的长是________．7．如图 4－5－6 所示，已知 AD⊥ BD， AE⊥ BE，求证： AD·BC＝ AC·BE.3图 4－5－68．如图 4－5－7，在正方形 ABCD中， M为 BC上一点， F是 AM的中点， EF⊥ AM，垂足为 F，交 AD的延长线于点 E，交 DC于点 N.(1)求证：△ ABM∽△ EFA；(2)若 AB＝12， BM＝5，求 DE的长．图 4－5－79．如图 4－5－8，△ ABC中，点 D， F在边 AB上，点 E在边 AC上，如果DE∥ BC， EF∥ CD，那么一定有( )A． DE2＝ AD·AE B． AD2＝ AF·ABC． AE2＝ AF·AD D． AD2＝ AE·AC图 4－5－84图 4－5－910．如图 4－5－9，在边长为 9的等边三角形 ABC中， BD＝3，∠ ADE＝60°，则 AE的长为________．11．如图 4－5－10，已知 AB∶ AD＝ BC∶ DE＝ AC∶ AE，请猜想∠ ABD与∠ ACE的关系，并说明理由．图 4－5－1012．教材习题 4.9第 3题变式题如图 4－5－11，在△ ABC中， AC＝ BC，点 E， F在直线AB上，∠ ECF＝∠ A.(1)如图 4－5－11①，点 E， F在 AB上时，求证： AC2＝ AF·BE；(2)如图 4－5－11②，点 E， F在 AB及其延长线上，∠ A＝60°， AB＝4， BE＝3，求 BF的长．图 4－5－11513．如图 4－5－12，已知 AB⊥ DB于点 B， CD⊥ DB于点 D， AB＝6， CD＝4， BD＝14，问：在 DB上是否存在点 P，使得△ PCD与△ PAB相似？如果存在，请求出 PD的长；如果不存在，请说明理由．图 4－5－1214．如图 4－5－13，已知直线 l的函数表达式为 y＝－ x＋8，且 l与 x轴、 y轴分别43交于 A， B两点，动点 Q从点 B开始在线段 BA上以每秒 2个单位长度的速度向点 A移动，同时动点 P从点 A开始在线段 AO上以每秒 1个单位长度的速度向点 O移动，设点 Q， P移动的时间为 t秒．(1)求点 A， B的坐标；(2)当 t为何值时，以 A， P， Q为顶点的三角形与△ AOB相似？(3)求出(2)中当以 A， P， Q为顶点的三角形与△ AOB相似时线段 PQ的长度．图 4－5－1367详解1．B 2.D3．C [解析] 由 DE∥ BC可得出∠ ADE＝∠ B，结合∠ ADE＝∠ EFC可得出∠ B＝∠ EFC，进而可得出 BD∥ EF，结合 DE∥ BC可证出四边形 BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出 DE＝ BF，由 DE∥ BC可得出△ ADE∽△ ABC，根据相似三角形的性质可得出BC＝ DE，再根据 CF＝ BC－ BF＝ DE＝6，所以 DE＝10.85 354．解：已知：如图，在△ ABC中， DE∥ BC，并分别交 AB， AC于点 D， E.求证：△ ADE与△ ABC相似．证明：∵ DE∥ BC，∴∠ ADE＝∠ B，∠ AED＝∠ C.过点 D作 DF∥ AC交 BC于点 F，又∵ DE∥ BC，∴四边形 DFCE是平行四边形，∴ DE＝ FC，∴ ＝ ＝ ，FCBC DEBC ADAB∴ ＝ ＝ .ADAB AEAC DEBC而∠ A＝∠ A，∠ ADE＝∠ B，∠ AED＝∠ C，∴△ ADE∽△ ABC.5．C.6．4.4 m 87．证明：∵ AD⊥ BD， AE⊥ BE，∴∠ ADC＝90°，∠ BEC＝90°.在△ ACD和△ BCE中，∵∠ ACD＝∠ BCE，∠ ADC＝∠ BEC，∴△ ACD∽△ BCE，∴ ＝ ，ADBE ACBC∴ AD·BC＝ AC·BE.8．解：(1)证明：∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ B＝90°， AD∥ BC，∴∠ AMB＝∠ EAF.又∵ EF⊥ AM，∴∠ AFE＝90°，∴∠ B＝∠ AFE，∴△ ABM∽△ EFA.(2)∵∠ B＝90°， AB＝12， BM＝5，∴ AM＝ ＝13， AD＝ AB＝12.122＋ 52∵ F是 AM的中点，∴ AF＝ AM＝6.5.12∵△ ABM∽△ EFA，∴ ＝ ，BMFA AMEA即 ＝ ，∴ EA＝16.9，56.5 13EA∴ DE＝ EA－ AD＝4.9.9．B 10．7.11．解：∠ ABD＝∠ ACE.理由如下：∵ AB∶ AD＝ BC∶ DE＝ AC∶ AE，∴△ ABC∽△ ADE，∴∠ BAC＝∠ DAE，9∴∠ BAD＝∠ CAE.又∵ AB∶ AD＝ AC∶ AE，即 AB∶ AC＝ AD∶ AE，∴△ BAD∽△ CAE，∴∠ ABD＝∠ ACE.12．解：(1)证明：∵ AC＝ BC，∴∠ A＝∠ B.∵∠ BEC＝∠ ACE＋∠ A，∠ ACF＝∠ ACE＋∠ ECF，∠ ECF＝∠ A，∴∠ ACF＝∠ BEC，∴△ ACF∽△ BEC，∴ ＝ ，ACBE AFBC∴ AC2＝ AF·BE.(2)∵∠ A＝60°， AC＝ BC，∴△ ABC是等边三角形，∴∠ A＝∠ ABC＝∠ ACB＝60°＝∠ ECF，∴∠ ACE＝∠ FCB.又∵∠ ECB＝∠ ACB－∠ ACE，∠ F＝∠ ABC－∠ FCB，∴∠ ECB＝∠ F.又∵∠ ABC＝∠ A，∴△ ACF∽△ BEC，∴ ＝ ，∴ AF＝ ，ACBE AFBC 163∴ BF＝ AF－ AB＝ .4313．解：存在．①若△ PCD∽△ APB，则 ＝ ，即 ＝ ，解得 PD＝2 或 PD＝12；CDPB PDAB 414－ PD PD6②若△ PCD∽△ PAB，则 ＝ ，即 ＝ ，解得 PD＝5.6.CDAB PDPB 46 PD14－ PD∴当 PD的长为 2或 12或 5.6时，△ PCD与△ PAB相似．1014．解：(1)在 y＝－ x＋8 中，43当 x＝0 时， y＝8；当 y＝0 时， x＝6.故点 A的坐标为(6，0)，点 B的坐标为(0，8)．(2)在△ AOB中，∠ AOB＝90°， OA＝6， OB＝8，由勾股定理，得 AB＝10.由题意易知 BQ＝2 t， AQ＝10－2 t， AP＝ t.在△ AOB和△ AQP中，∠ BAO＝∠ PAQ，第一种情况：当 ＝ 时，△ APQ∽△ AOB，AQAB APAO即 ＝ ，解得 t＝ ；10－ 2t10 t6 3011第二种情况：当 ＝ 时，△ AQP∽△ AOB，AQAO APAB即 ＝ ，解得 t＝ .10－ 2t6 t10 5013故当 t为 或 时，以 A， P， Q为顶点的三角形与△ AOB相似．3011 5013(3)∵以 A， P， Q为顶点的三角形与△ AOB相似，∴当 t＝ 时， ＝ ，解得 PQ＝ ；3011 PQ8 30116 4011当 t＝ 时， ＝ ，解得 PQ＝ .5013 PQ8 501310 4013故当以 A， P， Q为顶点的三角形与△ AOB相似时，线段 PQ的长度是 或 .4011 4013