1、第八章 数学思想方法 8.4 转化思想,中考数学 (浙江专用),1.(2015山西,5,3分)我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x- 2)=0,从而得到两个一元一次方程3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现 的数学思想是 ( ) A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想,好题精练,答案 A 将高次方程问题转化为低次方程问题求解,将复杂问题转化为简单问题求解,将未 知问题转化为已知问题求解,体现了转化思想,故选A.,2.如图,在大长方形ABCD中,放入六个相同的小长方形,则图中阴影部分面积为 ( )
2、 A.16 B.44 C.93 D.140,答案 B 设小长方形的宽和长分别为x,y则由图形得 解得 则阴影部分面 积为1410-628=140-96=44.,3.设m2+m-1=0,则代数式m3+2m2+2 017的值为 ( ) A.2 016 B.2 017 C.2 018 D.2 020,答案 C m2+m-1=0,m2+m=1,则m3+2m2+2 017=m(m2+m)+m2+2 017=m2+m+2 017=1+2 017= 2 018.,4.如图,ABC经过平移后得到ABC,若四边形ACDA的面积为6 cm2,则阴影部分的面积为 cm2.,答案 6,解析 由平移性质可得,ABC的面
3、积等于ABC的面积,阴影部分的面积等于四边形 ACDA的面积,为6 cm2.,5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸,A和B是这个台阶 的两个相对端点,A点处有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则它所走的最短路线的长度是 寸.,答案 73,解析 将立体图形转化为平面图形,展开后变为长方形,根据题意得,C=90,BC=3(10+6)= 48, AB= = =73.,6.(2014浙江舟山,15)三个同学对问题“若方程组 的解是 求方程组的解.”提出各自的想法. 甲说:“这个题目好像条件不够,不能求解”; 乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试”; 丙说:“能不能
4、把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元的方法来解决.”参考他 们的讨论,你认为这个题目的解应该是 .,答案,解析 将原方程组变形为 则 ,7.(2018陕西,25,12分)问题提出 (1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为 . 问题探究 (2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值. 问题解决 (3)如图所示,AB、AC、 是某新区的三条规划路,其中,AB=6 km,AC=3 km,BAC=60, 所对的圆心角为60.新区管委会想在 路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站 点E、F,也就是
5、,分别在 、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物 资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、 EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最 小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计),解析 (1)5 (2分) 详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心,OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC, BAO=CAO, BAC=120,BAO=60, ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5. 即ABC的外接圆半径R的值为5. (2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P
6、,连接OA,OP.,M是弦AB的中点, OMAB,AM= AB=12. 在RtAOM中,OM= =5. (4分) PMOM+OP=OM+OP=MP=18, 当点P运动到P时,PM取得最大值,为18. (5分) (3)如图,设P为 上任意一点,分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2,分别 与AB、AC相交于点E、F,连接PE,PF,PEF的周长=P1E+EF+P2F=P1P2, 对于点P及分别在AB、AC上的任意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P1P2. 即PEF周长的最小值为P1P2的长. (7分) 连接AP1,AP,AP2, 则AP1=AP=AP2,P1AB=PA
7、B,P2AC=PAC, P1AP2=2BAC=120,P1P2= AP1= AP. (8分) 要使P1P2最短,只要AP最短即可. 设O为 所在圆的圆心,连接OB、OC、OP、OA,且OA与 相交于点P, 则AP+POAO. APAP. (9分) 连接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90, BC=ACtan 60=3 km. BOC=60,OB=OC, BO=BC=3 km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90.,在RtABO中,AO= = =3 km. (11分) AP= (AO-OP)= (3 -3 )=(3 -9)km. P1P2的最小值为 AP=(3 -9)
8、km. PE+EF+FP的最小值为(3 -9)km. (12分),思路分析 (1)设O是ABC的外接圆的圆心,根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等 可证ABO是等边三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)当PMAB时,PM有最大值,根据垂径定理可 得AM= AB=12,再根据勾股定理求得OM=5,进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3) 分别以AB、AC所在的直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为P1,关于AC的对称点为P2,易得 PEF的周长为P1P2的长,根据P1P2= AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA与 交于 点P,此时使得线段PE、EF、FP之和最短,然后先判定ABC为直角三角形,求出BC的长,在 RtABO中由勾股定理求出AO的长,进而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.,难点分析 本题难点在于第(3)问如何确定P点的位置及何时PE+EF+FP取得最小值.读懂题 目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短路线问题,同时结合圆半径和线段OA的长度求出 AP的最小值.,
