1、1第 07 节 解三角形及其应用举例【考纲解读】考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用2014 浙江文 18；理10，18；2015 浙江文 16；理16；2016 浙江文 16；理16；2017 浙江 14；2018 浙江卷 131.测量距离问题；2.测量高度问题；3.测量角度问题.4.主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真理解题意. 从浙江卷来看，三角形中的应用问题，主要是结合直角三角形，考查边角的计算，也有与导数结合考查的情况.5.备考重点：（1）掌握正弦定理、余弦定理；（2）掌握几种常见题型
2、的解法.（3）理解三角形中的有关术语.【知识清单】1. 测量距离问题实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图 2)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图 3)北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向南偏西等其他方向角类似2(4)坡度：定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 4，角 为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图 4， i 为坡比)2. 测量高度问题余弦定理
3、： 22cosabaC ， 22cosbcaA ， 22cosabB.变形公式 cos A ，cos B ，os Cb2 c2 a22bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab3. 测 量角度问题应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理【重点难点突破】3考点 1 测量距离问题【1-1】 【2018 届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上期中联考】如图，从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B， C的俯角分别为 60o， 3，此 时气球的高是 60m，则河流的宽度 BC等于 （ ）A 30 B 301 C 4
4、03 D 4031【答案】C【解析】因为从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B， C的俯角分别为 60o， 3， ， 30,30,30,6CBDAm， 40csAB，故选 C.【1-2】如图所示，要测量一水塘两侧 A， B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 ，再分别测出 AC， BC 的长 b， a，则可求出 A， B 两点间的距离即 AB .若测得 CA400 a2 b2 2abcos m， CB600 m， ACB60，试计算 AB 的长【答案】 207【1-3】如图， A， B 两点在河的同侧，且 A， B 两点均不可到达，测出 AB 的距离，测量者可以在河岸边选
5、定两点C， D，测得 CD a，同时在 C， D 两点分别测得 BCA ， ACD ， CDB ， BDA .在 ADC 和BDC 中，由正弦定理分别计算出 AC 和 BC，再在 ABC 中，应用余弦定理计算出 AB.若测得 CD 32km， ADB CDB30， ACD60， ACB45，求 A， B 两点间的距离4【答案】 64【解析】 ADC ADB CDB60， ACD60 ， DAC60， AC DC .32在 BCD 中， DBC45，由正弦定理，得 BC sin BDC sin 30 .DCsin DBC 32sin 45 64在 ABC 中，由余弦定理，得 AB2 AC2 BC
6、22 ACBCcos 45 2 .34 38 32 64 22 38 AB (km) A， B 两点间的距离为 km.64 64【领悟技法】研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题角度有：1 两点都不可到达；2 两点不相通的距离；3 两点间可视但有一点不可到达.【触类旁通】【变式一】 【2018 届江西省南昌市第一轮训练六】一艘海警船从港口 A出发，以每小时 40海里的速度沿南偏东40方向直线航行， 30分钟后到达 B处，这时候接到从 C处发出的一求救信号，已知 C在 B的北偏东 6
7、5，港口 A的东偏南 2处，那么 ， C两点的距离是( )A 1海里 B 1海里 C 20海里 D 152海里【答案】A【解析】如图由已知可得，BAC=30，ABC=105，AB=20，从而ACB=45在ABC 中，由正弦定理可得 BC= 0sin45AB sin30=10 25故答案为：A.【变式二】如图所示，设 A、 B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为50m， ACB45， CAB105后，就可以计算 A、 B 两点的距离为 ( )A50 m B50 m C25 m D. m2 3 225 22【答案】 A【解析】由题意知 ABC30，由正弦
8、定理 ， AB 50 (m)ACsin ABC ABsin ACB ACsin ACBsin ABC50 2212 2考点 2 测量高度问题【2-1】 【2018 届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二） 】我国古代著名的数学家刘徽著有海岛算经.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从 后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为_步. （参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为 5 步,前后相距 1000 步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行
9、123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行 127 步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?） （丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5 步” ）【答案】1255 步6【2-2】如图，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD(CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为 ，从 A 处向山顶前进 l 米到达 B 后，又测得 CD 对于山坡的斜度为 ，山坡对于地平面的坡角为 .(1)求 BC 的长；(2)若 l24， 15， 45， 30，求建筑物 CD 的高度【答案】 （1） sin()lBC；（2） 24
10、83CD.【解析】 (1)在 A中， B，根据正弦定理得 sinsiBCAB，所以 sin()l.(2)由(1)知 i24sin152(6)s30lBC米在 D中， 6， 3siBDC，根据正弦定理得 siniBC，所以 2483C米【领悟技法】7已知三边 (abc如 、 、 ） ，由余弦定理求 AB、 ，再由 180C求角 ，在有解时只有一解.已知两边和夹角 C如 、 、 ） ，余弦定理求出对对边.【触类旁通】【变式一】如图所 示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h，求出山高 CD.【答案】 cosin()
11、h【变式二】如图所示，测量河对岸的塔高 AB时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C与 D，现测得,BCDCDs，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 A.【答案】 stani（ ）【解析】在 BCD中， ，由正弦定理得 BCDsinsi ，所以8CDsinBsin （ ） .在 RtA中， tastainACB（ ） .考点 3 测量角度问题【3-1】 【2017 广东佛山二模】某沿海四个城市 、 、 C、 D的位置如图所示，其中 60ABC， 15BCD， 80nmileAB， 403nmile， 2506nmile， D位于 的北偏东7方向.现在有一艘轮船从 出发以 5ile/h
12、的速度向 直线航行， 后，轮船由于天气 原因收到指令改向城市 直线航行，收到指令时城市 对于轮船的方位角是南偏西 度，则 si_【答案】 624【解析】设船行驶至 F，则 50A，连接 ,CF，过 A作 EBC于 ，则 80sin643AE， cos60BEA, 23, 503CB, 34,in55aeE，所以 coscs151DD ，所以 90C，又0F， ，可得 60AF，所以 15CFNAFMAF，故 62sin4.9【3-2】如图，扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图，其中圆心角 AOB 为 ，半径 OA 为 1 km.为了便于游客23观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口
13、 B 的观光道路，道路由弧 AC、线段 CD 及线段 DB 组成，其中D 在线段 OB 上，且 CD AO.设 AOC .(1)用 表示 CD 的长度，并写出 的取值范围；(2)当 为何值时，观光道路最长？(2)设观光道路长度为 L( )，则 L( ) BD CD弧 CA 的长1 sin cos sin 23 1310cos sin 1， ，13 (0， 3)L( )sin cos 1，33由 L( )0，得 sin ，( 6) 32又 ，所以 ，(0， 3) 6列表： (0， 6) 6 ( 6， 3)L( ) 0 L( ) 增函数 极大值 减函数所以当 时， L( )达到最大值，即当 时，观
14、光道路最长 6 6【3-3】在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距离 A 处( 1)海里的 B 处有一艘走私船；在 A 处北偏西 753方向，距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以 10 海里/3小时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【答案】缉私船沿北偏东 60的方向能最快追上走私船，最少要花 小时610【解析】如图，设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船，则有 CD10 t， BD10 t.3在 ABC 中， AB 1， AC2， BAC120.3利用余弦定理可得 BC
15、.6由正弦定理，得 sin ABC sin BAC ，得 ABC45，即 BC 与正北方向垂直ACBC 26 32 22于是 CBD120.在 BCD 中，由正弦定理，得 sin BCD ，BDsin CBDCD 10tsin 12010 3t 12得 BCD30， BDC30.又 ，CDsin 120 BCsin 3011 ，得 t .10 3t3 6 610所以缉私船沿北偏东 60的方向能最快追上走私船，最少要花 小时610【领悟技法】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判
16、断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A B C 这个结论注意 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内 角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边 的关系结论一般为特殊的三角形如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等另外，在变形过程中要注意 A， B， C 的范围对三角函
17、数值的影响提醒：1在 ABC 中有如下结论 sin Asin Ba b.2当 b2 c2 a20 时，角 A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当 b2 c2 a20 时，角 A 为直角，三角形为直角三角形；当 b2 c2 a20 时，角 A 为钝角，三角形为钝角三角形【触类旁通】【变式一】如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船 遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 处的乙船，乙船立即朝北偏东 角的方向沿直线前往 B处救援，则 sin 的值为( )A. B C. D217 22
18、32 5 714【答案】D12【变式二】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，若侦察艇以每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值【答案】 5314【解析】如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC14 x， BC10 x， ABC120.根据余弦定理得(14 x)212 2(10 x)2240 xcos 120，解得 x2.故 AC28， B
19、C20.根据正弦定理得 ，BCsin ACsin 120解得 sin .20sin 12028 5 314所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为 .5 314【易错试题常警惕】易错典例：如图，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于2A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2处，此时两船相距 10 海里问：乙船每小时航行多少海里？213易错分析：不能分清已知条件和未知条件，从而不能将问题集中到一个三角形中再利用正、余弦定理
20、求解解决此类问题时，要能理解题目给定的含义，转化到三角形中，利用正、余弦定理进行求解.正确解析：如图，连接 A1B2由已知 A2B210 ， A1A230 10 ， A1A2 A2B2.2 22060 2又 A1A2B218012060， A1A2B2是等边三角形， A1B2 A1A210 .由已知， A1B120，2 B1A1B21056045，在 A1B2B1中，由余弦定理得B1B A1B A1B 2 A1B1A1B2cos 4520 2(10 )222010 200，2 21 2 2 222 B1B210 .2因此，乙船的速度为 6030 (海里/时)10 220 2温馨提醒：利用解三角
21、形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事休.“数“与“形“反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数“或“以数解形“即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【典例】 【2018 届河北省衡水中学高三第十六次模拟】如图，一山顶有一信号塔 CD（ 所在的直线与地平面垂直） ，在山脚 A处测得塔尖 C的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向上前进 l米后到达 B处，测得 的仰角为.14（1）求 BC的长；（2）若 4l， 5， 7， 30，求信号塔 CD的高度.【答案】(1) sinl；(2) 248.（2）由（1）及条件知， sin126BCl， 9015BCD， 45CBD， 0D.由正弦定理得 sin24831
