1、第四章 图形的认识 等腰三角形与直角三角形考点一 等腰三角形等腰三角形的概念、性质与判定等腰三角形概念有两条边 相等 的三角形是等腰三角形性质（）等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴（）性质：等腰三角形的两底角 相等 （简写成“等边对 等角 ”）（）性质：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的 中线 、底边上的 高 相互重合（简写成“三线合一”）判定等角对 等边 等边三角形等边三角形性质三条对称轴三个内角都是 判定三个内角都相等的三角形有一个内角是 的等腰三角形线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离 相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上考点二 直
2、角三角形概念有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形性质（）直角三角形的两个锐角 互余 （）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 （）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 （）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边、的 平方和 等于斜边的 平方 ，即 判定（）如果三角形一边上的中线等于这条边的 一半 ，那么这个三角形为直角三角形（）勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的 平方和 等于第三边的 平方 ，那么这个三角形是直角三角形方法一 利用等腰三角形的性质和判定解题的方法在三角形中，证明两条线段或两个角相等，常用的方法如下：（）如果线段或角在同一个三角形中，先考虑用
3、“等边对等角”或“等角对等边”来证明；（）如果线段和角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等或通过等腰三角形“三线合一”来解决例 （湖北荆州，分）如图，将一张直角三角形纸片沿斜边上的中线剪开，得到 ，再将 沿方向平移到 的位置若平移开始后点未到达点时，交于点，交于点，连接当四边形为菱形时，试探究 的形状，并判断 与 是否全等请说明理由解析 当四边形为菱形时， 是等腰三角形， 理由如下： 是直角三角形的中线， ， 沿方向平移到 ， ， ， ， ， 是等腰三角形四边形为菱形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， （）思路分析 根据直角三角形斜边上中线的性质，结合平移的特征，易得 是等腰三角形；由
4、四边形为菱形和 是等腰三角形，易证 ， ，进而可证 方法指导 （）平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等（）证明角相等或线段相等的常用方法是把角或线段放置于三角形中，设法证明三角形全等此外，菱形作为一种特殊的平行四边形，为证明三角形全等提供了条件变式训练 操作发现：将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，能够发现等腰直角三角板的斜边与含角的直角三角板的长直角边重合问题解决：将图中的等腰直角三角形绕点顺时针旋转，点落在上，与交于点，连接，如图（）求证： 是等腰三角形；（）若，求的长 年中考年模拟解析 （）证明
5、：易知， ， ， ， ， 是等腰三角形 （分）（）如图，作 于， 于在 中， ， ， （分）在 中， ， ， ， ， ， ，四边形为矩形， （分） （分）方法二 利用勾股定理列方程解题的方法已知直角三角形中两边长求第三边长时，可以直接运用勾股定理计算；对于直角三角形中已知一边长和其他相关条件，求另两边长的问题，常设一边长为未知数，由勾股定理列方程求解例 如图，在 中， ，是边上的高，求的长解析 设，则，在 中， 在 中， （），可得方程 （），解得 ，故 ，则 ， 变式训练 如图，矩形中， ， ，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为答案 解析 在矩形中，因为垂直平分对角线，所以在 中，设，由 得 （），解得 ，即
