1、第八章 热点题型探究 阅读理解型题型特点阅读理解型问题涉及内容丰富，构思新颖别致，一般包括两部分：一是阅读材料，可以是一个新的数学概念的形成和实例应用或一个新的数学公式的推导与应用或一种新的解题方法与技巧应用或提供新闻背景材料；二是考查内容阅读理解型题型主要有两类：一是“先阅读解题方法，再解答”，即利用已学知识，综合归纳出新的解题方式与方法，重在把握其规律、方法；二是“先阅读新的概念，再解答”，即阅读特殊范例，总结解题方法、规律，推出一般结论命题趋势阅读理解型问题的命题方向：一是旧教材删除或削弱的内容；二是其他版本教科书的借鉴内容；三是与高中相衔接的知识；四是新概念、新运算虽然近几年安徽考的还
2、不多，但从全国范围来看已经成为新的命题趋势题型一 判断概括型解决阅读理解型问题的关键是把握实质，并在其基础上作出回答首先仔细阅读信息，收集处理信息，以领悟数学知识或感悟数学思想方法；然后运用新知识解决问题或运用范例形成科学的思维方式和思维策略或归纳与类比作出合情判断和推理，进而解决问题例 （浙江衢州，分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（）概念理解：如图，在四边形中，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；（）性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述），写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）；（）问题解决：如图，分别以 的直角边和斜边
3、为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求的长解析 （）是垂美四边形理由： ，点在的垂直平分线上， ，点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，即 ，四边形是垂美四边形（）猜想结论：垂美四边形两组对边的平方和相等已知：如图，在四边形中，对角线 ，垂足是点，求证： 证明： ， ， ， ， （）如图，设与相交于点，与相交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ，即四边形是垂美四边形 ， ， ， 思路分析 （）根据垂直平分线的性质证明 即可；（）根据垂直定义和勾股定理解答即可；（）根据垂美四边形的性质、勾股定理，结合（）的结论计算即可解题关键 正确理解垂美四边形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键例 （
4、江西南昌，分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”例如图，图，图中，是 的中线， ，垂足为，像 这样的三角形均为“中垂三角形”设，特例探索（）如图，当 ， 时， ， ；如图，当 ，时， ， ； 年中考年模拟归纳证明（）请你观察（）中的计算结果，猜想，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你发现的关系式；拓展应用（）如图，在 中，点，分别是，的中点， ， ，求的长图解析 （） ； ； ； （分）（）猜想，三者之间的关系是 （分）证明如下：如图，连接，图 ，是 的中线， 是 的中位线 ，且 （分） 证法一：设，则，在 中，（）（） ；在 中，（） ( )；在 中，（） ( )由
5、，得 （分）由 ，得（） （） （分）证法二：在 和 中， ， ， （）（） ( ) ( ) ( )，即 （分）（）解法一：设，交于点如图，取的中点，连接，图 ，分别是，的中点，是的中点， 又 ， （分）四边形是平行四边形， ， ， ， 是“中垂三角形” （分） ，即 （ ） （分）（另：连接，交于点， 是“中垂三角形”，解法类似于解法一，如图）图解法二：如图，连接，延长交的延长线于点图在 中， ，分别是，的中点， ， （分）又四边形是平行四边形， ， ， ， ，是 的中线 是“中垂三角形” （分） ， ， ， （ ），解得 是 的中位线， （分）例 （山西，分）请阅读下列材料，并完成相应的任
6、务：第八章 热点题型探究 图图阿基米德折弦定理阿基米德（ ，公元前 公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一他与牛顿、高斯并称为三大数学王子阿拉伯 （ 年 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在年根据译本出版了俄文版阿基米德全集，第一题就是阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理：如图，和是 的两条弦（即折线是圆的一条折弦），是(的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程证明：如图，在上截取，连接，和 是(的中点， 任务：（）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；填空：如图，已知等边 内接于 ， ，为(上一点， ， 于点，则 的周长是图解
7、析 （）证明：又 ， 又 ， （） 评析 本题把圆的知识放到数学文化背景上考查，既普及了数学文化又考查了圆的知识，还有助于提高学生的阅读能力好题精练（北京，分）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知： ， 求作： 的外接圆作法：如图（）分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点；（）作直线，交于点；（）以为圆心，长为半径作 即为所求作的圆请回答：该尺规作图的依据是 答案 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆的定义（江苏南京，分）如图，把函数的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数 的
8、图象；也可以把函数的图象上各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到函数的图象类似地，我们可以认识其他函数（）把函数 的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到函数 的图象；也可以把函数的图象上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象；（）已知下列变化：向下平移个单位长度；向右平移个单位长度；向右平移个单位长度；纵坐标变为原来的倍，横坐标不变；横坐标变为原来的 ，纵坐标不变；横坐标变为原来的倍，纵坐标不变（）函数的图象上所有的点经过 ，得到函数 的图象；（）为了得到函数 （）的图象，可以把函数的图象上所有的点（ ） 年中考年模拟 （）函数 的图象可以经过怎样的变化得到
9、函数的图象？ （写出一种即可）解析 （）； （分）（）（）（） （分）（） （分）（）本题答案不唯一，下列解法供参考例如， 先把函数 的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，再把函数 的图象上所有的点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数 的图象，最后把函数 的图象上所有的点向下平移个单位长度，得到函数的图象 （分）（北京，分）在等边 中，（）如图，是边上两点， ， ，求 的度数；（）点，是边上的两个动点（不与，重合），点在点的左侧，且，点关于直线的对称点为，连接，依题意将图补全；小茹通过观察、实验，提出猜想：在点，运动的过程中，始终有小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论
10、，形成了证明该猜想的几种想法：想法：要证，只需证 是等边三角形想法：在上取一点，使得，要证，只需证 想法：将线段绕点顺时针旋转，得到线段，要证，只需证， 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 （一种方法即可）解析 （） 为等边三角形， ， （）补全的图形如图所示法：证明：过点作 于点，如图由 为等边三角形，可得 点，关于直线对称， ， ， 为等边三角形 法：证明：在上取一点，使，连接，如图由 为等边三角形，可得 为等边三角形 ， 由，可得 又 ， 点，关于直线对称， ， ， 法：证明：将线段绕点顺时针旋转，得到，连接，如图 为等边三角形 ， 由 为等边三角形，可得 由，可得 ， ， 点，关于直线对
11、称， ， 四边形为平行四边形第八章 热点题型探究 ， （福建福州，分）定义：长宽比为 （为正整数）的矩形称为矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图所示操作：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为操作：将沿过点的直线折叠，使点，点分别落在边，上，折痕为则四边形为矩形图证明：设正方形的边长为，则 由折叠性质可知 ， ，则四边形为矩形， ，即 四边形为矩形阅读以上内容，回答下列问题：（）在图中，所有与相等的线段是 ， 的值是 ；（）已知四边形为矩形，模仿上述操作，得到四边形，如图 ，求证：四边形是矩形；（）将图中的矩形沿用（）中的方式操作次后，得到一个“ 矩形”，则
12、的值是 图 解析 （），； （）证明： ， 由折叠性质可知， ，则四边形为矩形， ，即 四边形是矩形（）题型二 数字类“新概念”“新运算”阅读理解题命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力解决该类题的关键是认真阅读题目，并正确理解引进的新知识例 （广东广州，分）定义新运算： （），若，是方程 （）的两根，则 的值为（ ） 与有关解析 ，是方程 （）的两根， ，由定义的新运算可得， （）（） （） （）（） （）（） 答案 评析 对于定义的新运算必须抓住运算的本质特征，转化为熟悉的运算从而解决问题本
13、题通过定义新运算考查学生的转化能力例 （浙江衢州，分）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数 （ ，是常数）与（ ，是常数）满足 ， ，则称这两个函数互为“旋转函数”求函数的“旋转函数”小明是这样思考的：由函数 可知， ， ， ，根据 ， ， ，求出，就能确定这个函数的“旋转函数”请参考小明的方法解决下面问题：（）写出函数的“旋转函数”；（）若函数 与 互为“旋转函数”，求（） 的值；（）已知函数 （）（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、关于原点的对称点分别是，试证明图象经过点，的二次函数与函数 （）（）互为“旋转函数”解析 （）（）由题意得 ，解得， （） （） （）不妨
14、令在的左侧，由已知得（，），（，），（，）， （，），（，），（，），则图象经过，的二次函数解析式为 （）（） ，又原函数解析式为 （）（） ， 年中考年模拟 ， ， （） ，这两个函数互为“旋转函数”好题精练（广东梅州，分）对于实数、，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是实数运算例如： 则方程 （） 的解是（ ） 答案 根据新运算可知，原式可化为 ，解得经检验，是原方程的解，故选评析 本题主要考查了新定义的应用和解分式方程，解答本题的关键是熟记解方程的步骤，同时注意检验（广西南宁，分）对于两个不相等的实数，我们规定符号，表示，中较大的数，如：， 按照这个规定，方程， 的解为（ ） ，
15、，答案 （）当，即时， ， ，解这个方程可得 经检验， 是原方程的解 ， （）当，即时， ， ，解这个方程可得经检验，是原方程的解综上所述， 或故选（江西，分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验（）已知抛物线经过点（，），则 ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点（，）成中心对称的抛物线表达式是 抽象感悟我们定义：对于抛物线 （ ），以轴上的点（，）为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”（）已知抛物线 关于点（，）的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围问题解决（）已知抛物线（ ）若抛物线的衍生抛物线为 （
16、），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求，的值及衍生中心的坐标；若抛物线关于点（，）的衍生抛物线为，其顶点为；关于点（，）的衍生抛物线为，其顶点为； ；关于点（，）的衍生抛物线为，其顶点为； （为正整数）求的长（用含的式子表示）（备用图）解析 （）；（，）；（）（或）（）易知抛物线的顶点坐标为（，），且点（，）关于点（，）的对称点为（，），衍生抛物线的解析式为（）由（），（），得，即 当 ，即 时，方程有解 的取值范围为 （） 抛物线的顶点为（，），抛物线的顶点为（，），由两抛物线的交点恰好是它们的顶点，得 ， ，解得 ， （舍去）， ， 抛物线的顶点为（，），抛物线的顶点为（，）两抛物
17、线的衍生中心坐标为（，） （）， （），顶点为（，）， （），顶点为（，）， ， （），顶点为（，）， （） （） ，顶点为（，（）， （） （ ） （） 思路分析 （）将（，）代入抛物线 求得值，将抛物线解析式配方得出顶点坐标，先求出顶点坐标关于点（，）成中心对称的对应点坐标，再根据开口方向相反求得该抛物线关于点（，）成中心对称的抛物线表达式；（）首先确定抛物线关于点（，）的衍生抛物线，然后联立两个解析式得出 ，若这两条抛物线有交点，则 ，从而得出的取值范围；（）先求出抛物线 （ ）的顶点（，），抛物线的衍生抛物线（ ）的顶点（，），依据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，把（，）代入
18、（ ），把（，）代入（ ）得出 和 ，解得和值，进而得出衍生中心的坐标；先求出顶点，的坐标，进一步发现顶点的坐标，根据顶点横坐标相同这一特点求出的长方法指导 数形结合思想主要指的是数与形之间的一一对应关系，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的（重庆，分）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且 ），在的所有这第八章 热点题型探究 种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：（） 例如可以分解成，或，
19、因为，所以是的最佳分解，所以（） （）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数求证：对任意一个完全平方数，总有（） ；（）如果一个两位正整数， （ ，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数为“吉祥数”求所有“吉祥数”中（）的最大值解析 （）证明：对任意一个完全平方数，设（为正整数） ， 是的最佳分解对任意一个完全平方数，总有（） （分）（）设交换的个位上的数与十位上的数得到的新数为，则 为“吉祥数”， （）（） （） （分） ，为自然数， “吉祥数”有：， （分）易知（） ，（） ，（） ，（） ，（） ，（）
20、，（） ，所有“吉祥数”中（）的最大值是 （分）（湖南郴州，分）设，是任意两个实数，规定与之间的一种运算“ ”为： （），（ ）例如： （） ，（） （），（） （） （因为）参照上面材料，解答下列问题：（） ，（） ；（）若 ，且满足（） （） （） （），求的值解析 （）； （分）（） ， ， （） （） （分） ， （） （） （） （分） （） （） （） （）可化为，解得 （分）评析 本题考查了实数运算与解一元一次方程，难度不大，属于新定义题目，理解题意是关键题型三 图形类“新定义”阅读理解题分析和提取材料和图形中的信息，选择合理的几何性质，对数据进行加工、提炼和应用，该类型题主要考
21、查学生的阅读理解能力和识图能力例 （浙江杭州，分）如图， 的半径为（），若点在射线上，满足 ，则称点是点关于 的“反演点”如图， 的半径为，点在 上， ， ，若点，分别是点，关于 的反演点，求的长图图解析 因为 ，且 ，所以 同理可知，即点的反演点与重合，设交 于点，连接，因为 ，所以 为正三角形，又因为点为的中点，所以 ，根据勾股定理，得 ，即，解得 例 （北京，分）在平面直角坐标系中，点的坐标为（，），点的坐标为（，），且 ， ，若，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”下图为点，的“相关矩形”的示意图（）已知点的坐标为（，），若点的坐标为（，
22、），求点，的“相关矩形”的面积；点在直线上若点，的“相关矩形”为正方形，求直线的表达式；（） 的半径为，点的坐标为（，）若在 上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，求的取值范围解析 （）如图，矩形为点（，），（，）的“相关矩形”可得，点，的“相关矩形”的面积为由点（，），点在直线上，点，的“相关矩形”为正方形，可得 年中考年模拟当点在轴上方时，可得（，）直线的表达式为当点在轴下方时，可得（，）直线的表达式为（）由点，的“相关矩形”为正方形，可设直线为或（）当直线为时，可得由图可知，当直线平移至与 相切，且切点在第四象限时，取得最小值，此时直线记为，其中为切点，为直线与轴的交点 为等腰直角
23、三角形， ， ， 的最小值为 的最大值为当直线平移至与 相切，且切点在第二象限时，取得最大值，此时直线记为，其中为切点，为直线与轴的交点同理可得，的最大值为，的最小值为 的取值范围为 （）当直线为时，同理可得，的取值范围为 综上所述，的取值范围为 或 好题精练（湖南长沙，分）若抛物线：（，是常数， ）与直线都经过轴上的一点，且抛物线的顶点在直线上，则称此直线与该抛物线具有“一带一路”关系，此时，直线叫做抛物线的“带线”，抛物线叫做直线的“路线”（）若直线与抛物线 具有“一带一路”关系，求，的值；（）若某“路线”的顶点在反比例函数 的图象上，它的“带线”的解析式为，求此“路线”的解析式；（）当常
24、数满足 时，求抛物线： （ ）的“带线”与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围解析 （）由题意知 ，抛物线为 ，其顶点为（，），将（，）代入，得， ，（）由题意设“路线”的解析式为（）， ，解得，或， （）或（），又 “路线”过点（，）， 或 ， 或（）抛物线的顶点坐标为 ，（）( )，设“带线”：（ ），则（） ， ， ， “带线”交轴于点， ，交轴于点（，）， ， ( ) ， “带线”与轴，轴所围成的三角形的面积为 ，令 ，则 ， ， （），当 时， ( )， ( )， ， （浙江嘉兴，分）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（）问题探究：如图，在四边形中，平分 交于点， ， ， ，探究四边形是否为等邻角四边形，并说明理由；（）应用拓展：如图，在 与 中， ， ，将 绕着点顺时针旋转角（ ），得到 （如图），当凸四边形为等邻角四边形时，求出它的面积第八章 热点题型探究 解析 （）矩形或正方形等（只要写出一个即可）（）四边形为等邻角四边形理由如下： ， ， ， ， ， 平分 ， ， ，四边形是等邻角四边形（）（）如图，当 时，延长，交于点， ， ，在 与 中， ，设，在 中，
