1、第三章 函数与图象 二次函数考点一 二次函数的图象与性质概念：一般地，形如 （ ，为常数）的函数叫做二次函数其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项特别提醒 当 时，不是二次函数，因而在解题时要注意二次函数的图象与性质函数（ ）图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 ，( ) 最值当 时，有最 小 值当 时，有最 大 值增减性在对称轴左侧随的增大而 减小 随的增大而 增大 在对称轴右侧随的增大而 增大 随的增大而 减小 系数、的作用决定抛物线开口方向及大小，抛物线开口 向上 ，抛物线开口 向下 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴为直线 )，对称轴为 轴 ，对称轴在轴 左侧 ，对称轴在
2、轴 右侧 续表决定抛物线与轴交点的位置，抛物线过 原点 ，抛物线与轴交于正半轴，抛物线与轴交于负半轴决定抛物线与轴的交点个数时，与轴有唯一交点（顶点）时，与轴有两个不同交点时，与轴没有交点特殊关系当时，当时，当，即时，当，即时，考点二 二次函数与方程的联系一、二次函数与一元二次方程的联系二次函数（ ）中，当 时，的取值就是一元二次方程 的解，即 与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根（）当时，抛物线 与轴有两个交点，方程有两个 不相等 的实数根（）当 时，抛物线 与轴有一个交点，方程有 两个相等 的实数根（）当时，抛物线 与轴无交点，方程 没有 实数根二、二次函数解析式的确定（）一般式：（ ），
3、常用待定系数法求解；（）顶点式：（）（ ），其中顶点坐标为（，）；（）两点式：（）（）（ ），其中二次函数的图象与轴的交点坐标为（，），（，）考点三 二次函数的应用主要考查利润最大化，方案最优化，面积最大等问题一般步骤：（）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；（）确定自变量取值范围；（）分析所得函数的性质；（）解决提出的问题 年中考年模拟方法一 正确理解和掌握二次函数的概念、图象和性质二次函数解析式的求法（）若已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式 （ ），利用待定系数法求得，的值；（）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：（）（ ），其中顶点坐标为（，），对称轴为直线；（）
4、若已知抛物线与轴的交点的横坐标，则可采用交点式：（）（ ）（ ），其中与轴的交点坐标为（，），（，）例 （天津，分）已知二次函数 （，为常数）（）当，时，求二次函数的最小值；（）当时，若在函数值的情况下，只有一个自变量的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（）当时，若在自变量的值满足 的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求此时二次函数的解析式解析 （）当，时，二次函数的解析式为 ，即（）当时，二次函数取得最小值（）当时，二次函数的解析式为由题意，得方程，即有两个相等的实数根有，解得 ， 此时二次函数的解析式为或（）当时，二次函数的解析式为它的图象是开口向上，对称轴为 的抛物线若 ，即，在自变
5、量的值满足 的情况下，与其对应的函数值随的增大而增大，故当时， 为最小值 ，解得 （舍）， 若 ，即 ，当 时， ( ) ( ) 为最小值 ，解得 （舍）， （舍）若 ，即，则在自变量的值满足 的情况下，与其对应的函数值随的增大而减小，故当时，（）（） 为最小值 ，即解得 （舍）， 综上所述， 或此时二次函数的解析式为 或方法指导 求二次函数 （ ）在 上的最值要分成三种情况： ； ； ，然后根据二次函数的性质求解变式训练 （江苏江阴，）若抛物线 的顶点是（，），且经过点（，），则抛物线的解析式为 答案 解析 由已知条件知抛物线的顶点式为（） ，将（，）代入得，所以抛物线的解析式为（） 方法二
6、 二次函数与一元二次方程及不等式的综合问题函数与方程，函数与不等式可以互相转化，灵活运用二次函数（ ）中，当时，的取值就是一元二次方程 的解，即 与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根投抛物线 与轴的交点为（，），（，），且，若，则当或时，；当时，若，则当或时，；当时，例 （陕西，分）下列关于二次函数 （）的图象与轴交点的判断，正确的是（ ）没有交点只有一个交点，且它位于轴右侧有两个交点，且它们均位于轴左侧有两个交点，且它们均位于轴右侧解析 依题意得，（）， ， ，故二次函数图象与轴有两个交点，选项、错误设二次函数图象与轴的交点的横坐标分别为，显然，是方程的两根，则 ， ，故，则二次函数的图象与
7、轴的两个交点均位于轴右侧，故选项错误，选项正确故选答案 例 阅读材料，解答问题例：用图象法解一元二次不等式：解：设，则是的二次函数 ，二次函数的图象开口向上又当时，解得 ， 由此得二次函数的大致图象如图所示观察函数图象可知：当或时， 的解集是或（）观察图象，直接写出一元二次不等式： 的解第三章 函数与图象 集是 （）依照上例：用图象法解一元二次不等式：解析 （）（）解法一：设，当时，解得由此得二次函数的大致图象如图所示观察图象可知：当或时， 的解集是或解法二：设，二次函数的大致图象如图所示当时， ，解得 ， 直线与抛物线的两个交点坐标分别为（，），（，）观察图象可知：当时，即；当时， ，即 的
8、解集是或评析 用图象法确定不等式的解集，一般应先确定图象与轴的交点，然后观察图象的位置确定自变量的取值范围，即不等式的解集方法三 利用二次函数的最值解决实际问题利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全此类问题一般是先运用“总利润总售价总成本”或“总利润每件商品所获利润销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数关系式，求出这个函数图象的顶点坐标，即求得最大利润例 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低
9、于成本（）求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（）如果该企业要使每天的销售利润不低于 元，且每天的总成本不超过 元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）解析 （） （）（） （）（） ， （ ） （分）（） （） ， ，抛物线开口向下 ，对称轴是直线 ，当 时，最大值 销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为 元 （分）（）当 时，（） ，解这个方程，得 ， 当 时，每天的销售利润不低于 元由每天的总成本不超过 元，得（） ，解这个不等式，得 ，销售单价应该控制在元至元之间（分）思路分析 （）根据“总利润每件商品的利润销售数量”列式；（）由（）中的函数关系式配方求最值；（）分别由每天的销售利润不低于 元和每天的总成本不超过 元，列不等式得出的范围，然后取它们的公共部分即可温馨提示 解决最值应用题要注意两点：（）设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（或最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（）最值的求解依据的是配方法或者最值公式
