1、5.3. 乘积空间上的积分定义 5.3.1X 与 Y 是集合， 分别取定 与 ，记 ，YXEXxYy Ey) (x,YyEx 称 E 的 x 截口（集） ， E 的 y 截口（集） y) (x,Ey x定义 5.3.2设 为 上的二元函数取定 ，定义f 称为 的 截口（函数） 类似可定义 的 截口（函数）) (), ()(f: xxyxy fx fyE , yfy性质：若 有 ，01 X x )( ,E , 则，YX cxxcE)()(， xx)( xxE)(以下设 上的函数， ，那么： 为、 nfgf R , ； 02 xgfX有 ；3 xx) f ( x成 立04 )( ),)(lim X
2、 ,(,),(lim x YyfyfYXyyf xnnn 有； ；05 )(f)(f ,)(f)(f xx ；6 )(RV 11VV有 07 X(x ,)(xExE定义 5.3.3 （乘积代数）设 AX 和 AY 分别是 X 和 Y 上的 代数，记 AX, AY 由 生B成的代数 和 代数 分别称为 AX 与 AY 的乘积代数和乘积 代数)(K)(S记 AX AY ， 称 AX AY) 为可测空间 , AX) 与 , AY) 的乘积可测空间称 为,( B可测矩形 AX AY 中的元素称为 中的可测集定理 5.3.1设 AX AY) 是乘积可测空间 ,(1) 若 AX AY，则 有 AY， AX
3、；Ey,xxEy(2) 若 f 是 上的 AX AY 可测函数，则 上的 AY 可测函数； 上的 f, x为 X f Y,y y为AX 可测函数证：只对 截口加以证明x(1) 取定 ，令 AX AY AY 据截口集的性质 知， 为 上的 代数 而当Ex 01YX，有 AY 于是 ，进而 AX AY 这说明：BAE xx EBE ,c AX AY，则 AY， x) (X(2) f 是 上的 AX AY 可测函数， 开集 AX AY 由(1)得 )(f 1VRAY， 从而 上的 AY 可测函数xxVf)()(11 )(fx为引理 Nn , ,1n 两 两 不 交 ，nkEK定理 5.3.2设 ,
4、AX, ) 和 , AY, ) 是两个 有限测度(x(y空间，A X 和 AY 是 代数 y E (1) 若 AX AY，定义 ，则 是 X 上 Ex E) (x ), )(yExE的非负 AX 可测函数； y Ey(2) 由 AX AY) 定义的集合函数XE(,)(Yd是 AX AY)上的 有限测度，且 o x xX,， AX， AY)满足上式的乘积空间上的测度是唯一的()(BBYB（证略 ） 852P定理 5.3.3( Fubini 定理 )设 , AX, ) 和 , AY, ) 是两个 有限测度空间，A X 和 AY 是 代数，(x(y为 AX AY) 上的可测函数),yxf,(1) 若
5、 ，则存在 零测集 A 与 零测集 B，(LfXY令 ， 则 x ,0)( cYxdfx By ,0)( cXydfy，且成立 (*)( ),(YXLL YXYX YXddf(2) 若 的两个累次积分中有一个有限，则另一个也有限； 此时 在 上可积，同时(*)式成yxf ),(yxfYX立证：分三种情况讨论(1) 首先，设 AX AY 则E ),() ,(yxyxfE )()( YYEYxEYx dddf x, 据前一定理， 为 X 上非负 AX 可测函数，且 )(xYEX)(x YX YYXEddf 由积分的线性性质知，当 为 上的非负简单函数时，也有 (a) ) ,(yxf XYX YXd
6、df其次，设 为 上的非负 AX AY 可测函数，用非减的非负简单函数列 ，据 Levi 定理，) ,(yxf nf ,可得(a)式成立最后，设 为 上的一般 AX AY 可测函数且可积令 ，则 ) ,(yxfYX )X(x ,)()YYxdfx均在 X 上非负 AX 可测，且由 ，可知 均在 X 上非负可积， 与 YXYXdfd 与从而在 X 上 a.e. 有限 记 ， 则 再令 ) ()(0)(A， 则 在 X 上可积，且当 时 ； 当 时，cA)( Ax0xcAx()xxYYYxdfdf )()( YxYdfdfdf )()(此外， XXAAXAXXd ccc YYYX Yfff同理可证
7、，存在 零测集 B 及 ，使 X YXdd(2) 在(1)中已证：若 为 上的非负可测函数，有(a)式成立在(a)式中， 视作 ， 视) ,(yxf ) ,(yxf) ,(yxf作 相应所得的函数，则知当 在 X 上可积时（即 的“ 先 y 后 x 的累次积分值有限”） ， 在),(yxf ) ,(xf上的积分值也有限， 在 上可积，从而 在 上可积由(1)即得(2) （ 书上错YX) ,(yxfYYX876P误）例 1设 ， 若 ， 则 绝对收敛， 且 )3, 21ji, ( Raji 1 ijjia1 ,jijia1 ,jiji 1 1 jijiijjia证：在 Fubini 定理中， 取
8、 ， AXA Y=P ， 上的计数测度 )，NYX)(NcYX)(NP， 则 AX AY ， 为j ),(iaif ),()( cYX上的计数测度， 是 上的可测函数，据 Fubini 定理中(2) 即得结论NP),(jif例 2 （积分的几何意义）设 , A , 是 有限的测度空间， 是有限值可测函数，若 y f(x) y= f(x) X()0fA，记曲边梯形 E f(x)yR,Ey)(x,) ,( fEG则 为 A 上的可测集，且 ),(f,R ,mL Edfm证：令 o a x b x)RXy)(x,),y(x, ,)y ,( x则 A， 有 A ， A 即 ERa ,(aERLRfER
9、)()(L均在 上 A 可测，故 为 A 可测集 于是，、 XL) ,(fG()0ELRXmdfGm) ,()( ) f(E, EXXx ddff fG,(5.4. 广义测度（简介）5.4.1. 广义测度及 JordanHahn 分解定义 5.4.1. 设 , A )是可测空间，集合函数 A ，满足：X( : ,(1) ；0)(2) (可列可加性) 若 为 A 中两两不交的集列， 则 ； nE 1 n1 n)(E称 为 , A )上的一个广义测度 若 ，称 为有限广义测度； 若存在 A，X )(X nE，1 n，称 为 有限广义测度) N (,)(nE注：类似地，可给出广义测度 A 的相应定义
10、:) ,广义测度不具有测度的全部性质例如：(1)令 ，取 Lebesgue 可测空间 定义：) ,1X ),(LX，)0,1( 0()( EmEm 可验证 是 上的一个广义测度L ) ,L(2) 取测度空间 , A, ， f 为 X 上的 A 可测函数， 且 定义 ，X( Xdf:Ed f)(A ) 则 是 , A )上的广义测度 特别，若 ，则 是 , A )上的有限广义测度 E( ) ;(LX(定义 5.4.2. 设 为 , A )上的一个广义测度集 A 满足： A 有 ( E ，则称 E 为关于 的正定集（负定集） )0 (,0)( E 引理 1若 为 的正（负）定集，则 A， 集合 均
11、为 的正 Nn ,F1 nF, ,E（负）定集证： A，有 正定 )(E 0)()( EAFEc定理 5.4.1. (1) （Hahn 分解 ） 设 , A, ) 是广义测度空间， 存在 A， 使 E 为 正定集， 为 负X( cE定集(2) （ Jordan 分解） , A )上的任一广义测度 均可分解为 ，其中 为 A 上的测度，且( 、是有限测度进而，若 为有限（或 有限）广义测度，则 为有限（或 有限）测度 的上变差； 的下变差证：(1) 令 A 为 负定集， 为 负定集)则存在 负定集列 取 E )(inf()(E ,n使n，则 B 为负定集， 1 nE 0, ,B令 ，可证 E 为
12、 正定集， 为 负定集 （证略）cB BEc(2) 取上述关于 的 Hahn 分解 ，其中 E 为 正定集， 为 负定集 令 cEXcE，)()AA ) 则 ，( ,cE )()()()() AAAAc ， ， ， 即 是测度， 是有限测度0)(0)( (cEX进而，若 是有限广义测度，则 ， 为有限测度 )()X注： 一般来说，Hahn 分解并非唯一如上例(2)中的 01 定理中由 Hahn 分解导出的 Jordan 分解不随 Hahn 分解的改变而改变即若 为2 ccFEX的两个不同的 Hahn 分解，其中 为 正定集， 为 的负定集 则 ，FE、 cFE、 )()(AA )( ),()(
13、ccFAE（反证法：假设 ， 正定集）)()()( EFAAc 为 F(从而 ，但 是负定集，矛盾两个0)()( cEFEE c等式成立 ）若 是 , A )上的两个测度，且 有限，令 A ) 可以验证 是0321、 X( 2( ),()21 , A )上的广义测度；当 有限（或 有限）时， 也有限（相应地 有限） X( 15.4.2广义测度的绝对连续定义 5.4.3. 设 为 , A )上的广义测度，令 A )， 即 ，称X( ( ),)()(A 为 的全变差（测度） 为 , A )上的测度；若 有限（或 有限） ，则 也有限（相应地 有限） (定义 5.4.4. （绝对连续） 设 是 ,
14、A )上的广义测度，若 ，则称 关于 绝、 X( 0() 0)(A对连续，记作 引理 2设 是 , A )上的广义测度，以下三条等价：、 X(1) ； (2) ， ； (3) 定理 5.4.2. 设 是 , A )上的广义测度，且 有限，则 A，、 ( 0, ,当时，有 )(A证：“ ”反证法假设 不成立 A，使 取 0 )( ,0)(0但A， ， 矛盾 )( 210 )( ,0)( 0A故 “ ”要利用 RN 定理，略5.4.3RadonNikodym 定理引理 3设 是 , A )上的有限测度， ，且 则 A，使得 、 X( 0)(X 0 及，0)(A且 A 是关于广义测度 的正定集)(证
15、：令 是 , A )上的有限广义测度，关于 存在 Hahn 分解 n ,1则nX( n正定集， 负定集 )， ncnEX (,为 ncE 为 (Nn记 ， 则 由于 负定集，故 ，1 n cn1 nc nc 为 0)()(1)(ncccEE)N(n即 令 ，得 已知 )()(0ccEn n0)(cE0)( EXc由 得 于是， （ 是正测度） )( 0)(E1 n 故 取 即可0)( ,n 0nEN使 01 ,0及nA*定理 5.4.3 （RadonNikodym 定理） 设 与 分别为 , A )上的 有限广义测度与 有限测度若X(，则存在 X 上 a.e. 有限的可测函数 ， 满足 ， A
16、 ) f Edf (且 在 等价的意义下是唯一的（即若 满足 A )， 则 ） f g( ,)(Egd X a.e,于g注：记 ，称 为 关于 的 RadonNikodym (R N) 导数d f ,或df f证：若 A )，则取 即可 下设 以下从特殊到一般，分三步证明E (,0)(0f 0第一步设 是有限测度令 F 为非负 A 可测，且 A， 、 f:RXE )( Edf因 F，故 F ， 且 存在 F， 使0f)( sup dfFfnf 令 则 在 X 上非负可测， 且存在两XfXnn ddfsuplimF )Nn (,maxn k1nfg ng两不交的 A， 满足 ， ， )()(1
17、,nnE nk1 ()Enkn xf1 E)()(n)k) N(n ),(于是， ， A ) 亦即 Fnk nkEkEn dfdgn1 1 (n)k)(x)( (ng再令 ， 则 在 X 上非负可测， 且 ， 由 Levi 定理知，nNff supf )(0xgnf) (XxF， 且 f XXnndfg lim 下证 即为所求注意到 F，即 A ) 由 故 在f (E ), 0fE ), L(f )(知XfX 上 有限 令 ， A ) 则 是 , A ) 上的测度， 由 知a.edf )( 0 0( 而 ， 知 是有限测度 0 )(X0下证： （即得 A） 这等价于 ， （ 是测度） E),(
18、dfE 0)( )(00XE采用反证法若不然，则由引理 3 知，存在 与 A，使 且 A 是 正定集， 即)A )亦即 A )()(0AE( ,)(AEdf )(Edf E( ,()令 则 g 是 X 上的非负可测函数， A， 有 ,Afg E )( fgEE（ F ） )( AEdfEAE )()()( AdfE f故 F 另一方面， ， 这与 的定义矛盾g gXX第二步设 是有限广义测度， 是有限测度 由 Jordan 分解知， ， 为有限测度，且 、， 据第一步结论， ，使 ， A )L(, ,)( EdEE (), d令 ，则 ， 且 A )fXf )(,(Edf第三步设 是 有限广义
19、测度， 是 有限测度是广义测度，具有性质： A， 由 均为 有限易知，存在F , () (F) 且 、 两两不交的 A， ，且 令 ，nE1 nEX )Nn ,E ,(nn E)()nn， A )， 则 分别为有限广义测度与有限测度)()nn ()N( )( n、对于 ，由于 知， ， 即 由第二步结论，N 0)0n n ，使 ， A ) 得) L(X, nnf EnEnEn dfdfdfn )( E(，从而 有限 nE . ea再令 因 两两不交，知 为 X 上的 有限的可测函数，且 1 Ennffnf.ea，1 nEn)(ff 从而 ， A )nnEE)(ff EnEn dfdfn) ()
20、( E(但 于是 X)nnn 1 1 1 n(X)( nXEnn dfX n， 得 在 X 上关于 的积分存在（可能为 ） ， 从而有 dfXf， A dffdfdfE EnEnEnEnn nnn ()E)()( 1 1 1 1 1 n ()在 等价意义下， 的唯一性是显然的 （书上 ， 错误）f 94P7注：我们称实数域 R 具有 RadonNikodym 性质 (RNP)复测度与复积分：定义 1设 , A ) 为可测空间，复函数 ，其中 为 , A )上实可X( viuf ,:CXf RXvu：、 (测函数，称 为复可测函数f若 是 , A )上的测度， A 上积分存在（或可积） ，则称
21、在 E 上积分存在（或可积） ，且定义( Evu在、 fdviudfEE定义 2设 , A ) 为可测空间，复集合函数 A 满足：X( :C(1) ；0)(2) (可列可加性) 若 为 A 中两两不交的集列， 则 ； nE 1 n1 n)(E称 为 , A )上的一个复测度X注：(A) 在 RN 定理中，若 为复测度，则定理依然成立，其中 为复值 可积函数f(B) 在概率论中，设 F 是样本空间 S 上的一个事件域（ 代数） ，则 F )是一个可测空间若 F ,(S:P1,0是一个概率测度，则 F, 是概率测度空间若 是复随机变量，则要用到复积分,(S)Pe ),(X第五章习题 98P4设 ,
22、 A 是测度空间， A， 为 E 上 a.e. 有限的可测函数列证明：X()Ef .)(n Ennn dff 01 limI 0证：“ ”设 固定 时，0I 00 , , . 当 从而 ) (1111 ) () ( nfEfEnEn fEddfdf nn， ) (nf 0) (lim n“ ” 设 ， 由于 0, . )(1) ()(111) ( EfEdfdf nfEnEnn 先取 ； 后对此 ，选 时， 2)( ,0使 00 ,n当 2) (nf于是，当 时， ， 0nEndf 1I 7设 , A, 为一测度空间， 证明：X() )3, 21n (),(E ),(n fLf0)limnnE
23、证： N)n (),( EEE ndfdf nn 由于 ， ， 故 )(LffE ) n (,01)( dfEEn11设 , A, 为一测度空间， 为 X 上可测函数， A 证明：X()f nE(1) 若 E，且 存在，则 ；ndf nEdfd lim 证：利用 令 则 两两不交， ，)5(.61 68ThP ) 2( , ,11 nFnFnkEn1 F， 据 有：Enk1 1 F)5(.6 68ThP nnkkk EnFnnFnkFE dfdfdfdfdf lim lim lim 11 1 (2) 若 E，且 ， 则 n)(1LfnEnEffli 证：利用Lebesgue 控制收敛定理于 n
24、f可测，且 ， 而 （控制函数） nEf1EEffn)3,2 (n )(f ),(11XLELf EE， ( )， n 8,5Pn ,fEEn故 nnnXnXE dfdfdfdf lim lim 错误： E， . (见 测度性质(6)，上半连续性有条件成立)n)()(li 3P如：取 ，在 上定义测度 为 (势)， ( ).R)(PQA1 ,0)RPA取 ，而 ， 而 n ,1 (则n 0,1(E Nn , n ,)(En 1)(E14 （Hlder 不等式） 15 （Minkowski 不等式） 23设 证明： ，存在多项式 P，使 )m , (gbaLf0 gbadm Pf ,证：分三步逼
25、近： 简单函数 连续函数 多项式f第一步根据积分的定义，对于 ，存在简单函数 ， 使 3 f f f , gbagbagba dmdd第二步记 根据 鲁金定理，对于 ，存在 R 上的连续函数 ，Mxxa )( supb 58P16M 及 使 ， 这里 从而)(Emg xRx )( s ba,E 32)(2 0 ) ()( , Emddmd ggEgEgba第三步对于 ，根据 Weierstrass 逼近定理，存在 上的多项式 ，使 b Ca, b a,)(xP， 从而， 1) ,(3 )(mxPg)b a, x(3) ,() ,( , mbadggba综合得： 3 PP , , , , gba
26、gbagbagba mdmddff24设 是区间，证明 RiemannLebesgue 引理：RI ),m(Lf (*)0sin)( )(li It txdfL证：记 若 ，则 ,baI )I(x ,)(cf0)cos(limsinlisin)( lim tatbttxdctxdf tbatIt对于阶梯函数 为区间， ， (*)也成立k1 kI( ,)(If)In1 k对于 ，由 ，存在 R 上的阶梯函数 ， 有界，使 ,RLf0 , Th5.276P 2dmR而 时， 这样， 当 ， 有T t, :0sin)( li 当It txd 2sin)( ItxdTt 2 si)( sin)( i RIII mftxdtxftxf所以 0sin)( lim It txdf47 在 , A, ) 上可测且 A ) ，记简单函数 fX(0E (),(0ff，m1 kE 则 A， 有 0n1 kFE m1 0k 0 0 )(supsupkfEfE Eddf ； 0m1 0k 0 )(supEf f同理， 00n1 0k 0 0 )(supsup EfEfE dfFddf ，且 )L(X,f 0 dfffdfff EEEEEE 000000
