1、1第十二章第一节多元函数微分学要点一、 偏导数与全微分要点1、 关于 的偏导数求法：只须将除了 以外的自变量都看成12(,)nufx ixix常量，对于 关于 用一元函数求导法。12,nf i2、可偏导与连续互无关系（1） 可偏导但不连续的例子：例 1、 在 点处。00,(,)1xyfy或其 它 ， 0(,)xy解： ，同理 但函数在0000(,),(,)limxfffx AA0(,),fxy极限不存在，当然不连续。0,y例 2、 在 点。2,()0,(,)0xyf(,)解： 同理 ，但 在 点不连续。20(,)lim0,xfA (,0)fyf(0,)（2） 连续但不可偏导的例子：例 3、 在
2、 点处。,()(,)0,yfx即 在 轴 上 ，（ 即 在 x轴 上 ）其 它 ， (0)解：因为 ，故 在 点连续。又因为()fyf(,)， 在 处不可导， 在 处不可导，(0,),0fx,y0(,0)fx故 在 点不可偏导。,y(,)3、可微与全微分(1)、 在 可微等价于存在与 无关的 使得(,)zfx0,)y0(,)xy,AB20 0,(, ),fxABoAA其中 可换为 或2oxy)oy12.xy(2)、 在 可微(,)f0,)20 00):(,) .(,)(,)afxy fb xyBxy在 连 续 ， f在 可 偏 导 ， 且 A=(2)、可偏导未必可微：反例为例 1、 在 点。2
3、,(),(,)0xyf(0,)例 2、 在 点。1,(,)xyfy或其 它 ， ()(3)、连续且可偏导不能导出可微，反例为例 1、 在 点。(,),zfx(0)解： 同理0,lim,xxffxA (0,).yf由 可知 在 点连续。210(,)()fyyx又因为 且 不存在，故不可微。,zxBx2(,)(0,limxyyAA例 2、 在 点。2,(),(,)0,yzfx(,)解：易见 在极坐标下(,)(),xyff，故 在(,)0, 00limlicosinlimcosin0xyr r(,)fxy可偏导且连续。但是在 点处极限不存在，故不可微。2xyzAxB(,)(0,xy(4) 若偏导数都
4、连续，则必可微。注：判断一个函数 在 处可微的原则与主要步骤如下：(,)zf0,)(i) 若函数 在 处不连续或不可偏导（即至少有一个偏xy导数不存在） ，则函数在 处必不可微；0(,)xy(ii) 若函数 在 处连续且可偏导，则考察如下的(,)zfxy3000002(,)(,)(,)(,)limxyxyfxyfyffx极 限 为 则 可 微 ；其 他 情 形 则 不 可 微 。例 3、设 试问 在 处可3246(,)(,)0,(,)0,xyf xyff(0,)微否？解：由基本不等式有，46446125311()()32xyxyxy故 ，极限为52135(,) 0(,)(,0)f x0.0li
5、m.(0,)(,).xyxyff20(,0,(,0)li xyxyf f= （因为 ）3460li0xy3323546(,)(0,).xxyxy故该函数在 点可微。(,)二、方向导数的要点（1） 对于 有12(,)nzfx偏导数连续 可微 方向导数处处存在，且有其中 是 与 轴正向的夹角。1cos,niiiffgradfvx ivix当 与 同向时，方向导数达到最大，反向时最小，而垂直时为 0。f当 时，在同样的条件下，2n其中 是 与 轴正向的夹角。cosin.fffgradfvxy vx（2） 对于分段函数的分段点，一定要用定义来求方向导数，即对于 元函数 在 点处为n12(,)nzfx
6、12(,)n41122 120(cos,cs,cos)(,)lim .nnntfxtxtxtfxfv 对于二元函数 在 点为(,)zfy,0(csi(,)li .tffxttfxyv 三、混合偏导数要点一般而言，混合偏导数 存在，未必相等；但若都连续，则必相等。00(,)(,)xyffxy所以当任意阶混合偏导数君存在连续的条件下，可交换求偏导的次序。特别，初等函数在混合偏导数均存在时，可交换次序。也就是说，若对于所有涉及到的偏导数与混合偏导数都存在且连续，那么当对 的(,)zfxy x偏导数先后出现 次，而对 的偏导数出现 次，则它们都等于pyq.pqzy例 1、 设 求,xyzue.pqru
7、z因为 所以,xyz ()()().pqrpqrxyzddeexy又因为 所以2()(1),()2),xxxxxdeed从而以().pxxp()().pqr xyzupyqreyz 一般地有 12 1212()n np xnpexx 1212()().nxnxpe例 2、 设 是一元二次可微函数， 试证明：)ufr 21,nirxa是 的函数，记为 并求出21niix(),F().证明：首先有： 于是21.2()i ini ixaxarr()(),iiiurffxr52()()()(i i rii iufrffxaxax = =2)iifrffrr 23().ifffa结合 可得21(,nii
8、xa=2 231)()niiufrffr(1)().nfrfFra) 特别，当 时，则 从而对于()lnf 2(),(),ffrr有u2121(,l,niifxxa 2211.niiunxr由此可得，当 时，若 则(,)l()(),fyyb220.fxyb) 当 则 于是对于211(),(,niirxafr231(),(),frfrf有2121(,)()nniiuxf 22331().ii nrr由此可得，当 时，n若 则1222(,)()()(),fxyzaybzc220.ffxyz有一类题如下：已知 具有直到二阶的连续偏导数， 均为已知(,)u (,),()fgh连续函数，且满足：，求2(
9、,)(1)| 2()(3)ybxafugh (,).uxy6解题要点：因为 ，两边对 积分，并记 关于 的一个原函(,)ufxyxx(,)fxy数为 ，则得(,)F，1(,)(,)(udxfydxFyy （ 的函数对于 而言都是常数）再对上式关于 积分，并记 ，(,)(,)(,Gx1)()yd又可得 1(,)(,)(,)().uuxydFxydy这时 已知的，而 待定。于是解,G,可求出 从而求出()()(),uxyxybua (),xy(,).uxy例 3、 设 有二阶连续偏导数，且满足()z试求201,|cos,yxzy.z解：先对原防那方程关于 积分可得。231()zzdyx再对上式关于 积分又得3321()().6zyxyy联合 32(, 10) (2)(1,cos3xzy 分别以 ， 代入（1） 、 （2） 、 （3）可得x230(,0)()|()(4)6yzyxx 732 211cos(,)()|()(5)66xyzxyyy 得 cos0在（4）中令 或在（5）中令 可得 ，得 1,xy()1，再代入（1）得22()cs6y32,)o.zxyx
