1、 3 函数概念教学目的与要求：掌握函数的定义和各种表示方法，理解函数的四则运算，复合运算，反函数定义，初等函数等。教学重点，难点：函数的定义的正确理解，特殊的函数。教学内容：关于函数概念，在中学数学中我们已有初步的了解，本节将分六部分对此作进一步的讨论。一 函数的定义定义 1 给定义两个实数集 D 和 M，若有对应法则 ，使对 D 内每一个数 x，都有唯一f的一个数 yM 与它相对应，则称 是定义在数集 D 上的函数，记作f,:.yx（1）数集 D 称为函数 的定义域，x 所对应的数 y ,称为 在点 x 的函数值，常记为 。全f f )(xf体函数值的集合 )(),()( MDxfyf 称为
2、函数 的值域。（1）中第一式“DM”表示按法则 建立数集 D 到 M 的函数关系；第二式f“ ”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为 习惯上，我们yx)“.(xf称此函数关系中的 x 为自变量，y 为因变量。注 1定义 1 中的实数集 M 常以 R 来代替，于是定义域 D 和对应法则 就成为确定函f数的两个主要因素。所以，我们也常用xfy),(表示一个函数。由此，我们说某两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。如果两个函数对应法则相同而定义域不同，那么这两个函数仍是不相同的。例如是不相同的两个函数，另一方面，两个相同的函数，和Rxf,1)( 0,1)(Rxg其对应法则的表达式可
3、能不同，例如和,)(.,)(2Rx注 2我们在中学数学中已经知道，表示函数的主要方法是公式法，即用数学运算式子来表示函数，这时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量值的全体，通常称为存在域，在这种情况下，函数的定义域（即存在域）D 可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数，此时可简单地说“函数 y=f(x)”或“函数 f”.f注 3函数 f 给出了 x 轴上的点集到 y 轴上点集 M 之间的单值对应，也称为映射，对于 a ， f(a)称为映射 f 下 a 的象，a 则称为 f(a)的原象。注 4在函数定义中，对每一个 xD，只能有唯一的一个 y 值与它对应，这样定义的函数称为单值函数。若
4、同一个 x 值可以对应多于一个的 y 值，则称这种函数为多值函数。在本书范围内，我们只讨论单值函数。二 函数的表示法除在中学课程里我们已经知道函数的解析法(或称公式法)、列表法和图象法三种表示法外，还有分段表示法，例如符号函数 、函数 表示法、图像xsgn|)(xf.sgn语言来描述表示法：如定义在 R 上的狄利克雷（Dirichlet）函数为 无 理 数当 为 有 理 数当 x，D0,1)(和定义在0，1上的黎曼（Riemann）函数内 的 无 理 数 。和当 为 既 约 真 分 数当 )1,0(,0 )1)(xqpNqpxR注：三 函数的四则运算给定两个函数 f，x 1和 g，x 2，记
5、D=D1 ，并设 D 。f 与 g 在 D 上的D2和、差、积、商运算注 若 D=D1 D2 ，则 f 与 g 不能进行四则运算，例如，设f(x)= ,1,12xxg(x)= = ,42D由于 D1 D2 ，所以表达式f(x)+g(x)= 412x是没有意义的。和、差、积、商写作 f+g，f-g，fg， .gf四 复合函数设有两函数y=f(u)，u ，Du=g(x)，x (2).E记 E*= 可通过函数 g 对应 D 内唯一的一xEDxg 则 对 每 一 个若 ,个值 u，而 u 又通过函数 f 对应唯一的一个值 y。这就确定了一个定义 上的函数，它以Ex 自变量，y 为因变量，记作, xgf
6、xf 或称为函数 f 和 g 的复合函数。并称 f 为外函数，g 为内函数， （2）式中的 u 为中间变量。函数 f 和 g 的复合运算也可简单地写作 例 1 函数 的复合函RExguDufy ,1,0, 2与 函 数数为,122xgfxgf或其定义域 .,E复合函数也可由多个函数相继复合而成，例如，由三个函数 y=sinu，u= 与 v=1-vx2(它们的定义域取为各自的存在域)相继复合而得的复合函数为 y=sin ,21x.1,注 当且仅当 E* （即 D 时，函数 f 与 g 才能进行复合，例如，以)(Egy=f(u)=arc sin u，u 为外函数，u=g(x)=2+x 2，x 为内
7、函数，就不能1,RE进行复合，这是因为外函数的定义域 D=-1，1与内函数的值域 g(E)=2,+ 不相交。五、反函数引入：设函数 y=f(x)，x 满足：对于值域 f(D)中的每一个值 y，D 中有且只有一个值 xD使得 f(x)=y，则按此对应法则得到一个定义在 f(D)上的函数，称这个函数为 f 的反函数，记作：f(D)D1f或 xy，y (4)(1fx).(Df注 1 函数 f 有反函数，意味着 f 是 D 与 f(D)之间的一个一一映射，我们称 为映1f射 f 的逆映射，它把集合 f(D)映射到集合 D，即把 f(D)中的每个值 f(a)对应到 D 中唯一的一个值 a。这时称 a 为
8、逆映射 下 f(a)的象，而 f(a)则是 a 在逆映射 下的原象。1f 1f从上述讨论还可看到，函数 f 也是函数 的反函数，或者说，f 与 互为反函数，1并有(f(x) x，x ,1fDf( (y) y，y ).(f注 2 在反函数 的表示式中，是以 y 为自变量，x 为因变量。若按习惯仍用 x 作为1f自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数 的反函数可改写为)(fy= (x)，x 1f).(Df（5）例如，函数 y=ax+b(a 的反函数分别2,sin)1,0(),0 xyayx与是y= .rcilog,aba与注 3：反函数 的表示式（4）与（5）的形式不同，但它们仍表示同一个函数
9、1f定义域、对应法则相同，变量的记号不同六 初等函数1、六类基本初等函数常量函数 y=c(c 是常数)； 幂函数 y=x a(a 为实数)；指数函数 y=a x(a0，a1)； 对数函数 y=log ax(a0，a1);三角函数 y=sinx(正弦函数)，y=cosx(余弦函数)，y=tanx（正切函数） ，y=cotx（余切函数） ；反三角函数 y=arcsinx（反正弦函数） ，y=arccos x（反余弦函数） ，y=arctan x (反正切函数)，y=arccot x (反余切函数)。2、无理指数幂的定义定义 2 给定实数 a0，a1.设 x 为无理数，我们规定 )7(10|inf
10、6sup时 。， 当为 有 理 数 时 ， 当为 有 理 数 araxr注 1 对任一无理数 x，必有有理数 r0，使 xr 0，则当有理数 rx 时有 rr 0，从而由有理数乘幂的性质，当 a1 时有 ar 。这表明非空数集 ,|为 有 理 数a有一个上界 。由界原理，该数集有上确界，所以（6）式右边是一个确定的数。同理，0ra当 0a1 时（7）式右边也是一个定数。注 2 由2 习题可知，当 x 为有理数时，同样可按（6）式和（7）式来表示 ax，而且与我们以前所熟知的有理数乘幂的概念是一致的。这样，无论 x 是有理数还是无理数，a x都可用（6）式和（7）式来统一表示。定义 3 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数。不是初等函数的函数，称为非初等函数，如在本节第二段中给出的狄利克雷函数和黎曼函数，都是非初等函数.复习思考题、作业题：1，3，6，7，8
