1、2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1) 已知当 时，函数 与是 等价无穷小，则0x()3sinfxxkc(A) (B) ,kc1,4k(C) (D) 3(2) 已知 在 处可导，且 ,则()fx(0)f230()limxffx(A) (B) (C) (D) 20(3) 设 是数列，则下列命题正确的是nu(A) 若 收敛，则 收敛121()nu(B) 若 收敛，则 收敛2()n1n(C) 若 收敛，则 收敛1nu21()nu(D)
2、若 收敛，则 收敛2()1n(4) 设 , , 则 ,40lsiIxd40l(cot)Jxd40ln(cos)KxdI, 的大小关系是JK(A) (B) (C) (D) JIJII(5) 设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，再交换 的第 2 行与第 3 行得单AB位矩阵记为 ， ，则10P0PA(A) (B) (C) (D) 21221P12P(6) 设 为 矩阵, , , 是非齐次线性方程组 的 3 个线性无关的解，A433x, 为任意常数，则 的通解为1kx(A) 2312()k(B) 1(C) 23121()()kk(D) 213(7) 设 , 为两个分布函数，其
3、相应的概率密度 , 是连续函数，则1()Fx 1()fx1f必为概率密度的是(A) (B) 2f 2F(C) (D) 1() 121()()ffx(8) 设总体 服从参数 的泊松分布， 为来自总体的X(0),nX简单随即样本，则对应的统计量 ，1niiT21ii(A) (B) 122,ED212,ETDT(C) (D) 1二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设 ，则 _.0()lim(13)xttfx()f(10) 设函数 ，则 _.yz(1,)|dz(11) 曲线 在点 处的切线方程为_.tan()4xe0(12) 曲线 ，直线 及
4、轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体2yx积_.(13) 设二次型 的秩为 1， 中行元素之和为 3，则 在正交变13(,)TfXAf换下 的标准型为 _.xQ(14) 设二维随机变量 服从 ，则 _.,Y2(,;0)N2()EXY三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10 分)求极限 .012sin1liml(xx(16) (本题满分 10 分)已知函数 具有连续的二阶偏导数， 是 的极值，,fuv(,)2f(,)fuv。求 .(zy2(1,)|zxy(17) (本题满分 10 分)
5、求arcsinlxd(18) (本题满分 10 分)证明 恰有 2 实根。44rt30(19) (本题满分 10 分)在 有连续的导数， ，且 ，()fx0,1(0)1f()()t tDDfxydfdxy，求,|,01tDyxty的表达式。()f(20) (本题满分 11 分)设 3 维向量组 ， ， 不能由1,0T（ ） 2,1T（ ） 3,5T（ ）， ， 线性标出。1,Ta（ ） 23（ ） （ ）求：()求 ；()将 ， ， 由 ， ， 线性表出.1123(21) (本题满分 11 分)已知 为三阶实矩阵， ，且 ，A(R100A求：() 求 的特征值与特征向量；() 求(22) (本
6、题满分 11 分) 已知 ， 的概率分布如下：XYX 0 1 Y -1 0 1P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3且 ，2()求：() 的分布；，() 的分布；Z() . XY(23) (本题满分 11 分) 设 在 上服从均匀分布， 由 ， 与 围成。,G0xy20y求：()边缘密度 ；(f() 。|)XYxy2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 若 ，则 等于01lim()xxae（A）0 （B）1 （C）2
7、（D）3(2) 设 ， 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解，若常数 ，y2()ypxq使 是该方程的解， 是该方程对应的齐次方程的解，则（）u12u（A） （B），12，（C） （D）3， 3，(3) 设函数 , 具有二阶导数，且 。若 是 的极值，()fxg“()0gx0()=xa()g则 在 取极大值的一个充分条件是（）f0（A） （B）afa（C） （D）“()f “()(4) 设 ， , ,则当 充分大时有（）10lnx()gx10xhe（A） （B）ghf ()gfx（C） （D）()fh(5) 设向量组： 可由向量组： 线性表示，下列命题正确12r， ， 12s， ，的是（A）若
8、向量组线性无关，则 （B）若向量组线性相关，则sr（C）若向量组线性无关，则 （D）若向量组线性相关，则(6) 设 为 4 阶实对称矩阵，且 ,若 的秩为 3，则 相似于20AA（A） （B）1010（C） （D）1010(7) 设随机变量的分布函数 ，则1()02xFe1PX（A）0 （B） （C） （D）11e(8) 设 为标准正态分布的概率密度， 为 上的均匀分布的概率密度，若1()fx2()f,3为概率密度，则 应满足20()(,af abbfab（A） （B）344（C） （D）12二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设可导函
9、数 由方程 确定，则()yx200sinxyxtedt_.0xdy(10) 设位于曲线 下方， 轴上方的无界区域为 ,则21()(ln)yexxxG绕 轴旋转一周所得空间区域的体积是_.Gx(11) 设某商品的收益函数为 ，收益弹性为 ，其中 为价格，且 ，则Rp3p(1)R_.()Rp(12) 若曲线 有拐点 ,则 _.321yaxb(0)b(13) 设 ， 为 3 阶矩阵，且 ， ， ，则ABA2B12A_.1AB(14) 设 ， ， 为来自整体 的简单随机样本，记统计量1x2n2(,)N，则 _.21niiTXET三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.
10、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10 分)求极限1lnlimx(16) (本题满分 10 分)计算二重积分 ，其中 由曲线 与直线3DydD21xy及 围成。20xy20x(17) (本题满分 10 分)求函数 在约束条件 下的最大值和最小值uz220yz(18) (本题满分 10 分)（）比较 与 的大小，说明理由10ln(nttd10lntt(1,)（）设 ，求极限l)(,2) limnu(19) (本题满分 10 分)设函数 在 上连续，在 内存在二阶导数，且fx0,3(0,3)，2)+df（）证明：存在 ，使(,)()ff（）证明：存在 ，使“(20) (
11、本题满分 11 分)设 ，10A1ab已知线性方程组 存在 2 个不同的解x（）求 ， a（）求方程组 的通解b(21) (本题满分 11 分)设 ，正交矩阵 使得 为对角矩阵，若 的第 1 列为0143AaQTAQ,求 ，1(2)6T(22) (本题满分 11 分)设二维随机变量 的概率密度为 ，XY，22()xyfxyAe，, ,求常数 及条件概率密度xy()YXf(23) (本题满分 11 分)箱内有 6 个球，其中红，白，黑球的个数分别为 1，2，3，现在从箱中随机的取出 2 个球，设为取出的红球个数， 为取出的白球个数，（）求随机变量 的概率分布(，（）求 )CovXY，2009 年
12、全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数 的可去间断点的个数为 3()sinxf(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.（2）当 时， 与 是等价无穷小，则0sifax2()ln(1)gbx(A) ， . （B） ， . a16b6(C) ， . （D） ， .（3）使不等式 成立的 的范围是1sinlxtdx(A) . (B) . (C) . (D) .(0,)(,)2(,)2(,)（4）设函数 在区间 上的图形为yf13则
13、函数 的图形为0xFftd(A) (B)()fxO 2 3 x1-2-11()fxO 2 3 x1-2-111()x-2 O 2 3 x-11(C) (D)()fxO 2 3 x1-11()fxO 2 3 x1-2-11（5）设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分,AB*,B,A|2,|3AB块矩阵 的伴随矩阵为(A) . (B) . *32O*3O(C) . (D) .*AB *2AB（6）设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，,APTP102TAP若 ，则 为123123(,),(,)QQ(A) . (B) . 0102(C) . (D) .2010（7）设事件 与
14、事件 B 互不相容，则A(A) . (B) . ()P()()PAB(C) . (D) .1(1（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为XY0,NY，记 为随机变量 的分布函数，则函数02Y()zFZX的间断点个数为()ZFz(A) 0. (B)1. (C)2. (D)3.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） .cos320lim1xxe（10）设 ，则 .()yxz(1,0)z（11）幂级数 的收敛半径为 .21()nnex（12）设某产品的需求函数为 ,其对应价格 的弹性 ，则当需求量为(QP0.2p10
15、000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元.（13）设 , ，若矩阵 相似于 ，则 .()T(,0)TkT30k(14) 设 ， , 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别1X2m(,)BnpX2S为样本均值和样本方差，记统计量 ，则 .2XSE三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 9 分）求二元函数 的极值.2(,)lnfxyy（16） （本题满分 10 分）计算不定积分 .1ln)dx(0)（17） （本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中(Dxy.22(,)1),yx（18
16、） （本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理，若函数 在 上连续，在 上可导，则(f,ab,ab，得证 .,ab()f（）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且x0,(0)，则 存在，且 .0lim()xfAf(fA（19） （本题满分 10 分）设曲线 ，其中 是可导函数，且 .已知曲线 与直线()yfx()f()0fx()yfx及 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形0,1t面积值的 倍，求该曲线的方程.t（20） （本题满分 11 分）设, .1A=0421（）求满足 ， 的所有向量 ， .212313（）对（）中的任意向量 , ，证明 , , 线性无关.2
17、（21） （本题满分 11 分）设二次型.212313132(,)()fxaxaxx（）求二次型 的矩阵的所有特征值 .（）若二次型 的规范形为 ，求 的值.2y（22） （本题满分 11 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)XY0(,)xeyf其 他（）求条件概率密度 ；YXy（）求条件概率 .1P（23） （本题满分 11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以 、X、 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.YZ（）求 ；0（）求二维随机变量 的概率分布.(,)XY2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小
18、题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数 在区间 上连续，则 是函数 的（ ）()fx1,0x0()()xftdg（A）跳跃间断点. （B）可去间断点.（C）无穷间断点. （D）振荡间断点.（2）如图，曲线段方程为 ，函数 在区间 上有连续的导数，则定积分()yf()f,a等于（ ） 0()atxfd（A）曲边梯形 面积. （B） 梯形 面积.ODAOD（C）曲边三角形 面积. （D）三角形 面积.C（3）已知 ，则24(,)xyfe（A） ， 都存在 0x(,)f（B） 不存在， 存在(,)f0y（C） 存在，
19、 不存在 x(,)f（D） ， 都不存在(0,)fy（4）设函数 连续，若 ，其中 为图中阴影部分，则f2()(,)uvDfxyFduvD（ ） u（A） （B） （C） （D）2()vfu2()vfu()vfu()vf（5）设 为阶非 0 矩阵， 为 阶单位矩阵，若 ，则（ ）En30A（A） 不可逆， 不可逆.（B） 不可逆， 可逆.（C） 可逆， 可逆.（D） 可逆， 不可逆. （6）设 则在实数域上域与 合同的矩阵为（ ）12（A） . （B） .21（C） . （D） . 21（7）随机变量 独立同分布，且 分布函数为 ，则 分布,XYXFxmax,ZXY函数为（ ）（A） . （B
20、） .2FxFxy（C） . （D） . 21 1（8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ）0,XN,4YXY（A） . （B） .1P21P（C） . （D） . 2二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数 在 内连续，则 . ,()xcf(,)c（10）设 ，则 .341()xf2()_fxd（11）设 ，则 .2,1Dy2Dy（12）微分方程 满足条件 的解是 .0x()y（13）设 3 阶矩阵 的特征值为 1，2，2， 为 3 阶单位矩阵，则 .AE14_AE（14）设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 .X2PX三、解
21、答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分 10 分）求极限 .201sinlimxx(16) （本题满分 10 分）设 是由方程 所确定的函数，其中 具有 2 阶(,)zy2yzxyz导数且 时.（）求 dz（）记 ，求 .1,zuxyxyux(17) （本题满分 11 分）计算 其中 .ma(,),D(,)02,Dy(18) （本题满分 10 分）设 是周期为 2 的连续函数，fx（）证明对任意的实数 ，有 ；t220tfxdfx（）证明 是周期为 2 的周期函数0xtGst(19) （本题满分 10 分
22、）设银行存款的年利率为 ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元，实现第一.5r年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分 12 分）设 元线性方程组 ，其中nxb， ，221naa 12nx0b（）求证行列式 ;1nA（） 为何值时，该方程组有唯一解，并求 ；a1x（） 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。（21） （本题满分 10 分）设 为 3 阶矩阵， 为 的分别属于特征值 的特征向量，向量 满足12, ,3a，2（）证明 线性无关；123,a（）令 ，求 .,P1P
23、A（22） （本题满分 11 分）设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 的XY1,03XiY概率密度为 ，记10yfy其 它 ZY（）求 ；2PZ（）求 的概率密度 ()fz（ 23） （本题满分 11 分）设 是总体为 的简单随机样本.记 ，1,nX 2,)N1niiX， .221()iiS1TXSn（）证明 是 的无偏估计量.（）当 时，求 .0,D2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1) 当 时，与 等价的无穷小量是（
24、）xx（A） （B） （C） （D ）eln(1)1x1cos(2) 设函数 在 处连续，下列命题错误的是（）()f0（A）若 存在，则 0()limxf(0)f（B）若 存在，则xf（C ）若 存在，则 存在 0()lixf()（D）若 存在，则 存在x0f(3) 如图，连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 1 的上、下()yf3,2,半圆周，在区间 上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设2,0则下列结论正确的是（）()()xFftd（A） （B）3()(2)4F5(3)(2)4F（C ） （D） (4) 设函数 连续，则二次积分 等于（）(,)fxy1sin2(,)xdfyd（A）
25、（B）10arcsin,ydf 10arcsin(,)yfxd（C ） （D ）1arcsin02(,)ydfxd 1arcsin02(,)ydfxd(5) 设某商品的需求函数为 ，其中 ， 分别表示需要量和价格，如果该商1602Q品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（）（A）10 （B）20 （C）30 （D）40(6) 曲线 渐近线的条数为（）ln(),xye（A）0 （B）1 （C）2 （D）3(7) 设向量组 , , 线性无关，则下列向量组线性相关的是（）23（A） ， ， (B) ， ， 1112+31+（C ） (D),23,(8) 设矩阵 ， ，则 A 与 B（）1201B
26、（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为（）（A） (B) 23(1)p26(1)p(C) (D) (10) 设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示,XYXY,()xyfX, Y 的概率密度，则在 条件下， 的条件概率密度 为（）y()f（A） (B) ()fxYy(C) (D) XY ()Xf二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上(11) .321lim(sin
27、co)_xx(12) 设函数 ，则 .y()0y(13) 设 是二元可微函数， 则 _.(,)fuv,)zfxyzy(14) 微分方程 满足 的特解为 _.31()2dx1(15) 设距阵 则 的秩为_.0,A3A(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数, 这两数之差的绝对值小于 的概率为_.12三、解答题：1724 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1 7） （本题满分 10 分）设函数 由方程 确定，试判断曲线 在点（1，1）()yxln0yx()yx附近的凹凸性。（1 8） （本题满分 11 分）设二元函数22. 1.(,)1
28、,2yfxyxy计算二重积分 其中 。,.Dfd(,)y（1 9） （本题满分 11 分）设函数 ， 在 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 ，()fxg,ab()fag ，证明：fb（）存在 使得 ；,()fg（）存在 使得 。()()（20 ） （本题满分 10 分）将函数 展开成 的幂级数，并指出其收敛区间。2134fx1x（21 ） （本题满分 11 分）设线性方程组12310()axx与方程231(2)有公共解，求 的值及所有公共解。a（22 ） （本题满分 11 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 是 A 的属于1231,)T的一个特征向量。记 ，其中 E 为 3 阶单位矩阵。
29、1534B（）验证 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；1（）求矩阵 B。（23 ） （本题满分 11 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)XY2,01,.,xyyfy其 他（）求 ；P（）求 的概率密度 。ZY()Zfz（24 ） （本题满分 11 分）设总体 的概率密度为X.10,2(;)1()xfx， 其 他其中参数 未知， 是来自总体 的简单随机样本， 是样本均值。(01)12,.nXX（）求参数 的矩估计量 ；（）判断 是否为 的无偏估计量，并说明理由。242006 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分.
30、把答案填在题中横线上.(1) 1lim_nn(2) 设函数 在 的某邻域内可导，且 ， ，则()fx2efxf212_.f(3) 设函数 可微，且 ，则 在点(1,2)处的全微分()fu10f24zfy1,2d.z(4) 设矩阵 ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则1AEB2AE.B(5)设随机变量 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则XY与 0,3_.max,P(6) 设总体 的概率密度为 为总X121,2x nfeX体 的简单随机样本，其样本方差为 ，则S_.E二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填
31、在题后的括号内.(7) 设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点()yfx()0,()fxfx处的增量， 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则（）0xd与 f0 0(A) . (B) .dy(C) . (D) . 0(8) 设函数 在 处连续，且 ，则（）fx20lim1hf(A) 存在 (B) 存在f且 0ff且(C) 存在 (D) 存在 0f且 且(9) 若级数 收敛，则级数（）1na(A) 收敛 . （B） 收敛.n 1()na(C) 收敛. (D) 收敛. 1a 12n(10) 设非齐次线性微分方程 有两个不同的解 为任()yPxQ 2(),yxC意常数，则该方程的通解是（）
32、(A) . (B) . 12()Cyx11()(C) . (D) 2()(11) 设 均为可微函数，且 ，已知 是(,)(,)fxy与 ,0yx0,)xy在约束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是（）(,)fxy(,)0xy(A) 若 ，则 . 0 0(,)f(B) 若 ，则 . (,)xfy(C) 若 ，则 . 0y0(,)fx(D) 若 ，则 . (,)xfy(12) 设 均为 维列向量， 为 矩阵，下列选项正确的是（）12s nAmn(A) 若 线性相关，则 线性相关. , 12,s(B) 若 线性相关，则 线性无关. s (C) 若 线性无关，则 线性相关. 12, ,s(D) 若
33、线性无关，则 线性无关. ,s 12(13) 设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的 倍加到第 2 列AB得 ，记 ，则（）C01P(A) . (B) . 1CPA(C) . (D) . TAT(14) 设随机变量 服从正态分布 ，随机变量 服从正态分布 ，X21(,)NY2(,)N且 12P则必有（）(A) (B) 121(C) (D) 2三、解答题：1523 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1 5） （本题满分 7 分）设 ，求：1sin, ,0arctxyfxyy() ；lim,ygf() 。0lix（1 6） （本题
34、满分 7 分）计算二重积分 ，其中 是由直线 所围成的平2dDxyD,10yx面区域。（1 7） （本题满分 10 分）证明：当 时，0absin2cossin2cosbaa（1 8） （本题满分 8 分）在 坐标平面上，连续曲线 过点 ，其上任意点 处的切xOyL1,0M,0Pxy线斜率与直线 的斜率之差等于 （常数 ） 。Px（）求 的方程；L（）当 与直线 所围成平面图形的面积为 时，确定 的值。a83a（1 9） （本题满分 10 分）求幂级数 的收敛域及和函数 。12nx()sx（20 ） （本题满分 13 分）设 4 维向量组TTT1234,2,3aaa问 为何值时 线性相关？当
35、线性相关时，, 13412求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。（21 ） （本题满分 13 分）设 3 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 3，向量A是线性方程组 的两个解。TT12,0,10Ax（）求 的特征值与特征向量；（）求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 ；QQ（）求 及 ，其中 为 3 阶单位矩阵。632E（22 ） （本题满分 13 分）设随机变量 的概率密度为X，1,0,24Xxfx 其 他令 为二维随机变量 的分布函数。2,YFxy(,)XY（）求 的概率密度 ；Yf（） ；Cov(,)X（） 。142（23 ） （本题满分 13 分）设总体 的概率密度为
36、 ,01,;12,xfx其 他 ,其中 是未知参数 ， 为来自总体 的简单随机样本，记 为样012n.XXN本值 中小于 1 的个数。12,.nx（）求 的矩估计；（）求 的最大似然估计。2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限 _.2limsn1x(2) 微分方程 满足初始条件 的特解为_.0y2y(3) 设二元函数 ，则 _.lnxyze1,0dz(4) 设行向量组 线性相关，且 ，,3,4a1a则 _.a(5) 从数 中任取一个数，记为 ，再从 中任取一个数，记为 ，则123
37、4X Y_.PY(6) 设二维随机变量 的概率分布为,YX0 10 0.4 a1 b 0.1若随机事件 与 相互独立，则 _， _.Yb二、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 当 取下列哪个值时，函数 恰有两个不同的零点.a3291fxxa（A）2 （B）4 （C）6 （D）8(8) 设22212 3cos,cos,cosDDDIxydIxydIxyd，其中 ，则,1（A） （B） （C） （D）321II23I213I1(9) 设 若 发散， 收敛，则下列结论正确的是0,n
38、a 1na1na（A） 收敛， 发散 （B） 收敛， 发散21n2n21n21n（C） 收敛 （D） 收敛1ana(10) 设 ，下列命题中正确的是sicofxx（A） 是极大值， 是极小值 02f（B） 是极小值， 是极大值f（C） 是极大值， 也是极大值 02f（D） 是极小值， 也是极小值f(11) 以下四个命题中，正确的是（A）若 在 内连续，则 在 内有界fx0,1fx0,1（B）若 在 内连续，则 在 内有界 （C）若 在 内有界，则 在 内有界 fx0,1fx0,1（D）若 在 内有界，则 在 内有界(12) 设矩阵 满足 ，其中 为 的伴随矩阵， 为 的转置矩3ijAa*TA*
39、TA阵. 若 为三个相等的正数，则 为12, 1（A） （B）3 （C） （D）33(13) 设 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则12, 12,线性无关的充分必要条件是1,（A） （B） （C） （D）0201020(14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）三、解答题：本题共 9 小题，满分 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1 5） （本题满分 8 分）求 .01limxxe（1 6） （本题满分 8 分）设 具有二阶连续导数，且 ，求fu,yxgxff.22gxy（1 7） （本题满分 9 分）计算二重积分 ，其中
40、 .21Dxd,01,Dxyy（1 8） （本题满分 9 分）求幂级数 在区间 内的和函数 .21nn,S（1 9） （本题满分 8 分）设 在 上的导数连续，且 .证明：,fxg0,10,0,ffxg对任何 ，有100 1afxdfxgdfa（20 ） （本题满分 13 分）已知齐次线性方程组（） 和 （）123,50,xxa1233,1,bcxx同解，求 的值 .,（21 ） （本题满分 13 分）设 为正定矩阵，其中 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵， 为 阶TACDB,ABCmn矩阵.（）计算 ，其中 ；P1mnECO（）利用（）的结果判断矩阵 是否为正定矩阵，并证明你的结论 .1T（2
41、2 ） （本题满分 13 分）设二维随机变量 的概率密度为,XY0,2,1xyxfxy其 它 .求：（） 的边缘概率密度 ；,XYff（） 的概率密度 ；2ZXYZfz（） .1P（23 ） （本题满分 13 分）设 为来自总体 的简单随机样本，其样本均值为 ，12,n 20,NX记 .,iiYX（）求 的方差 ；12,iDY（）求 与 的协方差 ；1nnCov（）若 是 的无偏估计量，求常数 .cc2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若 ，则 _， _.0sinlmo5xbeaab(2) 函数 由关系式 确定，其中函数 可微，,fuv,fxgyxgygy且，则 _.gy2(3) 设 则 _.21,2,xef1fxd(4) 二次型 的秩为_.222123131fxx(5) 设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 _.XPXD(6) 设总体 服从正态分布 ，总体 服从正态分布 ，X21,NY2,N和 分别是来自总体 和 的简单随机
