1、数值计算方法期末模拟试题二 一、 填空（共 20 分，每题 2 分） 1、设 ，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x=_.2、设一阶差商， 则二阶差商 3、数值微分中，已知等距节点的函数值 则由三点的求导公式，有 4、求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ，那么 5、解初始值问题 近似解的梯形公式是 6、 ，则 A 的谱半径 ，A 的 7、设 ，则 和 8、若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_ 10、设 ，当 时，必有分解式 ，其中L 为下三角阵，当其对角线元素
2、足条件 时，这种分解是唯一的。二、计算题 （共 60 分，每题 15 分） 1、设 （1）试求 在 上的三次 Hermite 插值多项式 H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式 2、已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？ 3、 试确定常数 A，B，C 和 ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型的？ 4、 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式：三、证明题 1、 设 （1） 写出解 的 Newton 迭代格式（2） 证明此迭代格式是线性收敛的 2、 设 R=ICA，如
3、果 ，证明： （1）A、C 都是非奇异的矩阵（2）参考答案：一、填空题1、2.31502、3、 4、1.55、 6、 7、 8、 收敛9、O（h） 10、 二、计算题1、1、（1） （2） 2、由 ，可得 因故 故，k=0,1,收敛。 3、 ，该数值求积公式具有 5 次代数精确度，它是 Gauss 型的4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得，记步长为 h,对积分用 Simpson 求积公式得 所以得数值解公式：三、证明题1、证明：（1）因 ，故 ，由 Newton迭代公式： n=0,1, 得 ，n=0,1, （2）因迭代函数，而， 又 ，则故此迭代格式是线性收敛的。 2、证明：（1）因 ，所以 IR 非奇异，因 IR=CA，所以C，A 都是非奇异矩阵 （2） (2) 故 则有（2.1）因 CA=IR，所以 C=（IR）A -1，即 A-1=（IR） -1C又 RA-1=A-1C，故由（这里用到了教材 98页引理的结论）移项得(2.2)结合（2.1）、(2.2)两式，得
