1、微积分习题解答（第二章）1 写出下列数列的一般项，并通过观察指出其中收敛数列的极限值。120,4612nnu解 ： 一 般 项 该 数 列 收 敛 ， 其 极 限 为 零 。13,2601nu解 ： 一 般 项 该 数 列 收 敛 ， 其 极 限 为 零 。25107642,3nu解 ： 一 般 项 该 数 列 发 散 。3.利用定义证明下列极限；nnnnn-1lim06-16ln61l,-106limnnNnN证 明 ： 对 于 任 给 ， 要 使 只 要取 正 整 数 当 时 总 有 不 等 式 成 立213li011,01limnnnNnN证 明 ： 对 于 任 给 ， 要 使 只 要取
2、 正 整 数 当 时 总 有 不 等 式 成 立4.试判断下列论点断是否正确。 1,lim1lim0n nnuAuA如 果 越 大 越 接 近 零 则 有 错 误例 如 随 着 越 大 ， 而 越 加 接 近 零 ， 但1 13li0N=nlimnn nn uAuAuuA 如 果 对 于 任 给 ， 在 数 列 中 除 有 限 项 外 ， 都 满 足 不 等 式 时 总 有 成 立 ， 于 是 ， 由 极 限 定 义 可 知5li001ln1,ln,lim0xxxxxeeXe证 明 ： 对 于 任 意 给 定 的 不 妨 设 ， 要 使只 需 取 ， 取 正 数 X=-,则 当 时 总 有 成
3、 立 ， 于 是 ， 由 极 限 定 义 可 知7。指出下列变量当 时，是无穷小量：?22121lim0,li0,xx解 ： 变 量 当 或 时 是 无 穷 小 量 。1 113lim,li0,x xxxeee解 ： 变 量 当 时 是 无 穷 小 量 。315ln31im0,li0ln1,lnxx解 ： 变 量 当 或 时 是 无 穷 小 量 。8 指出下列变量当 时，是无穷大量：?x2 2211,01,xxx解 ： 当 或 变 量当 或 为 无 穷 大 量 。11003lim,li,xxxxee解 ： 当 为 无 穷 大 量 。9.当 时，比较下面无穷小量的阶。x30312,limx解 是
4、 的 同 阶 无 穷 小 量110003ln1,imlinlimlnl xxxx e解 是 的 等 价 无 穷 小 量 005arctn,arctnlili10rtxxx解 是 的 高 阶 无 穷 小 量10.判别正误。1无 穷 小 量 是 非 常 小 的 正 数 错 。 无 穷 小 量 是 以 零 为 极 限 的 变 量2无 穷 小 量 是 零 错 。 零 是 无 穷 小 量 ,但 是 无 穷 小 量 不 一 定 是 零 。131xx是 无 穷 小 量 错 。 如 当 时 ， 0， 不 是 无 穷 小 量 ,但 是 当 时 ， ， 是 无 穷 小 量 。x x4+1lim1lim0x两 个
5、无 穷 大 量 之 和 仍 为 无 穷 大 量错 。 例 如 ， 当 时 ， 与 均 为 无 穷 大 量 ，但即 ， 当 时 ， 不 是 无 穷 大 量 ， 而 是 无 穷 小 量 。000120101205limli,xxxxxfcgMxfxAA两 个 无 穷 大 量 之 积 仍 为 无 穷 大 量对 。 证 明 ： 设 f=， g均 为 无 穷 大 量 ，要 证对 于 任 给 的 ， 因 为 当 时 f与 g均 为 无 穷 大 量 ， 所 有 ， 存 在 使 得 当时 总 有 取 =ma， 则 当 时0lix fAA即 fgx0x061sinx1sinlmli1snAAA任 意 两 个 无
6、 穷 小 量 都 可 以 比 较 阶 的 高 低错 。 例 如 ， 当 时 ， 与 均 为 无 穷 小 量 ，但 不 存 在所 以 ， 不 能 比 较 与 阶 的 高 低 。7xxsi无 界 变 量 一 定 为 无 穷 大 量错 。 例 如 ， 当 时 ， 变 量 为 无 界 变 量 ，但 不 是 无 穷 大 量 。12求下列极限：22231lim3lilim1nnn解 ： 原 式 =231lim0x解 ： 原 式 =2t7 2345lim1710t解 ： 原 式 =137lim-514x解 ： 原 式 =2229lim11lixxx解 ： 原 式 =229li1lim1xxx解 ： 原 式3
7、4443211lilim01xxx解 ： 原 式 =14620146202031limli 33xxxx解 ： 原 式 =3 23323232315lim11lilim01xxxxxxx解 ： 原 式17li4101a41lim0xxxxxxxxaa 且 ， 讨 论 的 各 种 可 能 情 况 ， 当 a时解 ： 原 式 ， 当 时15.求下列极限：00sin1l21siniml2xx解 ：20 22200si3li sin1sinlimli0xxxx解 ：00sin35lm2sin3ili2xx解 ：00tan47lisi2mli2xxrc解 ：19lisn1sinlimlxxx解 ：005
8、sin31lita225sin35mli 1tat2xxxxA解 ：331lilimli1xx xxx e解 ：101 sin0,ln1siinlnsi 10 015lisini lmxx xxxxee 解 ：3-23 32217limlili1xx xxx e解 ：18指出下列函数的间断点类型；22111211,0limlilim201,1xxxxff fffxf解 ： ， 而 是 函 数 的 可 去 间 断 点只 要 将 在 处 定 义 由 改 为 ， 所 得 函 数即 为 连 续 函 数31313100311131limli,00,limlixxxxxxxeffefeffe解 ： 在 处
9、 无 定 义 ， 而是 该 函 数 的 一 个 可 去 间 断 点 。只 需 要 补 充 定 义 ， 得 函 数在 处 连 续又 是 该 函 数 的 一 个 无 穷 间 断 点19讨论下列函数的连续性：00011arctn10121si,arctn1202sinxxxxxxxfxflinflifflifflinflix解 ： 即 ， ， 不 存 在 ，在 处 不 连 续 1101,0,xfflifxff 即 ， ， 不 存 在 ，在 处 不 连 续在 区 间 内 有 定 义 ，且 为 初 等 函 数 的 连 续 区 间 为12 21 20000,020ln, ln1lim,imli, ,x x
10、xxxexfxffeflinf f 解 ： ， 且即 ， 故 在 处 连 续显 然 在 及 内 连 续 连 续 区 间 为20 研究下列函数在 的连续性：0x00000,1121limlilim212li2xxxxxxff xffff 解 ： 且 ， 故 函 数 在 连 续 。 20 220001cos,21cos1limlilim0xxxxxfxfff f解 ： 且 故 函 数 在 不 连 续 。21.确定下列函数的定义域，并求常数 和 ，使函数在各自定义域内连续：ab001sin0si, ,0,1sinliml1ixf fxxxxxxfabxDDxfaffbff解 ： ， 在 的 子 区
11、间 与 内 ，函 数 均 为 初 等 函 数 在 内 连 续 ，现 讨 论 在 分 界 点 处 的 连 续 性已 知且 有若 要 连 续 ， 仅 当 0102, ffbafxfx， 即时 ， 在 处 连 续 ， 解 到当 时 ， 函 数 在 其 定 义 域 内 连 续2 21111110,0limlix010limlif xxxxaxxbDffbaf fffabfffa解 ： ，且 有若 要 在 处 连 续 ， 仅 当 ， 即时 ， 在 处 连 续 .且 有 210211,0bf fffabfxabfx若 要 在 处 连 续 ， 仅 当 ， 即时 ， 在 处 连 续综 合 上 述 ， 得 到即 当 时 ， 函 数 在 其 定 义 域 内 连 续23证明方程 在 内至少有一个实根3x1,2333123,1021, 1,2xfffxA证 明 ： 设 函 数显 然 在 上 连 续 ， 且所 以 在 上 满 零 值 定 理 条 件 。 因 此 在 内 ，方 程 至 少 有 一 个 实 根 。
