1、MATLAB 程式设计与应用曾剑锋1-1、基本运算与函数 在 MATLAB 下进行基本数学运算，只需将运算式直接打入提示号（）之后，并按入 Enter 键即可。例如： (5*2+1.3-0.8)*10/25 ans = 4.2000 MATLAB 会将运算结果直接存入一变数 ans，代表 MATLAB 运算后的答案（Answer），并显示其数值于萤幕上。（为简便起见，在下述各例中，我们不再印出 MATLAB 的提示号。） 小提示： “是 MATLAB 的提示符号（Prompt） ，但在 PC 中文视窗系统下，由于编码方式不同，此提示符号常会消失不见，但这并不会影响到 MATLAB 的运算结果。
2、 我们也可将上述运算式的结果设定给另一个变数 x：x = (5*2+1.3-0.8)*102/25 x = 42 此时 MATLAB 会直接显示 x 的值。由上例可知，MATLAB 认识所有一般常用到的加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）的数学运算符号，以及幂次运算（）。 小提示： MATLAB 将所有变数均存成 double 的形式，所以不需经过变数宣告（Variable declaration） 。MATLAB 同时也会自动进行记忆体的使用和回收，而不必像 C 语言，必须由使用者一一指定。这些功能使的 MATLAB 易学易用，使用者可专心致力于撰写程式，而不必被软件枝节问题所干扰。 若不
3、想让 MATLAB 每次都显示运算结果，只需在运算式最后加上分号（；）即可，如下例： y = sin(10)*exp(-0.3*42); 若要显示变数 y 的值，直接键入 y 即可： y y = -0.0045 在上例中，sin 是正弦函数，exp 是指数函数，这些都是 MATLAB 常用到的数学函数。下表即为 MATLAB 常用的基本数学函数及三角函数： 小整理：MATLAB 常用的基本数学函数 abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度 angle(z)：复数 z 的相角(Phase angle) sqrt(x)：开平方 real(z)：复数 z 的实部 imag(z)：复数 z 的虚部 co
4、nj(z)：复数 z 的共轭复数 round(x)：四舍五入至最近整数 fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数 floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数 ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数 rat(x)：将实数 x 化为分数表示 rats(x)：将实数 x 化为多项分数展开 sign(x)：符号函数 (Signum function)。 当 x0 时，sign(x)=1。 rem(x,y)：求 x 除以 y 的馀数 gcd(x,y)：整数 x 和 y 的最大公因数 lcm(x,y)：整数 x 和 y 的最小公倍数 exp(x)：自然指数 pow2(x)：2 的指数
5、 log(x)：以 e 为底的对数，即自然对数或 log2(x)：以 2 为底的对数 log10(x)：以 10 为底的对数 小整理：MATLAB 常用的三角函数 sin(x)：正弦函数 cos(x)：馀弦函数 tan(x)：正切函数 asin(x)：反正弦函数 acos(x)：反馀弦函数 atan(x)：反正切函数 atan2(x,y)：四象限的反正切函数 sinh(x)：超越正弦函数 cosh(x)：超越馀弦函数 tanh(x)：超越正切函数 asinh(x)：反超越正弦函数 acosh(x)：反超越馀弦函数 atanh(x)：反超越正切函数 变数也可用来存放向量或矩阵，并进行各种运算，如
6、下例的列向量（Row vector）运算：x = 1 3 5 2; y = 2*x+1 y = 3 7 11 5 小提示：变数命名的规则 1. 第一个字母必须是英文字母 2. 字母间不可留空格 3. 最多只能有 19 个字母，MATLAB 会忽略多余字母 我们可以随意更改、增加或删除向量的元素：y(3) = 2 % 更改第三个元素 y = 3 7 2 5 y(6) = 10 % 加入第六个元素 y = 3 7 2 5 0 10 y(4) = % 删除第四个元素， y = 3 7 2 0 10 在上例中，MATLAB 会忽略所有在百分比符号（%）之后的文字，因此百分比之后的文字均可视为程式的注解
7、（Comments）。MATLAB 亦可取出向量的一个元素或一部份来做运算： x(2)*3+y(4) % 取出 x 的第二个元素和 y 的第四个元素来做运算 ans = 9 y(2:4)-1 % 取出 y 的第二至第四个元素来做运算 ans = 6 1 -1 在上例中，2:4 代表一个由 2、3、4 组成的向量，同样的方法可用于产生公差为 1 的等差数列： x = 7:16 x = 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若不希望公差为 1，则可将所需公差直接至于 4 与 13 之间： x = 7:3:16 % 公差为 3 的等差数列 x = 7 10 13 16 事实上，我们可
8、利用 linspace 来产生任意的等差数列： x = linspace(4, 10, 6) % 等差数列：首项为 4,末项为 10,项数为 6 x = 4.0000 5.2000 6.4000 7.6000 8.8000 10.0000 若对 MATLAB 函数用法有疑问，可随时使用 help 来寻求线上支援（on-line help）：help linspace LINSPACE Linearly spaced vector. LINSPACE(x1, x2) generates a row vector of 100 linearly equally spaced points betw
9、een x1 and x2. LINSPACE(x1, x2, N) generates N points between x1 and x2. See also LOGSPACE, :. 小整理：MATLAB 的查询命令 help：用来查询已知命令的用法。例如已知 inv 是用来计算反矩阵，键入 help inv 即可得知有关 inv 命令的用法。 （键入 help help 则显示 help 的用法，请试看看！） lookfor：用来寻找未知的命令。例如要寻找计算反矩阵的命令，可键入 lookfor inverse，MATLAB 即会列出所有和关键字 inverse 相关的指令。找到所需的
10、命令後，即可用help 进一步找出其用法。 （lookfor 事实上是对所有在搜寻路径下的 M 档案进行关键字对第一注解行的比对，详见后叙。 ） 将列向量转置（Transpose）后，即可得到行向量（Column vector）： z = x z = 4.0000 5.2000 6.4000 7.6000 8.8000 10.0000 不论是行向量或列向量，我们均可用相同的函数找出其元素个数、最大值、最小值等： length(z) % z 的元素个数 ans = 6 max(z) % z 的最大值 ans = 10 min(z) % z 的最小值 ans = 4 小整理：适用于向量的常用函数有
11、： min(x): 向量 x 的元素的最小值 max(x): 向量 x 的元素的最大值 mean(x): 向量 x 的元素的平均值 median(x): 向量 x 的元素的中位数 std(x): 向量 x 的元素的标准差 diff(x): 向量 x 的相邻元素的差 sort(x): 对向量 x 的元素进行排序（Sorting） length(x): 向量 x 的元素个数 norm(x): 向量 x 的欧氏（Euclidean）长度 sum(x): 向量 x 的元素总和 prod(x): 向量 x 的元素总乘积 cumsum(x): 向量 x 的累计元素总和 cumprod(x): 向量 x 的
12、累计元素总乘积 dot(x, y): 向量 x 和 y 的内积 cross(x, y): 向量 x 和 y 的外积 （大部份的向量函数也可适用于矩阵，详见下述。 ） 若要输入矩阵，则必须在每一列结尾加上分号（；），如下例： A = 1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; A A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 同样地，我们可以对矩阵进行各种处理：A(2,3) = 5 % 改变位于第二列，第三行的元素值 A = 1 2 3 4 5 6 5 8 9 10 11 12 B = A(2,1:3) % 取出部份矩阵 B B = 5 6 5 A = A B %
13、 将 B 转置后以行向量并入 A A = 1 2 3 4 5 5 6 5 8 6 9 10 11 12 5 A(:, 2) = % 删除第二行（：代表所有列） A = 1 3 4 5 5 5 8 6 9 11 12 5 A = A; 4 3 2 1 % 加入第四列 A = 1 3 4 5 5 5 8 6 9 11 12 5 4 3 2 1 A(1 4, :) = % 删除第一和第四列（：代表所有行） A = 5 5 8 6 9 11 12 5 这几种矩阵处理的方式可以相互叠代运用，产生各种意想不到的效果，就看各位的巧思和创意。 小提示： 在 MATLAB 的内部资料结构中，每一个矩阵都是一个以
14、行为主（Column-oriented）的阵列（Array）因此对於矩阵元素的存取，我们可用一维或二维的索引（Index）来定址。举例来说，在上述矩阵 A 中，位于第二列、第三行的元素可写为 A(2,3) （二维索引）或 A(6)（一维索引，即将所有直行进行堆叠後的第六个元素） 。 此外，若要重新安排矩阵的形状，可用 reshape 命令： B = reshape(A, 4, 2) % 4 是新矩阵的列数，2 是新矩阵的行数 B = 5 8 9 12 5 6 11 5 小提示： A(:)就是将矩阵 A 每一列堆叠起来，成为一个行向量，而这也是 MATLAB 变数的内部储存方式。以前例而言，re
15、shape(A, 8, 1)和 A(:)同样都会产生一个 8x1 的矩阵。 。 MATLAB 可在同时执行数个命令，只要以逗号或分号将命令隔开： x = sin(pi/3); y = x2; z = y*10, z = 7.5000 若一个数学运算是太长，可用三个句点将其延伸到下一行： z = 10*sin(pi/3)* . sin(pi/3); 若要检视现存于工作空间（Workspace）的变数，可键入 who： who Your variables are:testfile x 这些是由使用者定义的变数。若要知道这些变数的详细资料，可键入： whos Name Size Bytes Cla
16、ssA 2x4 64 double array B 4x2 64 double array ans 1x1 8 double array x 1x1 8 double array y 1x1 8 double array z 1x1 8 double arrayGrand total is 20 elements using 160 bytes 使用 clear 可以删除工作空间的变数： clear A A ? Undefined function or variable A. 另外 MATLAB 有些永久常数（Permanent constants），虽然在工作空间中看不 到，但使用者可直接
17、取用，例如： pi ans = 3.1416 下表即为 MATLAB 常用到的永久常数。 小整理：MATLAB 的永久常数 i 或 j：基本虚数单位（即 ） eps：系统的浮点（Floating-point）精确度 inf：无限大， 例如 1/0 nan 或 NaN：非数值（Not a number） ，例如 0/0 pi：圆周率 （= 3.1415926.） realmax：系统所能表示的最大数值 realmin：系统所能表示的最小数值 nargin: 函数的输入引数个数 nargin: 函数的输出引数个数 1-2、重复命令 最简单的重复命令是 for 圈（for-loop），其基本形式为：
18、 for 变数 = 矩阵； 运算式； end其中变数的值会被依次设定为矩阵的每一行，来执行介于 for 和 end 之间的运算式。因此，若无意外情况，运算式执行的次数会等于矩阵的行数。 举例来说，下列命令会产生一个长度为 6 的调和数列（Harmonic sequence）：x = zeros(1,6); % x 是一个 16 的零矩阵 for i = 1:6, x(i) = 1/i; end 在上例中，矩阵 x 最初是一个 16 的零矩阵，在 for 圈中，变数 i 的值依次是1 到 6，因此矩阵 x 的第 i 个元素的值依次被设为 1/i。我们可用分数来显示此数列： format rat
19、% 使用分数来表示数值 disp(x) 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 for 圈可以是多层的，下例产生一个 16 的 Hilbert 矩阵 h，其中位于第 i 列、第 j 行的元素为 ： h = zeros(6); for i = 1:6, for j = 1:6, h(i,j) = 1/(i+j-1); end end disp(h) 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/6
20、1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 小提示：预先配置矩阵 在上面的例子，我们使用 zeros 来预先配置（Allocate）了一个适当大小的矩阵。若不预先配置矩阵，程式仍可执行，但此时 MATLAB 需要动态地增加（或减小）矩阵的大小，因而降低程式的执行效率。所以在使用一个矩阵时，若能在事前知道其大小，则最好先使用zeros 或 ones 等命令来预先配置所需的记忆体（即矩阵）大小。 在下例中，for 圈列出先前产生的 Hilbert 矩阵的每一行的平方和： for i = h, disp(norm(i)2); % 印出每一行的平方和 end 1299/871 282/551 650/
21、2343 524/2933 559/4431 831/8801 在上例中，每一次 i 的值就是矩阵 h 的一行，所以写出来的命令特别简洁。 令一个常用到的重复命令是 while 圈，其基本形式为： while 条件式； 运算式； end也就是说，只要条件示成立，运算式就会一再被执行。例如先前产生调和数列的例子，我们可用 while 圈改写如下： x = zeros(1,6); % x 是一个 16 的零矩阵 i = 1; while i 0.5, disp(Given random number is greater than 0.5.); end Given random number is
22、 greater than 0.5. 1-4、集合多个命令于一个 M 档案 若要一次执行大量的 MATLAB 命令，可将这些命令存放於一个副档名为 m 的档案，并在 MATLAB 提示号下键入此档案的主档名即可。此种包含 MATLAB 命令的档案都以 m 为副档名，因此通称 M 档案（M-files）。例如一个名为 test.m 的 M 档案，包含一连串的 MATLAB 命令，那麽只要直接键入 test，即可执行其所包含的命令： pwd % 显示现在的目录 ans = D:MATLAB5bin cd c:datamlbook % 进入 test.m 所在的目录 type test.m % 显示
23、 test.m 的内容 % This is my first test M-file. % Roger Jang, March 3, 1997 fprintf(Start of test.m!n); for i = 1:3, fprintf(i = %d - i3 = %dn, i, i3); end fprintf(End of test.m!n); test % 执行 test.m Start of test.m! i = 1 - i3 = 1 i = 2 - i3 = 8 i = 3 - i3 = 27 End of test.m! 小提示：第一注解行（H1 help line） tes
24、t.m 的前两行是注解，可以使程式易於了解与管理。特别要说明的是，第一注解行通常用来简短说明此 M 档案的功能，以便 lookfor 能以关键字比对的方式来找出此 M 档案。举例来说，test.m 的第一注解行包含 test 这个字，因此如果键入 lookfor test，MATLAB 即可列出所有在第一注解行包含 test 的 M 档案，因而 test.m 也会被列名在内。 严格来说，M 档案可再细分为命令集（Scripts）及函数（Functions）。前述的 test.m 即为命令集，其效用和将命令逐一输入完全一样，因此若在命令集可以直接使用工作空间的变数，而且在命令集中设定的变数，也都
25、在工作空间中看得到。函数则需要用到输入自变数（Input arguments）和输出自变数（Output arguments）来传递资讯，这就像是 C 语言的函数，或是 FORTRAN 语言的子程序（Subroutines）。举例来说，若要计算一个正整数的阶乘（Factorial），我们可以写一个如下的 MATLAB 函数并将之存档于 fact.m： function output = fact(n) % FACT Calculate factorial of a given positive integer. output = 1; for i = 1:n, output = output*
26、i; end其中 fact 是函数名，n 是输入自变数，output 是输出自变数，而 i 则是此函数用到的临时变数。要使用此函数，直接键入函数名及适当输入自变数值即可： y = fact(5) y = 120 （当然，在执行 fact 之前，你必须先进入 fact.m 所在的目录。）在执行fact(5)时，MATLAB 会跳入一个下层的临时工作空间（Temperary workspace），将变数 n 的值设定为 5，然后进行各项函数的内部运算，所有内部运算所产生的变数（包含输入自变数 n、临时变数 i，以及输出自变数 output）都存在此暂时工作空间中。运算完毕后，MATLAB 会将最后
27、输出自变数 output 的值设定给上层的变数 y，并将清除此临时工作空间及其所含的所有变数。换句话说，在呼叫函数时，你只能经由输入自变数来控制函数的输入，经由输出自变数来得到函数的输出，但所有的临时变数都会随着函数的结束而消失，你并无法得到它们的值。 小提示：有关阶乘函数 前面（及后面）用到的阶乘函数只是纯粹用来说明 MATLAB 的函数观念。若实际要计算一个正整数 n 的阶乘（即 n!）时，可直接写成 prod(1:n)，或是直接呼叫 gamma 函数：gamma(n-1)。 MATLAB 的函数也可以是递归式的（Recursive），也就是说，一个函数可以呼叫它本身。举例来说，n! =
28、n*(n-1)!，因此前面的阶乘函数可以改成递归式的写法： function output = fact(n) % FACT Calculate factorial of a given positive integer recursively. if n = 1, % Terminating condition output = 1; return; end output = n*fact(n-1); 在写一个递归函数时，一定要包含结束条件（Terminating condition），否则此函数将会一再呼叫自己，永远不会停止，直到电脑的记忆体被耗尽为止。以上例而言，n=1 即满足结束条件，
29、此时我们直接将 output 设为 1，而不再呼叫此函数本身。 1-5、搜寻路径 在前一节中，test.m 所在的目录是 d:mlbook。如果不先进入这个目录，MATLAB 就找不到你要执行的 M 档案。如果希望 MATLAB 不论在何处都能执行test.m，那麽就必须将 d:mlbook 加入 MATLAB 的搜寻路径（Search path）上。要检视 MATLAB 的搜寻路径，键入 path 即可： path MATLABPATH d:matlab7toolboxmatlabgeneral d:matlab7toolboxmatlabops d:matlab7toolboxmatlab
30、lang d:matlab7toolboxmatlabelmat d:matlab7toolboxmatlabelfun d:matlab7toolboxmatlabspecfun d:matlab7toolboxmatlabmatfun d:matlab7toolboxmatlabdatafun d:matlab7toolboxmatlabpolyfun d:matlab7toolboxmatlabfunfun d:matlab7toolboxmatlabsparfun d:matlab7toolboxmatlabgraph2d d:matlab7toolboxmatlabgraph3d d
31、:matlab7toolboxmatlabspecgraph d:matlab7toolboxmatlabgraphics d:matlab7toolboxmatlabuitools d:matlab7toolboxmatlabstrfun d:matlab7toolboxmatlabiofun d:matlab7toolboxmatlabtimefun d:matlab7toolboxmatlabdatatypes d:matlab7toolboxmatlabdde d:matlab7toolboxmatlabdemos d:matlab7toolboxtour d:matlab7toolb
32、oxsimulinksimulink d:matlab7toolboxsimulinkblocks d:matlab7toolboxsimulinksimdemos d:matlab7toolboxsimulinkdee d:matlab7toolboxlocal 此搜寻路径会依已安装的工具箱（Toolboxes）不同而有所不同。要查询某一命令是在搜寻路径的何处，可用 which 命令： which expo d:matlab7toolboxmatlabdemosexpo.m 很显然 c:datamlbook 并不在 MATLAB 的搜寻路径中，因此 MATLAB 找不到test.m 这个 M
33、 档案： which test c:datamlbooktest.m 要将 d:mlbook 加入 MATLAB 的搜寻路径，还是使用 path 命令： path(path, c:datamlbook); 此时 d:mlbook 已加入 MATLAB 搜寻路径（键入 path试看看），因此 MATLAB 已经“看“得到 test.m: which test c:datamlbooktest.m 现在我们就可以直接键入 test，而不必先进入 test.m 所在的目录。 小提示：如何在其启动 MATLAB 时，自动设定所需的搜寻路径？ 如果在每一次启动 MATLAB 后，都要设定所需的搜寻路径，
34、将是一件很麻烦的事。有两种方法，可以使 MATLAB 启动后，即可载入使用者定义的搜寻路径： 1. MATLAB 的预设搜寻路径是定义在 matlabrc.m（在 c:matlab 之下，或是其他安装MATLAB 的主目录下） ，MATLAB 每次启动後，即自动执行此档案。因此你可以直接修改 matlabrc.m，以加入新的目录于搜寻路径之中。 1. MATLAB 在执行 matlabrc.m 时，同时也会在预设搜寻路径中寻找 startup.m，若此档案存在，则执行其所含的命令。因此我们可将所有在 MATLAB 启动时必须执行的命令（包含更改搜寻路径的命令） ，放在此档案中。 每次 MATL
35、AB 遇到一个命令（例如 test）时，其处置程序为： 1. 将 test 视为使用者定义的变数。 2. 若 test 不是使用者定义的变数，将其视为永久常数。 3. 若 test 不是永久常数，检查其是否为目前工作目录下的 M 档案。 4. 若不是，则由搜寻路径寻找是否有 test.m 的档案。 5. 若在搜寻路径中找不到，则 MATLAB 会发出哔哔声并印出错误讯息。 以下介绍与 MATLAB 搜寻路径相关的各项命令。 1-6、资料的储存与载入 有些计算旷日废时，那么我们通常希望能将计算所得的储存在档案中，以便将来可进行其他处理。MATLAB 储存变数的基本命令是 save，在不加任何选项
36、（Options）时，save 会将变数以二进制（Binary）的方式储存至文档名为 mat的档案，如下述： save：将工作空间的所有变数储存到名为 matlab.mat 的二进制档案。 save filename：将工作空间的所有变数储存到名为 filename.mat 的二进制档案。 save filename x y z：将变数 x、y、z 储存到名为 filename.mat 的二进制档案。 以下为使用 save 命令的一个简例： who % 列出工作空间的变数 Your variables are:B h j y ans i x z save test B y % 将变数 B 与
37、y 储存至 test.mat dir % 列出现在目录中的档案 . 2plotxy.doc fact.m simulink.doc test.m $1basic.doc 3plotxyz.doc first.doc temp.doc test.mat 1basic.doc book.dot go.m template.doc testfile.dat delete test.mat % 删除 test.mat 以二进制的方式储存变数，通常档案会比较小，而且在载入时速度较快，但是就无法用普通的文书软体（例如 pe2 或记事本）看到档案内容。若想看到档案内容，则必 须加上-ascii 选项，详见下
38、述： save filename x -ascii：将变数 x 以八位数存到名为 filename 的 ASCII 档案。 save filename x -ascii -double：将变数 x 以十六位数存到名为 filename 的ASCII 档案。 另一个选项是-tab，可将同一列相邻的数目以定位键（Tab）隔开。 小提示：二进制和 ASCII 档案的比较 在 save 命令使用-ascii 选项後，会有下列现象： save 命令就不会在档案名称後加上 mat 的文档名。因此以文档名 mat 结尾的档案通常是 MATLAB 的二进位资料档。 通常只储存一个变数。若在 save 命令列中
39、加入多个变数，仍可执行，但所产生的档案则无法以简单的 load 命令载入。有关 load 命令的用法，详见下述。 原有的变数名称消失。因此在将档案以 load 载入时，会取用档案名称为变数名称。 对於复数，只能储存其实部，而虚部则会消失。 对於相同的变数，ASCII 档案通常比二进制档案大。 由上表可知，若非有特殊需要，我们应该尽量以二进制方式储存资料。 load 命令可将档案载入以取得储存之变数： load filename：load 会寻找名称为 filename.mat 的档案，并以二进制格式载入。若找不到 filename.mat，则寻找名称为 filename 的档案，并以 ASCI
40、I 格式载入。 load filename -ascii： load 会寻找名称为 filename 的档案，并以 ASCII 格式载入。 若以 ASCII 格式载入，则变数名称即为档案名称（但不包含文档名）。若以二进制载入，则可保留原有的变数名称，如下例： clear all; % 清除工作空间中的变数 x = 1:10; save testfile.dat x -ascii % 将 x 以 ASCII 格式存至名为 testfile.dat 的档案 load testfile.dat % 载入 testfile.dat who % 列出工作空间中的变数 Your variables are:testfile x 注意在上述过程中，由于是以 ASCII 格式储存与载入，所以产生了一个与档案名称相同的变数 testfile，此变数的值和原变数 x 完全相同。 1-7、结束 MATLAB 有三种方法可以结束 MATLAB： 1. 键入 exit 2.键入 quit 3.直接关闭 MATLAB 的命令视窗（Command window）
