3第三章 复变函数的积分.doc

1、1第三章 复变函数的积分复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。3.1 复变函数积分的概念1 积分的定义复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲

2、线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向 ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线 ，沿着曲线的某方向前进，如果CC的内部区域在左方，则规定该方向为 的正方向（就记为 ） ，反之，称为 的负方向（记为 ）C C（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向） ；若光滑或逐段光滑的曲线 的参数方程为，)()(tiyxtz)t为实参数，则规定 增加的方向为正方向，即由 到 的方向为正方向。tt za(zb定义 3.1.1 复变函数的积分设有向曲线 ：C， ，)(tzt以 为起点， 为终点， 沿 有定义。在 上沿着 从 到 的方

3、向（此为实参数)(za)(zbfCCab增大的方向，作为 的正方向）任取 个分点：t 1n，bzan,10把曲线 分成 个小弧段。在每个小弧段 上任取一点 ，作和n k，nkfS1)(其中 ，记 ，若 时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大1kkznz,max10值趋于零时） ，上述和式的极限存在，极限值为 （即不论怎样沿 正向分割 ，也不论在每个小弧段JC的什么位置上取 ，当 时 都趋于同一个数 ） ，则称 沿 可积，称 为 沿k0nS)(zfJ)(zf（从 到 ）的积分，并记为 ，即为CabCdzfJ)(。 （3.1.1）nkkzff10)(li称为积分路径， 表示沿 的正方向的积分， 表

4、示沿 的负方向的积分。如果 为Cdzf)( CdC有向闭曲线，且正向为逆时针方向，那么沿此闭曲线的积分可记作 。zf)(2 复积分的性质根据复积分的定义或根据下一段中定理 3.1.1 所述的复变函数积分和曲线积分之间的关系以及曲线积分的性质，不难验证复积分具有下列性质，它们与实分析中定积分的性质相类似：2（1）若 沿 可积，且 由 和 连接而成，则)(zfC12C；21)()()(Cdzfzfdzf（2）复常数因子 可以提到积分号外，即a；Cfaf)()(（3）函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差） ，即；CCdzgzfdzgzf )()()(（4）若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，

5、即，Cff)()(为 负向曲线；C（5）积分的模不大于被积表达式模的积分，即，CCCdszfzfdzf )()()(这里 表示弧长的微分；2)(dyxdzs（6）积分估值定理：若沿曲线 ， 连续，且 在 上满足 ，则)(zf)(zf Mzf)()0(，MLdC其中 为曲线 的长度。LC3 复积分存在的条件及计算方法显然， 沿曲线 可积的必要条件为 沿 有界。)(zf )(zf下面的定理提供了计算复积分的基本方法，即复函数沿曲线 的积分等于其实部、虚部所确定两个C实函数第二型曲线积分之和：定理 3.1.1：若函数 沿曲线 连续，则 沿曲线 可积，且),(),()yxivuzf)(zf（3.1.2

6、）CCC udyvxidudzf 【注】：.为了 记忆方便 ,上式右端形式上可看成是函数 与微分 相乘后得到的：izf)( idyxz；CCyxivzf )(.由实 分析知，计算实函数第二型线积分的基本方法是化 为对曲线参数的普通定积分计算， 应用到我们这里，就使得复积分最终也可以 归结为计算对路径参数的普通定 积分：设有向光滑曲线 的实参数复方程为。)()(tiyxtzt曲线 光滑意味着 在 上连续，且 。当 沿 连续时，由定理 3.1.1C)(yitxz ,0z)(zfC有 dtytxutytxvivudzfC )(),()(, 3dtyitxytivtyxu)()(,)(, dzf即。

7、（3.1.3）dtztffC)()(该式称为计算复积分的参数方程法或计算复积分的变量代换公式。4 复积分计算的典型实例例 1：计算 ，其中 为从原点到点 的直线段。Czdi43解：直线的方程可写成， tyx,10t或， itz43)(于是 2102102 )43()(itditdizdC 又因 CCxdyiyxiyxi)(由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件（即 ，对于二维的，即0F） ，所以 的值不论 是怎样的曲线都等于 ，这说明有些函数的积分值与积0yxxFCzd 2)43(1i分路径无关。3.2 柯西积分定理1 柯西积分定理由上一节可知，复函数沿曲线的积分可归结

8、为实函数的第二型曲线积分。一般说来，实函数的第二型曲线积分不仅依赖于积分起点和终点，还与积分路径有关。因此，一般说来，复积分不仅依赖于积分起点和终点，也与积分路径有关。与在实分析里研究实函数的第二型曲线积分一样，我们这里也来考虑什么条件下复积分的值与积分路径无关。下面的柯西积分定理回答了这个问题。定理 3.2.1（柯西积分定理）：设 是一条围线， 为 的内部区域，函数 在闭区域 上解析，则CDC)(zf CD。Cd0下面的定理 3.2.2 与上述柯西积分定理等价。定理 3.2.2（等价的柯西积分定理）：若函数 在单连通区域 内解析，则对 内的任意一条围线（即逐段光滑的简单闭曲线） ，)(zf

9、DC有。Cdzf0)(推论：设 在单连通区域 内解析， 为 内任一闭曲线（不必是简单闭曲线） ，则)(zf4。Cdzf0)(定理 3.2.3：若 在单连通区域 内解析，则 在 内的积分与路径无关。)(zfD)(fD2 原函数（不定积分：复积分的牛顿莱布尼兹公式）定理 3.2.4：设 在单连通区域 内连续，且对全含于 内的任一围线 ，有 ，则)(zf Cdzf0)(由变上限积分所确定的函数 zdfF 0)()(在 内解析，且 。其中 是 内任一定点， 是 内任一变点。D)(zfF0DD推论：若 在单连通区域 内解析，则由变上限积分所确定的函数)(zf zdfF 0)()(在 内解析，且 。)(z

10、fF定义 3.2.2：若在区域 内有 ，则称 为 在区域 内的一个原函数，而Dzf z)(fD（ 为任意常数）称为 的不定积分。Cz)( f定理 3.2.5：若 在单连通区域 内解析（或在定理 3.2.4的条件下） ， 为 在 内的)(zf )(zfD任一原函数，则有牛顿莱布尼茨公式成立：。)(|)()( 0 00 zdfzz 推论： 的任何两个原函数相差一个常数。)(zf证明：若 ， 均为 的原函数， 则GH)(zf()0GHfz （常数）cz)(3 复合闭路定理下面对柯西积分定理从两个方面推广：一方面是被积函数的解析范围；另一方面是解析区域的连通性。这两个方面的推广分别表现在下面两个定理中

11、。定理 3.2.6：设 是一条围线， 为 的内部， 在 内解析，在闭区域 上连续，CDC)(zfDCD则。df0定义 3.2.1：设有 条围线 ，其中 中每一条都在其余各条的外部，而它们1nn,10 nC,1又全都在 的内部。在 内部同时又在 外部的点集构成有界的多连通区域 ， 以0C0C D为边界。在这种情况下，称区域 的边界是一条复围线或复合闭路，记为n,10 D。当观察者在 上行进时，区域 中的点总在观察者左边的方向称为复围线 的n C正方向。定理 3.2.7（多连通区域的柯西积分定理）：设 是由复围线 所围成的有界多连通区域， 在 内解析，在Dn10 )(zf5上连续，则CD，Cdzf

12、0)(即，0)()()(10 nCC dzffzf或。nCfdzff )()()(10 定理 3.2.8（闭路变形原理）： 在区域 内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 内作连续变形而改变积分的值，只要DD在变形的过程中曲线不经过函数 不解析的点。)(zf例： 计算积分 的值，其中 为包含点 0 和 1 在内的任何简单闭曲线.Ldz21L解：根据函数 在复平面内除 ， 两个奇点外是处处解析的。由于 包含这两个奇点，z L在 内作两个互不包含且不相交的正向圆周 ， ，如图 3.7， 只包含奇点 ， 只包含奇点L1C21C0z2C，那么根据多连通区域的柯西积分定理得到1z 1222dddL

13、zzzAA11221 d0i04iCCCzA（倒数第二步的计算参见书 P62 例 3.1.4）3.3 柯西积分公式1 柯西积分公式1）有界区域的柯西积分公式定理 3.3.1（柯西积分公式）：设区域 的边界是围线（或复围线） ， 在 内解析，在DC)(zfD上连续，则CD（1）对 内任意一点 ，有z； (3.3.1)dzfizfC00)(21)(（2） 在 内有各阶导数，且)(zf。 (3.3.2)Cnn zzfizf 100)( )(! ),2(式(3.3.1)称为柯西积分公式，简称柯西公式。注意其与柯西积分定理（或称柯西定理）在称谓上的区别。1 图 3.7 y 1C 2 O0 L x 6【注

14、 1】：定理 3.3.1 中的围线 可以是复围线，这时 所 围的区域 是多连通区域， 这时侯(3.3.1) 式CCD及(3.3.2)式中的 积分也就是复围线上的积分。【注 2】：柯西积分公式意味着：一个区域内解析并连续到边界的函数，它在边界上的值决定了它在区域内任一点的值。因此，人 们又称柯西积分公式为解析函数的积分表示式。从柯西积分公式可以看出，解析函数的函数值之间有着密切联系。 这是解析函数不同于一般函数的一个 显著特征。 积分是涉及函数整体性质的一个概念，函数在一点的 值应只涉及孤立点这一局部，而柯西积分公式却把整体与局部联系起来了。推论：若满足定理 3.3.1条件的两个解析函数在区域的

15、边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等。例： 求下列积分的值 izd, :i1;CezA解：注意到 在复平面内解析，而 在积分环路 内，由柯西积分公式得izef)( iCi iii12iz zz ee2）无界区域中的柯西积分公式上面对柯西积分公式讨论了（1）单连通区域；(2)复连通区域。但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立。（1）无界区域柯西积分公式定理 3.3.1(无界区域中的柯西积分公式（当满足 , 时）)：z0(zf若 在某一闭曲线 的外部解析，并且当 , 时，则对于 外部区域中的点 ，)zfC)C0z

16、有 dzfizfC00(21)(这就是无界区域的柯西积分公式。例：计算积分 2d()3LzIaA，设 L为： |2 ()za.解：被积函数 在 外部仅有一个奇点 ，且当zf12 3时， ，满足无界区域的柯西积分公式条件。z0)(2a故有2 2dd()3()3LLzzI aAA232211i i|() 4zaLaz（2）无界区域的柯西积分公式应用推广0z RC R 图 3.10 L7定理 3.3.1”(无界区域中的柯西积分公式（当满足 , 不趋于零时）)：z(zf假设 在某一闭曲线 L的外部解析，则对于 外部区域中的点 ，有)zf C0。)()(21)(00fdzfizf2 推论1）解析函数的无

17、限次可微性作为柯西积分公式的推广，我们可以证明一个解析函数的导函数仍为解析函数，从而可以证明解析函数具有任意阶导数。请特别注意：这一点和实函数完全不一样，一个实函数 有一阶导数，不一定)(xf有二阶或更高阶导数存在。定理 3.3.2：若函数 在区域 内解析，则 在 内有任意阶导数。)(zfD)(zfD2）解析函数的第二个等价定理定理 3.3.3：函数 在区域 内解析),(),()yxivuzf（1） 在 内连续；yx,D（2） ， 在 内满足 C-R条件。,3）莫雷拉定理定理 3.3.4（莫雷拉 Morera定理）：若函数 在单连通区域 内连续，且对 内的任一围线 ，有)(zfDC，Cdzf0

18、)(则 在 内解析。)(fD莫雷拉定理对单连通区域内的复变函数而言，是柯西积分定理的逆定理。3解析函数的第三个等价定理定理 3.3.5：函数 在区域 内解析)(zf（1） 在 内连续；D（2）对任一围线 ，只要 及其内部全含于 内，就有 。CDCdzf0)(4柯西不等式定理 3.3.6（柯西不等式）：若函数 在圆 内解析，且 ，则)(zfRazK: Mzf)(。nnMa!),21(5.刘维尔定理8定理 3.3.7(刘维尔（Liouwille）定理)：若 是有界的整函数（所谓有界，即 ；所)(zf Mzf|)(|谓整函数，即在整个复平面上解析的函数） ，则 必为常数。6解析函数的平均值公式定理 3.3.8：若函数 在圆 内解析，在闭圆 上连续，则)(zfRz0 Rz020)e(1)(dzff i即 在圆心 的值等于它在圆周上的值的算术平均数。)(zf07最大模原理定理 3.3.9（最大模原理)：若函数 在区域 内解析，且不为常数，则它的模 在 内取)(zfD)(zfD不到最大值。8代数基本定理定理 3.3.10（代数基本定理）： 任何一个复系数多项式 1010() (1,)nnfzazaza必有零点，亦即在复数域中必有根使得方程 成立。0)(f作业：习题三 A 类 1、2、 3、6、8