1、摘 要本文研究了两类分形集的测度的计算问题，我们首先发展 】 中的技巧，考虑平面内单位正方形（空间正方体、正四面体）生成的一类自相似集的测度，在满足强分离条件及维数小于的条件下，当压缩比满足一定条件时，通过确定最大上凸密度得出自然覆盖即是最好覆盖，从而得到此类自相似集的测度的精确值；同时对于 【 】 ， 【 】 运用初等不等式的研究手法做一定的推广，确定了一类齐次完备集的测度本文主要由三部分内容构成：引言中介绍了分形的起源及一些专家、学者在测度研究方面取得的成果和进展；在第一章我们回顾了测度和维数的基本概念，性质，还提及一些计算测度和维数的常用技巧（质量分布原理等）；第二章中系统阐述了自相似压
2、缩系统与开集条件、强开集条件和强分离条件；在本文最后一部分，对几种特殊自相似分形集的测度做了一定的研究，其中第一节引入研究中起着重要作用的密度定理，然后对文 【 】 中的正方形地毯再探讨，去掉了丸这一明显条件，在第三四节将该方法推广至月中的正方体海绵和正四面体海绵，最后一节我们讨论了直线上一类齐次完备集的测度问题关键词测度，维数，自相似集，上凸密度，地毯，海绵，齐次完备集 ， ， 【 】 （，） ， ， ， 【 】， 陀一 ， （ ） ， ， ， ， ； ， ， 【 】 丸 ， ： ； ； ； ； ； ； 学位论文独创性声明本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据
3、我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说明并表示谢意作 者 者 签 签 名 名 ： ： 濞 ： 瞳 陲 喹 醯 ： 迎 笾 嘲毕学位论文使用授权声明本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题 密的学位论文在解密后适用本规定学位论文作者签名 篮熊洌 导师签名期灵扣-182引 言分形（协）这个
4、名词是在世纪年代为了表征复杂图形和复杂过程首先将拉丁文转化后引入自然科学领域的，它的原意是不规则的，支离破碎的物体一般英文辞典中有一个相近的词，其意义是碎片或分数在分形名词使用之前的 个世纪，一些数学家就研究过不少奇异的不光滑的集合，如年提出了一种处处连续、处处不可微的型函数；年提出了集；年构造了一个能填充平面的曲线；年提出了曲线；年提出了垫片和海绵等这些都属于规则分形图形，它们是数学家按一定规则构造出来的，具有严格的自相似性的分形图形，它们都属于自相似分形集年对变换无穷的布朗运动轨迹进行了深入研究，明确提出布朗运动轨迹不具有导数自然界的许多事物，如连绵起伏的山峦轮廓线；四通八达的江海河）蜿蜒
5、曲折的海岸线等等也具有不光滑和不规则性它们和几何学中的规则图形不同，这主要表现在对它们测量时，其被测量值（如长度、面积、体积等）的大小一般随测量尺寸的变化而变化，在一定范围内两者问存在幂函数关系为了测量这些集合，年豪斯多夫（引入豪斯多夫维数的概念，这类统计自相似图形和曲线的豪斯多夫维数一般都不是整数，而是一个分数值世纪年代到年代维数理论得到了进一步的发展，引入了多种不同定义的维数洳计盒维数、填充维数等）使分形理论初见雏形但这些研究大多局限于纯数学领域，基本上没有在其他学科中得到应用锐意创新，经过多年的冥思苦索、博览群典的艰辛努力于年发表了他的划时代专著 “分形：形状、机遇和维数 ”（：， ）在
6、此专著中，第一次系统阐述了分形几何的思想内容、意义和方法此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生， 年他又出版了 自然界的分形几何 （ ）一书，这两本书把分形理论推进了一个华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究迅猛发展的阶段在这一阶段中分形理论逐渐得到科学界的广泛重视，同时在物理学，化学、生物学，地学、材料学表面科学、纳米科学乃至经济学等广泛领域得到应用年，于文 】 把用 “相似 ”递归步骤产生的自相似集的方法一般化，并给出了开集条件（ ）的定义满足开集条件的自相似分形的维数、计盒维数、填充维数均与自相似维数相等和于年在文 】 引人了产生和分类分形集的统一方式迭代函数系统（
7、）许多经典的分形可以利用产生，如三分集，垫片等关于数学理论及应用方面的专著以的文献 】 为代表在文【】的定理中蕴含了很好的结论，对于一个一般的自相似分形（不必满足开集条件）它的维数，计盒维数，填充维数均相等这不仅使得对于一些分形集的维数计算变得容易，而且给讨论分形的测度带来很大的方便事实证明分形集的测度的计算是一个很困难的问题，迄今为止甚至连一些经典的分形的测度的精确值仍然未知，例如曲线和垫片等文 【 】 深入研究了各种集，得到了它们的维数和测度的基本结论；文 】 、 】 则对直线满足一定条件的自相似压缩系统予以讨论，给出了由这些系统决定的分形的测度的精确值的计算公式；文 】 中确定了兰分集的
8、测度为；文 【 】 ， 【 】 给出了直线上满足一定条件的齐次集的测度；和在文 【 】 中对线性集的测度给出了一个有效的计算方法但是对于平面上的分形集研究成果却为之甚少，目前仅有几种特殊且维数不超过的分形集的测度被确定比如周作领、吴敏在文 】 中确定了由个压缩比为的压缩函数生成的地毯的测度为 ；朱智伟等在文 】 中给出了满足一定条件的自相似分形集的测度对于维数大于的分形集，至今还没有算出一个分形集的测度的精确值，只是估计了少数分形集的测度的上下界，比如周作领在文 【 】 中估计了曲线的测度上界为茅（为曲线的维数）；文 【 】 中利用质量分布原理得到了曲线的测度的下界为去；贾宝国等利用初等函数技
9、巧和质量分布华东师范大学硕士论文 某些自相似集的 ￥ 度研究原理在文 】 中估计了三分集自乘集的测度的上下界；文 【 】 则通过特殊的集合覆盖以建立先进的估计公式用以计算自相似集的测度的上界，但是估计分形集的下界并没有一个系统的通用方法目前，分形几何与混沌，孤立子并称三大主流非线性学科，这使分形研究在当前形成了一股热潮，已经有越来越多的学者投身于这一学科的理论研究及其在各门学科中的应用研究，传播和普及分形学的基本概念、基本理论及应用研究的新成果是一项非常有意义的工作 第一章测度与维数 测度及其性质设尼为维欧氏空间，用 表示研中任意子集的直径，即（，）， 研用营表示的闭包，表示的内部，若舻，表示
10、与的差集；记（）表示以为中心，以为半径的开球设，集合 彤的一个至多可数子集族 舻一， 满足覆盖 ，且对任意 有 ，则称 为的一个至多可数一，设形， 且为实数，对任意。定义；（） 为的一侄多可数蹑畸容易验证作为的函数，于瑶（）单调非减，从而当一时，它趋于一个极限，定义“。（）。舰弼（）爿（司称为的测度，它的取值可能是，正有限或正无穷如果（）。，则称为集对于给定的 ，集合的 测度满足下列性质：（）：（单调性）当 时，咒（） 咒。（）（）设酽且，则何（） ”（）华东师范大学硕士论文 某些自相似集的澳度研究（）：（半口一可加性）对中的任意子集构成的集族最悼， 何忍） 壹 最，若毋，对舻的任意子集有，咒
11、（）（）咒。（）则称是可测的，简记为是咒。一可测的引理作为的函数，；（）与何。（）为外测度引理 【 】 “。（）为度量外测度引理 【 设，则以下何，成立。何设闭集 尼。且 （），则存在紧子集 ，使得。（）俐？设闭集形且爿。（），存在的紧子集，使得 “。（）并且（上 （） ） ， ， ，其中为正常数（：设是爿。一可测集且咒（），则存在乃集 。使得咒（）（）引理 【 设 ，舻，则何？咒（）咒 （）倒 （）。（）引理设舻，：驴为一映射，使得对常数和 有（）一，（） 一可，（， ）则对于每一 ，有咒。（，（） 矿咒（）华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究引理中的条件，（）一，（！，） 一！，被
12、称为阶赫尔德（）条件；如果，则，称为李普希茨映射（）；特别的，当时，称，为压缩映射此时易见咒（，（） ，咒。（）若映射：一口 ”满足条件：存在，使得对于任意甄 有（）一，白）一引则称，是自相似映射当时，称，为自相似压缩映射。称为压缩系数推论 】 设，映射： 为自相似映射，则（，（）矿咒。（） 维数及其性质对于给定的集合 形，由 ￥ 渡定义易证何（）关于是不增（）。辛（）（因此存在的一个临界点使得（）从。跳跃 ”到这个笥界点称为的豪：爿（）：（）：（）。）：（）咒。，孑耋三：三如果，则。（）可以为零或者无穷或者满足 ”（）华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究引理弹调哟若舻，则 引理阿数稳
13、定倒若局，易， 为一阿别集序列，则妇日忍）。则，引理 【 若形，满足。阶赫尔德（）条件，则） 日推论若舻，满足条件，则一日（） 推论 【 】 设毋，若满足双条件，即存在正实数，对任意的， 有 （）一，（ ） 则（）上述推论揭示了豪斯多夫维数是双变换下的不变量于是若两集合有不同的豪斯多夫维数，则两集之间不存在双映射进一步，对于自相似映射，有（）对任意 毋，其维数、修改的上下计盒维数、计盒维数、填充维数之间可以有以下关系； 扎关于更多维数理论可参见 【 】 质量分布原理与常用技巧由豪斯多夫测度及维数的定义，可以立刻得到他们的一个上界估计虹洲岈掣华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究定理 】
14、设 砰。设巩，。 （七 ）为的一列以覆盖，以一如果存在正常数，使得对任意， ，。 且，则（）。，从而 由此可见，要估计一个集合的维数的上界，我们只要对一些特殊覆盖以估计其和式 以而下界估计却需要对该集的所有一覆盖对和式 阢作下界估计如果用于覆盖的集合阢的直径相差较大，则上述和式的估计将很困难因此我们希望和式的每一项都有 “适当。的贡献如果存在一个测度，使得对任意，有（） ，亦即的分布比较 “均匀 ”，则我们的上述目的可由下述。质量分布原理 ”达到定义设为形上的测度，则的支撑是指（形）的最小闭集支撑在尼。上的正有限一测度 “称为上的一个质量分布定理 【 ，限量分布原理 设 ， 尼 上的质量分布满
15、足阶赫尔德（）条件，即存在常数，以及，使得（） 。对所有满足 的集成立，则爿（） （）推论 【 】 在定理的条件下，有日 质量分布原理是估计豪斯多夫测度和维效下界的有力工具，从定理本身我们看到关键在于构造一个正有界口一阶赫尔德测度，但一般而言构造这一测度并不容易定理 【 设形是波雷尔集，肛是彤上有限的波雷尔测度，例？如果对所有 ，（，）， ，则爿（） （）俐？如果对所有 ，（，）， ，则。（） 。（）定义肛在点 ￥ 彤的上下局部维数（也称点维数或指数）为一 篱警华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究 定理 【 设是波雷尔集， “是有限测度砂：如果对任意 及（），重重！班。） ，则 例？如
16、果对任意 ，（） ，则 对 ，定义舻上测度 的能为地）卜旷训咖础）命题 【 】 设形砂？如果存在上满足厶（）的有限测度肛，则咒（）且 例如果是满足咒（）的波雷尔集，则存在上有限测度肛，对任意满足五（）（更多关于测度和维数的技巧可参见文献 【 】 第二章 自相似集、开集条件与强分离条件自相似压缩系统与不变集设研，岛， ，鼬是有限多个舒一舻的自相似压缩映射， ， 分别为毋，的自相似压缩系数，记妒舻；岛，岛， ，曲）我们称妒酽；岛，岛， ，）为一个自相似压缩系统记。珏如，。，其中 略 ， ，则最。小知是形一形的自相似压缩映射，用 。一知表示其压缩系数，有，珏啼兀名对于 研，舻，点。与集合之间的距离（
17、，）定义为；（，）（，）： 舢给定，册，的一领域（的平行体）定义为（，） ）显然设够（舻）表示中的非空紧子集全体，在够（）上定义度量幽如下（，）（，），（，）， 够（酽） 它的个等价定义为日（，）：只）， 够（彤）容易证明是够（形）上的一个度量且眵（彤 ），妇）是完备度量空间对于度量有如下性质： 华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究设，为舻一上自相似压缩系数为的自相似压缩映射，则（）：妇（，（），（）（，）， 够（尼。）（）：设晶）。 ，只）。 够（舻），则妇（最，最） （，），“设妒舻；岛，岛， ，踟是舻一舻的自相似压缩系统，压缩系数为， ，对任意 形，记矿（），妒（）：最（），（）
18、最则妒（）墨局，对 ，记矿（）科矿一（） 】 ，最。铲，最，协如（）则 矿（） 。屯 如（） 蜀，幻 ，如， ， ，知且最 ， 故当为非空紧集时，有一。 定义设妒形；，岛， ，）是研一形的自相似压缩系统，若存在舻中的子集，使得妒（），则称是由妒次定的不变集定理 【 】 设是舻中的非空紧子集，妒彤；岛，岛， ，）是 的自相似压缩系统，其压缩系数为，仡， ，啊则存在唯一的非空紧子集使得妒（ ），即是妒唯一的不变集 ，证明：由于妒舻；研，岛， ，踟）是 的自相似压缩系统，故妒（）且， 妒（） 晟妒（） 设时有（）一（），则时，妒七十（）妒（妒 （）妒（矿一（）妒七（）即旷（）是一列非空递减的紧集列，
19、有非空的交仍为紧集，记菩。矿（），则 妒（）矿（）矿（）华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究故是妒的不变集下证唯 性：若，都是妒的不变集，即妒（），妒（）（，）丑 【 妒 【 ），妒 【 ） 妇（），（），一， （），（）扛曼警 （，）由压缩系数的特征得出妇 ，），即 注记上述定理亦可以从度量空间（够（留 ），）的完备性出发，结合完备度量空间中的不动点理论得到，可参见，开集条件、强开集条件与强分离条件定义设妒毋；岛，岛， ，曲）为一个自相似压缩系统，其压缩系数为 您 啊 卵 称 下 述 万 程 甜 哆 的唯一解为所确定的自相似集的自相似维数从方程（）我们可以看到自相似维数的计算十分简单
20、，从而讨论自相似维数与维数的关系变得十分重要，首先它们有如下关系；定理 【 设是由自相似压缩系统妒形；岛，岛， ，）所确定的自相似集，为其自相似维数，则日 下面我们引入在文 】 定义的 “开集条件 ”（简记为 ），华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究定义设形；毋，昆， ，为一个自相似压缩系统，若存在非空有界开集，使得如下条件满足； （）， ， 砂？最（）， 互， ， 则称妒满足开集条件当自相似压缩系统妒满足开集条件时，我们有以下重要结论；定理 】 设是由自相似压缩系统妒酽；研，岛， ，所确定的自相似集，为其自相似维数，则当妒满足开集条件时，有咒。（ ），从而日由上述，我们可以从开集条件
21、的定义看出其中的开集与自相似集的关系并不明确，为此强化开集条件为强开集条件（定义设妒舻；岛，岛， ，鼬）为一个自相似压缩系统，若存在非空有界开集舻，使得如下条件满足；阳（） ， ， 例？（）毋（）， ，歹， ， 矽？ 则称妒满足强开集条件从定义出发我们可以得到兮号咒（）净。，事实上，文献 】 给出了更好的结果：定理设是由自相似压缩系统形；岛，岛， ，鼢）所确定的自相似集，为其自相似维数，则以下三条等价：（）：节满疋吼 【 满足（：（）华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究但是口与咒（）并不等价另外，为了降低测度研究的困难程度，我们还将引入强分离条件如定义 设妒（形；毋， ，）为一个自相似
22、压缩系统。是由妒决定的自相似集，即最（），如果（）岛（）口， 歹， 一， 成立，则称妒满足强分离条件矿（，）哿 。（矿 一， 引。 第三章某些自相似集的 ￥ 度研究密度定理和相关引理密度是刻画分形集合局部结构的重要参数之一。它与测度有着密切的联系首先我们来定义基本密度以便讨论一集的测度，这个概念在进一步讨论中起着重要作用虽然这种密度在表现形式上和密度相差很大，但本质上是相似的设（，）表示中心在，半径为的闭球，故（，）一集在点 舻）的上密度和下密度（时也称为上球密度和下球密度）分别定义为；（，） 二 。和郫 划蚜 业瑞型若矿（，） （，），我们称集在点。处密度存在并记这个公共值为伊（，）在考虑以
23、球密度为主的同时，我们也考虑引入一集在点（ ）的上凸密度，其定义为；耶 。嬲 娣笋）其中以为包含点第的凸集由于（，）是凸集且 以有以 （，），其中以，我们得到基本关系式：磋（，） 万（，） 砭（，）下面我们给出密度的相关定理和推论：定理 【 是一集，则； ？对每个，（，）是的上半连续函数，从而是可测函数 引 （）（南一南），则有（），引理得证华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究：（，），（，）是的可测函数定理是舻中一个一集，则对。一几乎所有隹，（，）定理 【 是胛中一个一集，则对一几乎所有 ，磋（，）推论 是舻中一个一集，则对外的 ”一几乎所有，万陋，）推论 【 】 是形中一个一集，则
24、对一几乎所有 ，一一 尹（，） 同时，我们仍然类似定义任意测度确定的上凸密度，设是定义在集船的有限测度，对任意 ，巩为包含点的凸集，定义集合在茁处关于的上凸密度为。珊俐；盅器又等铲）为了证明文中主要结论，我们使用】中的个引理，不失完整性，仍然给出相应证明，同时给出另一重要引理引理设， （等）击。则有；， ， 斗旦（ ） ，如果且，证明；令，（）置篝，由于 护，则芒舞 ，扛），且，（）景，又，（）（ ） 一一 （ 。一），因为， ， ， ， （警）击，得，（） ，且，（）至多在一点处等于零，从而芒舞 ，（），（）舌，引理得证引理设口，则（）垆证明：令（）（列一）。一（扩垆）， ，则（）；，（）（
25、）。一（铲），从而只要证明（）在 上严格单减即可，又因为，口，所以华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究正方形地毯的；受度再探讨本节研究帮中一类由生成的自相似集的测度问题定理陈述在兄中取单位正方形只马只记作岛。以其中一顶点为坐标原点（不妨设为只），尸为轴，只为轴建立直角坐标系，容易计算出各顶点坐标，：（，），岛：（，），忍：（，），只：（，），设形岛生成的自相似集，即五（） 是由五）叁迭代于单位正方其中五（）（一九）坟，九，（，）（，），峨乒 、 、，、， ，口， 、 、图（）华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究自相似集称为地毯在此假设满足强分离条件，即五（）叁互不相交，则（），
26、其中满足 ，并且是一个一集，即。（）设是满足如下自相似关系的唯一概率测度， 。：碍 ： （）则是的支撑，自然成为上的一个质量分布在图（）中只只为为单位正方形，（）的四个顶点按，马，只的标记顺序分别记为，最，段（七，），其中最，一般的，五。五。 五。（岛）的四个顶点按同样规则分别记为只。咖靠（七，）片乃为正方形中以为一顶点的内置正方形，交主对角线于，日，设（马，局），（局，）为正方形易的测度令。器掣 （弛）同理对于顶点，局，做类似讨论，得到扎（只， ； ，吒。 冬，我们将证明幺 。 “ 丛每尘中的下确界只能在屯祁伽（一），（一），（一九）处取得，其中（，五，） （，），（，），（，），（，），为
27、非负整数结合这一结论，得到本文主要结果定理 设是上述定义的自相似集，满足强分离条件，（）且并且满足下列条件；（）： ） （机）击，（蘸。）击），（，） （，），（，）则日（） 。定理证明及例子定理设九（，）且是如上定义的自相似集满足强分离（）：丽 万巾 （，）（，），（，）（，）条掣 丽 而蕊丁瓦百了瓯可了河伊干面蕊忑丽 （两柰案篙鬻 辅 力 ， ， ） 测意注 到 度肛的自相似性（），我们有掣篙黜 如。，从而上式曲丽研群丽，盛裳筹，华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究件，（）且，满足砂式，磙如矽式定义，。而承瓦而兰丽币砑其中（，七，） （，），（，），（，），（，）证明：不失一般性，
28、仅对证明，其他情形类似讨论，根据自相似性，仅需考虑 即可首证当髓交（岛）冬中任意一个于其内部时，兰型不可能达到下确界，倘若不然，存在 （一），（一），（一九）， 】使得未讯苎 鲁丝，则如时，至少交（岛）笔中某个于其内部，则仍采用图（）中的记号，以毋，只，分别为正方形的边如图所示做正方形记为蜀，只鹾，令，研，只，（恳，）（恳耳），（，）（岛），（只，）（只），当，与某个五（） ，不交于内部时，（只，）此时；（，如） 卢（只， ） 州缃，札（只，。）打（一），（一），（一），培 一（ 一），（一），（一） ， ，） ”“。 珊蔓、（只与畦 。坯。出导址在（；皋戮（一九）， 】 内取得下确界的假设相矛盾，从而引理得证一引理 令是中的凸集且与自相似集相交，定义（扩）岛铲， “。，（）： 帮， ），其中是满足（）式的自相似测度，若定理中条件满足，则；（可）万饼 等磬瓣华东师范大学硕士论文 某些自相似集的测度研究证明：假设磊，否则取丽代替即可，根据集合的位置关系，分下列几种情形讨论，见图（）图（）情形（）：若与五（岛
