1、信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析1第二章：连续时间线性定常系统时域分析2.1 系统的数学模型R、 L、C 上的电压与电流关系 关系模型eti 电阻： 1ittR（2-1 ）或 etit（2-2 ）图 2-1 电阻图 2-2 电压作用于电阻产生电流 图 2-3 电流作用于电阻产生电压 电感： 11dptiteetLL（2-3 ）或： dtitit（2-4）图 2-4 电感上的直流不产生电压信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析2图 2-5 电流作用于电感产生电压 图 2-6 电压作用于电感产生电流 电容： dpitCett（2-5 ）或： 11tetiit（2-6
2、）图 2-7 电容上的恒压不产生电流图 2-8 电压作用于电容产生电流 图 2-9 电流作用于电容产生电压 求和（相加）： 12ytftt（2-7）图 2-10 信号汇聚流图 分支： 123ftftft（2-8）i ( t )e ( t )C pi ( t )e ( t )C pe ( t )i ( t )1Cpe ( t )i ( t )信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析3图 2-11 信号分支流图须注意，信息可以拷贝，可以无限复制；而物质则只能被瓜分式共享。LTI 连续时间系统的状态空间模型（此内容不作为本章重点）（信号与系统第二版（郑君里）12.1，12.2，12.3）：
3、例 1：如图 2-12 电路求：（1） ， （2）ytv:12:xttv、解：列回路电流、电压方程： 12231212340tititxtittixttyi消去 i1、i 2、i 3，得下列方程：1221200 3xtxtvttyt tx 状 态 方 程观 测 方 程图 2-12 例 1 电路图 定义（状态）：能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。 物理上，状态的维数 dim(t) = 系统中独立储能元件的个数 状态的选取可以不唯一信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析4 状态空间模型：（状态方程） （2-9）ABnnrtttXV（观测方程/输出方程） （2-10 ）CD
4、mmY其中， (t) = ，为输入向量（r 维）212 0()()TrrvtvtLt， ， ， ，(t) = ，为状态向量（ n 维）nnxx， ， ， ，(t) = ，为输出向量（m 维）212 0()()Tmytytt， ， ， ，(t) =Xnxtx， ， ，图 2-13 系统的状态空间模型 方程的解为：(t) = eAt (0) + B () d （2-11）tA(-)0e(t) = CeAt (0) + C B + D () d （2-12）t(t-)t若 (t)、 (0)已知，则 (t)、 (t)确定。注：（2-11 ）的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应；（2-12 ）的
5、两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。LTI 系统的微分方程模型：具有 n 个独立储能元件的单输入单输出（SISO）系统，输出输入关系为：110 110. .n mmytatayttbvttbvtt 已知输入 (t)、输出初值 ，求 y (t) = ？10ny、 、求解步骤：（1）求齐次解，参见郑书（2-12）式，n 个待定系数；（2）求特解，根据输入信号形式确定，参见表 2-2；（3）全解=齐次解+ 特解，代入 n 个边界条件，求出 n 个待定系数。LTI 系统的系统算子模型（郑书：2.8）：信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析5 令： ，则微分方程模型化为算子模型：dd
6、ppntt， .， 11010. p.nn maaybbvt令： 10p.nDa:pmNb有： pNytvtHvtD:（ 2-13）其中， 称为系统算子。pH 注意三点： 与 的公因式一般不可相消pND 与 的顺序一般不可交换1 不同的物理系统，输入输出方程可能相同，但含义不同 可对 进行因式分解，其基本单元为 ：pH1p01dtt tvtevev零 状 态（ 2-14）只需对（2-14）两端施以 p+ 运算，即可验证等式成立；并可进一步推得下列的（2-19 ）式的成立。2.2 LTI 系统的响应（ 信号与系统第二版（郑君里） 2.2，2.3，2.4）LTI 系统的微分方程：110 110.
7、.nn mmytatayttbvttbvtt 先来关注几个重要概念： 起始状态（ 状态）： ，简记为 (0-)10Tny， ， 初始状态（ 状态）： ，简记为 (0+)，亦称为00， ，信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析6初始条件 一般地， (0-) (0+) 零输入（zero input）响应 ：没有外加激励信号的作用，即ziyt0，由起始状态 y (0-)0 所产生的响应；此时， (0+)= (0-)。vt 零状态（zero state）响应 ：起始时刻系统储能为 0，即 (0-)0，zst由系统的外加激励信号 所产生的响应；此时，系统储0vut能瞬间发生了跳变， (0+)
8、 (0-)=0。下面讨论系统在 的输出，表示所求的响应从 0+开始。,0 t零输入响应 ：ziy， (0-)0 110.nntataytt（ 2-15）特征方程： 110.nna（ 2-16）特征根： 12 n， ， ，（ 2-17）在特征根无重根的情况下： 01intziiytAeuY=（ 2-18）有 k 重根时，对应这个重根的解有 k 项，参见郑君里教材（ 2-14）式。这些属于线性常系数微分方程求解问题，此不赘述。注意：无外界输入，仅靠初始储能不为零而产生的输出必然衰减到零！只是衰减的快慢不同而已。那么衰减的快慢取决于什么呢？请同学们考量！零状态响应 ： (0-)= 0，zsyt0vt
9、ut11p pnzsniittNttHtDvtNei， 为 互 异 特 征 根（ 2-19）此式不难从本讲义（2-14）式推得。信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析7 齐次解项 特解项zsyt1intiAeBt（ 2-20）注意：特解 反映了输入对输出的胁迫小子哎，老师点，跟老子走！Bt 由 (0+) 0 带入（2-20）式确定；齐次项由输入激发产生，一般iA亦将衰减到零。在输入激励信号作用的瞬间，系统完成了初始储能，从零起始状态跳变到非零初始状态。因此，所关心的是系统在 t0+, )区间的响应，须将 (0+) (0-)的初始值代入到 里求待定系数。这一点在解题时常被混淆。zsy
10、t系统响应： zizstyt自由响应、强迫响应：系统响应齐次解 特解 |带入 (0+) (0-) 0 (t0)1intiAeBt自由响应 强迫响应（受迫响应）系统的自由响应由特征根（第五章会学到就是系统的极点）决定，是系统自身的属性，故亦可形象地称为自有响应。它包括两部分：一部分由起始状态（初始储能）通过极点引发，构成零输入响应；另一部分由输入激励通过极点激发。二者都使系统的“本性”得以展现，产生输出。强迫响应则只与激励信号有关，而与系统极点无关。可以从郑君里书（2-31） 、 （2-34）考察自由响应+ 受迫响应、零输入响应+零状态响应、瞬态响应+ 稳态响应的涵义，从而加深对系统响应所包含各
11、成份的理解。非零状态线性系统： 定义（非零状态线性系统）：系统 T 的起始状态为 (0-)0，若 ，1-112222x0xyvttt， ， ，即，一种起始状态 x(0-)和输入 v (t)引起状态演化 x(t)和输出 y(t)，且有112200txytyt， ， ，（ 2-21）则称 T 为非零状态线性系统。 非零状态线性系统的分解：(t) (t)(t)、 (0-)T信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析80 0 0 vttxxxvvt ， ， +， ， 即：非零状态线性系统 = 零状态系统 + 零输入系统即：非零状态线性系统是零状态线性系统与零输入线性系统的叠加。推论：线性系统响
12、应零状态响应零输入响应。冲激函数匹配法，是用来从起始状态求初始状态的数学技巧，使用时须注意两点：（1） 与 的区别： 是从 0 跳变到 1；而 是从 跳变到 +1， 0。 ()ut()ut ()ut（2） ，则有 ；rara，则有 ；()()tbt ()rb，则有 。cu0()c2.3 LTI 系统的冲激响应与阶跃响应 （信号与系统 第二版（郑君里）2.5）定义（冲激响应 ）：输入为单位冲激函数时的零状态响应。htTtt:（ 2-22）定义（阶跃响应 ）：输入为单位阶跃函数时的零状态响应。stepsytsut:（ 2-23）与 的关系：（可通过图示推导）htsyt1()T()T()()dpts
13、tutth零 状 态（ 2-24）pd零 状 态sshtttutytt（ 2-25）求 的步骤：tpzs NytHvtvtD（算子作用）pvthtt，若：degN(p) = degD(p) + q，q 0，且不存在零极相消时 ，则系统算子可分解为： 110ppp.qqEHD信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析9， 01pqnjiijb1pnjjD而：degE(p) degD(p)01jqntii jhtHttbeu（ 2-26）2.4 卷积（信号与系统第二版（郑君里）2.6，2.7）定义（卷积）：对任意两个信号 ，两者的卷积运算定义为：12ftt、12 dft:（ 2-27）性质
14、：假设： ， 是绝对可积函数的全体。1Lftght、 1代数性质： 可交换性： ftgtf（ 2-28） 可结合性： ftgthftght（ 2-29） 线性： ftgthfthgth（ 2-30） 定义（ 范数，Norm）： 为 的 范数。1L1ftftd:()ft1L易有： 11ftgftg（ 2-31）证明： 11dftftfgtt信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析10d dfttgtt ff ，ft积（ 分 换 序 ）11dgftg 与冲激函数的卷积： ftft（ 2-32） 冲激函数的 范数：1Ld1tt（ 2-33）注： 既非黎曼积分（Riemann integra
15、l） ，亦非勒贝格（Lebesgue tintegral）积分。参见本章附录。拓扑性质： 微分性质： dddftgftgtfgt（ 2-34） 积分性质： t t tff ft（ 2-35） 与冲激偶的卷积： ftft（ 2-36）用广函导数性质或（2-32） 、 （2-34）两式均可推得此结论。且可知：nnfttft（ 2-37） 与阶越函数的卷积： 1ddptftufutfft（ 2-38）例 2：如图 2-14求： ytvhtvt信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析11图 2-14 例 2 图解：图 2-15 镜像、移位22101324130 ttyttt ， ， 其 它图
16、 2-16 移位的三种情形信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析12The End信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析13附录黎曼积分（Riemann integral）【基本要求】简要回顾黎曼积分的定义及可积条件，用测度的观念给出了函数黎曼可积的一个充要条件。通过学习，要了解一个前所忽视的重要结论：函数黎曼可积的充要条件是函数几乎处处连续。【主要内容】定义 1：设 在 有界， 表示 的任一分划： ，这里，n 为任一自ft,abT,ab12axb然数，可随 而不同。设 分别表示 在 上的上、下确界，i = 1, 2, , n，TiiMm、 ft1ix，11, ,nni
17、 ii iSfxsfm，分别叫做 关于分划 的大和数（达布上和）与小和数（达布下和） ，这里ftT 1iix，上和的下确界（积分号上横线）inf,abfxdS，下和的上确界（积分号下横线）, Tas分别叫做 在 上的达布上积分与达布下积分，这里上、下确界是对 的任意分划 而取的。如果ftb ,abT（*）,abaxdfx（一般地，有 ）,a bafxd则称 在 上 可积，并称此积分值为 在 上的积分，记为 。ft,bRt,bafxd注：积分符号上、下的横线“” ，是一个记号，并非表示积分上限为b、下限为a。例如，狄利克雷（Dirichlet，狄利赫莱）函数 D（x） ，它在 中的有理数点上取值
18、为 1，在其余点取值0,1为 0，则 D（x）在 上有界，但（*）式不成立，因此（R ）不可积，但（L）是可积的，积分值为 0。0,1两种积分定义的等价性建立在下面的定理上。达布定理 当分划 的最大区间长 时，T()0T（上和趋于下确界） ； （下和趋于上确界）(,)abSffxd ,(,)basffxd由数学分析知识可知， 在 上 可积有下列条件：t,R信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析14可积条件 1：当 时， ()0T1(,niSfsfx这里 iiiMm可积条件 2： nf,(,)0TSfsTf我们还可给出下面的条件：可积条件 3 在 上的所有不连续点构成零测度集。这是一
19、个充分条件，不是充要条件。ft,ab注意：条件 1、2 的缺点是没有将函数的可积性最后归结到函数的其它内在性质（如连续性等）上面去。可积条件 3 要好得多。但是，R 可积有以下局限性：1积分与极限可交换的条件太严由数学分析的知识知道，一般要在一致收敛的条件下，积分运算与极限运算才可以交换顺序。2积分运算不完全是微分运算的逆运算鉴于iemann 积分的局限性，人们长期以来致力于改进，直到 1902 年法国数学家 Lebesgue 才成功地引入了一种新积分，后人称之为 Lebesgue 积分。由于它在很大程度上摆脱了 R 积分的局限性，而且大大地扩充了可积函数的范围，所以今天已成为分析数学中不可缺
20、少的工具。勒贝格积分 （Lebesgue integral）及其性质【基本要求】本节对定义在测度有限的可测集上的有界函数定义了勒贝格积分，并给出了可积的一个条件和它们的四则运算性质。通过学习，要了解，函数勒贝格可积与可测是等价的，黎曼可积函数是勒贝格可积的，并且其积分值相等。【主要内容】定义 1 设 是非空可测集，如果 ，其中 为互不相交的非空可测集，则称有限集合族E1niEi是一个可测分划，简称分划。 是 的另一个分划。如果对于任一 ，存在iD/iD/jED，使 ，称 比 细。i/ji/引理 1 给定 任两个分划 、 ，必存在比它们都细的第三个分划E/,ijijijE且记为： /D显然 合乎
21、要求。信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析15定义 2 设 是定义在测度有限的集 上的有界函数，对 的任一分划 ， ()fxEEiDE令 ，supixEB()infxb则 ， 分别称为 关于分划 的大和、小和（它(,)iSDfm,isDfbm()fxi们由 完全确定） 。mE i 是 Ei 的一种测度。引理 2 （1）设 ， ，则()upxBf()infxE,bmsDfSBm（2）设分划 比 细，则 ，/ / /()(,)(,(,)fsfSDff（3）对于任两个分划 与 ，总有， ，/ /)（4） ，这里上、下确界是对 的所有可能的分划取的。(,)(,)supinfDDfSE证明
22、：由定义很容易证明这些结论是显然的。定义 3 设 是定义在测度有限的集 上的有界函数，记()fxE(,)inaEDfdSf(,)supDxdf分别称为 在 上的 上、下积分。()fx)L如果 ，则称 在 上 可积，且称此积分值为 在 上的 积aEEdfx()fxE()L()fxE()L分，记为 。fx由以上有限可测集上有界函数的 积分定义，可看到它在形式上同 积分完全类似。除了积分区域更一般外，()LR主要不同之处在于采用的测度和分划的不同，即那里的区间在这里一律换成了 可测集。L因此，有下面类似的性质。定理 1 设 是定义在测度有限的可测集 上的有界函数，则 在 上 可积的充要条件为：()f
23、xE()fxE()L对任何 ，存在 的分划 使得：0ED，这里(,)(,)iSDfsfmiiBb信号与系统 第二章：LTI 连续时间系统的时域分析16定理 2 设 是定义在测度有限的可测集 上的有界函数，则 在 上 可积的充要条件是()fxE()fxE()L在 上可测。()fxE定理 3 设 ， 是定义在测度有限的可测集 上的有界函数，且 可积，则()fxg ()， ， （但 在 上是 可积的。()fx()f/()fxg,inf0xEfE()fx证明：略。定理 4 设 在 上 可积，则它必同时 可积，且有相同的积分值。()fx,abR()L,()baabdfxd证明：首先 是有界的，其次 在 上 可积，则必几乎处处连续，从而可测，因而 可积。()fx,abR()L最后由积分的定义知道其值是相同的。注意 定理 4 的逆定理是不成立的。例如，在 上的狄里克雷函数不是 可积的，但作为简单函数是可测0,1R的，从而是 可积的。()LThe End
