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复共线性对参数估计危害的度量及检验.doc

上传人:cjc2202537 文档编号:231860 上传时间:2018-03-24 格式:DOC 页数:13 大小:103.50KB
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资源描述

1、复共线性对参数估计危害的度量及检验卷第 2 期8 年 3 月测绘科学ScienceofSurveyingandMappingVol_33No.2MaL复共线性对参数估计危害的度量及检验顾勇为鹄,张磊,归庆明,姚绍文(解放军信息 T 程大学测绘学院 ,郑州 450052;解放军信息工程大学理学院,郑州 450001;河南理丁大学应用数学系,河南焦作 454000)【摘要】本文针对测量平差实际,引进和发展参数估计的信噪比的概念,以度量复共线性对参数估计的危害及其大小,并将问题归结为一个统计假设检验问题,给出了检验统计量和检验方法.大量的模拟计算结果表明,运用该方法能够对每个参数的估计是否受到复共线

2、性的危害及其危害的大小做出合理的判断.【关键词】复共线性;参数估计;信噪比;假设检验【中图分类号】P207 【文献标识码 】A【文章编号】1009-2307(2008)02-0110-03DoI:10.3771/j.issn.1009-2307.2008.02.039;l 言在测量平差中,设计阵的数据列之间存在复共线性时,导致一些参数估计值的方差膨胀,使估计精度下.然而.值得注意的是,参数估计的精度要求通常要陆参数真值的数量规模相匹配,如真值不小于 lm,则要求一般达到毫米已足够.因此,有时复共线性虽然了,参数估计的方差膨胀,但未膨胀到严重掩盖参数真陧度,那么此时的复共线性对参数估计构成的危害

3、是小的,可以容忍的.另一方面,复共线性对参数估计言有时可能被足够小的观测误差相抵消.由此看来,戋性对参数估计的危害是涝在的,但每次的参数估计真正受到了复共线性的危害却不尽然.因此,在做参叶时,一旦发现了复共线性就盲目地修正估计量是不拘.但这并不是说我们可以无视复共线性潜藏的危害,种危害有时对参数估计是灾难性的.我们认为,一百针对性的也是十分有意义的做法是,首先应探测复生对参数估计有没有危害以及危害的大小,然后决定改估计量.本文针对测量平差实际,引进和发展信噪声比(简称信噪比) 的概念“,以度量复共线性对参十有没有危害以及危害的大小,并将问题归结为一个设检验问题,给出了检验统计量和检验方法.本文

4、厦过模拟计算说明,运用该方法能够对每个参数的估受到复共线性的危害及其危害的大小做出合理的)艺共线性对参数估计危害的度量号虑测量平差的 Gauss-Markov 模型作者简介:顾勇为(1965 一).男,副教授,博士生,从事数理统计和测量数据处理的教学与研究工作,参加研究多项国家自然科学基金项目,河南省自然科学基础研究项目等,发表论文 l0 多篇.Email:收稿日期:20061214基金项目:国家杰出青年科学基金资助:40125013);国家自然科学基金资助项目(40474007);地理信息与数字化技术“山东省重点开放实验室课题40202);河南省自然科学基金资助项目(0511010100)L

5、=AX+AN0)(1)L一(,f,P)其中为 n1 观测向量,A=(a 一,a)为 nt 设计阵,rank(A)=t,X=(X 一,X,).为 t1 未知参数向量,为 n1 观测误差向量,权阵 P 对称正定,f,为先验单位权方差.记法矩阵 A.PA 的谱分解式为 PA=QAQ,Q=(q,)=(q1,q),A=diag(A.,A),其中 q.,q 为法矩阵 APA 的特征值 A.A,0 对应的正则化特征向量.(1)式中未知参数的最小二乘(LS)估计为=(A.PA)A, 其协方差阵为 Coy()=f,:(A),相应的残差为=A 一.为度量设计阵的复共线性对参数估计危害的大小,我们引进重要概念信号一

6、噪声比.称=一 L为相对于,第个参数的 Ls 估计的信号一噪声比(简称信噪比). 常数是选定的衬托被估参数显着性的对比值,通常取为 0.我们将用信噪比这个指标,来区分各个参数的估计效果的差异.为进一步分析设计阵的复共线性对参数估计的影响,我们从信号识别的角度重新认识 Ls 估计问题.我们将被估参数的真值看作有待识别的信号,Ls 估计求解过程就是一个信号识别过程,是干扰信号识别的模型噪声,i 是对噪卢大小的一种刻画.一方面,信号的强弱具有相对性,通常我们特别关注被估参数(信号)是否显着异于 0,此时 0 就为衬托信号显着性的对比值,即=0,信号与 0 差异越大,我们认为信号越强,反之则越弱,(X

7、 一 X:)刻画了信号的强弱 ,它是参数天然属性的反映.显然信号本身弱小时是不易被识别出来的,这恰是信号未被成功识别的一个往往被忽视的重要原因;另一方面,模型噪声对成功识别信号造成的干扰用方差 Var()来度量,将其展开Var():=.2qkl+)(3)可以进一步看出,如果有一些 A,特别小,将放大 or,引起方差 Var()特别大,构成对成功识别信号的巨大干扰.而设计矩阵具有复共线性时,确有一些 A.特别小,这恰是信号未被成功识别的又一个重要原因.参数能否被正确估计出来,即信号能否被成功识别需要考虑以上两方面原.当设计矩阵的复共线性对某个信号的成功识别构成威胁时,如果这个信号本身较弱,就无法

8、抵御这个威胁,自然该信号的识别将归于失败.信第 2 期顾勇为等复共线性对参数估计危害的度量及检验噪比的概念成功融合了两个因素,用它来刻画设计阵的复共线性对参数估计的影响是合适的.当某参数估计的信噪比比较大时,参数信号相对于估计的方差比较强,这意味着噪声对信号的干扰相对比较弱,从而复共线性对参数估计产生比较小的危害;反之,当某参数估计的信噪比比较小时,参数信号值相对于估计的方差比较弱,这意味着噪声对信号的掩盖相对比较强,从而复共线性将对参数估计产生的危害比较大.因此,通过考察我们所做的参数估计,其信噪比是否足够大,可以探明复共线性对相应参数估计的影响是否达到了危害的程度.由于信噪比(2)式和未知

9、参数有关,不能直接考察其大小,问题将归结为一个统计假设检验问题.3 复共线性对参数估计危害的检验根据以上分析,检测复共线性对参数估计危害大小的问题可归结为下列统计假设检验问题:H0:r=d;Hl:rd(4)其中 d 称为信噪比阈值,是一个界定复共线性对参数估计危害大小的阈值.当接受原假设时,可以认为估计不具有足够大的信噪比,这表明复共线性对相应参数估计的危害比较严重;当接受备择假设 H.时,可以认为估计具有足够大的信噪比,这表明复共线性对相应参数估计的危害比较小.3.1 检验问题中阈值 d 的选取为确定假设检验问题(4)式中的阈值 d,我们考察与信噪比 r=(一 X)/Var()表达形式相近的

10、另一个量(X 一)/l/ar(),它服从自由度为 1 的中心分布,即(X 一 )/Var()(5)由此式可知,估计与的马氏距离不超过()的概率为 1 一,其中() 是自由度为 1 的中心分布的上侧分位点.因此在概率 1 一意义下,我们可以认为估计落在一个以真值为中心的足够小的区域内是可靠的.如果这个以真值为中心的区域足够小的话,它不应包含真值的对比值,因为真值理应显着异于对比值,亦即与的马氏距离应足够大才合理.据此,我们规定,与的马氏距离大于()时,即,l,yO,2r=()(6)V 一 ar()y/,信噪比才足够大,否则信噪比不够大.就此完成了检验问题中阈值的选取:d=().3.2 检验统计量

11、的构造由,v(X,Var()可知,(一 X)/Var()服从自由度为 1 的非中心分布,其非中心参数恰为信噪比(一 )/Var()=r 即(一)/Var()一,易知Var()=(nP 肘a),于是(置一 X:)/Var()=(一)(n 蹦 a)/2.(7)其中 M=I-A(APA(“)P,A由 A 删去数据列 a 后所得 .又残差平方和服从自由度为 nt 的中心分布:Vrpv/(nt)=一 LPA(APA)A 儿/(nt)J 一:一 (8)并且(7)式与(8)式相互独立 ,其商是服从自由度为(1, 一),非中心参数为 r 的非中心 F 分布,即(一)/Var()(nt)(0PMa)(一),n,

12、iij;一.一,nt,L,在日.假设之下,中心参数为 d.对阈值 d 作出如 d=()的选择后,中心参数为 (),即有HOf8)Fl,=Fl,d=Fl,(10)为(7)式与(8)式之商,将(7)式与信噪比定义作比较可见,(9) 式可看作是第 k 个参数信噪比的一种估计,而(8)式对每个参数而言都相同,因此各个的差异取决于(7)式,不妨称为的信噪比估计值,其大小反映了各个参数信噪比的大小.根据上述结论,我们可以采用作为假设(4)式的检验统计量.进一步,由显着性检验原理和非中心 F 分布的性质可知,假设检验问题(4)式的拒绝域为FFl,()(d)(11)其中 d 为显着性水平,c:AF()(o1)

13、是非中心 F分布 F_I()的上侧 O1 分位点.综上可知,当c 时,原假设被接受 ,说明估计的信噪比比较小,复共线性严重危害相应参数估计的精度,估计的效果不好.当 Fkc 时,说明估计的信噪比比较大,复共线性对相应参数估计的危害比较小,估计的效果较好.以往许多学者针对复共线性对 s 估计的危害,提出过多种修改方法,有些方法的应用效果也较好.然而这些方法均存在一定的盲目性,即一旦发现设计阵有复共线性就修改估计方法,而未充分考虑复共线性究竟是否影响到了我们感兴趣的参数,影响到什么程度,是否有必要修改.信噪比检验对这个问题作出了一种回答.我们将另文对修改方式作进一步研究,我们认为,修改方式应考虑信

14、噪比检验的结果,应具有很好的针对性.4 模拟计算与结果分析为了检验上述信噪比检验法的有效性,本文做了大量模拟计算,计算结果都表明:运用信噪比检验法能够有效地检测和度量设计阵的复共线性对参数估计的危害及其大小.模拟算例(参考了文献 6 中的第 3 个算例)设计如下:首先,按下列方式构造设计阵 A=(.,Ol4,5)l=15.5744.0220.4218.7449.2044.9255.4859.2894.39128.0296.00131.42127.21252.90409.20463.70510.22=246320483940650557231152057795969846120106133131

15、07711554336194347033920486533=18.09.512.836.735.724.043.346.776.7180.560.9103.7126.8157.7169.4331.4371.6=4.456.924.283.905.504.605.625.156.186.155.884.885.5710.787.056.35=2l+0.5+,N(0,0.05I)易知,A 中仅 1,3,4 列之间存在一个复共线关系.然后按关系式L=2o0+15+16 一 2.8+6+,N(0,0.521)给出观测值向量,这样我们得到了模型(1),其法矩阵的条件数约为 2.530710.对该模型作估

16、计,然后作信噪比检验,对比点取为 0,阈值取(0.05)=3.841,ll2 测绘科学第 33 卷显着性水平 O/取为 0.01,临界值 C=F.(0.O1)=294l,其中 5 次模拟计算结果列于下表.表 1 五次模拟计算中各参数的 LS 估计值及其信躁比估值x-200(95.756)【-l20319l_.134)(203.386)(203.1.40】()l5.00015001500015.00015000l5(9201011)(1133lOl2X.1.2171012)(l【1012)(8701011)1812515436J4307J442813551x316(*33.565)(*37.07

17、)(*5959)(28607)(15961)q_z.s-3.85;-2o4.51;-1.,95-2.01-1.57,5.985597259546015597256(*32955)(t0166)(5387)(*27558)(*26578)表中带“者表示参数估计的信噪比估值比较大,大于临界值,此时接受(4)式中的备择假设,认为该参数的 LS 估值此时受复共线性的危害较小,从而本次估值的可信度较大;反之,不带“者表示参数估计的信噪比估值比较小,小于临界值,此时接受(4)式中的原假设,认为该参数的 LS 估值此时受复共线性的危害较大,从而本次估值的可信度较小.每次模拟计算中出现的复共线性程度及观测误差

18、不尽相同,从而导致参数估计的精度有所差异.从计算结果可以看到,在 5 次模拟计算中,参数,和的估计值都与真值很接近,且其信噪比估值都比较大,这是因为这两个参数对应的数据列未包含在复共线性关系中,当然其估计未受到复共线性的严重影响.其余参数对应的数据列都包含在复共线性关系中,即设计阵的 1,3,4 列之间存在一个复共线关系,对信号,弘,的识别(对这3 个参数的 LS 估计)应该干扰最大,但是,相对而言,信号很强,所以很好地抵御了这种干扰,对其识别结果很好;信号很弱,未能抵抗这种干扰,对其识别结果很差 ;信号强弱中等,抵御这种干扰的能力时好时坏,对其识别结果也时好时坏.从计算结果可以明显看到,对应于较大信噪比估值(带“)的那些参数的 LS 估计值受复共线性的危害比较小,而对应于较小信噪比估值的那些参数的Ls 估计值受复共线性的危害就比较大.5 结束语复共线性对参数估计的影响不尽相同,那些数据列未包含在复共线性关系中的相应参数的估计一般不会受到复共线性的危害,而那些数据列包含在复共线性关系中的相应参数的估计是否受到复共线性的危害却不一定,其危害的大小也不尽相同.信噪比检验能够很好地将各个参数的 LS 估值是否受到了复共线性的严重危害进行鉴别,起关键作用的阈值可根据实际情况选取.利用信噪比检验结果对 LS 估计方法进行有针对性的改进应有意义,这有待于作进一步的研究.

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