1、守恒型定义:如果微分方程是守恒型的, 那么方程中导数的系数必定是常量; 如果是变量, 那么这些变量不会出现在方程的其它地方.ABAB ,等速迁移 ABauut t xx变速迁移 Ba2121211112122 dxuut流 入 -截 面 流 出 -截 面以一维管流为例, 其连续方程为:(非守恒形式) 0utx可写成: utx如图所示, 一维管流的精确解应是 202200duut如果用差分计算, 就意味着逐步积分, 即111000xdxt和 222111uut可近似写成: 10102200101122 dxutu流 入 -截 面 流 出 -截 面同理:1122激波0u2u如果 , , 流量能保持
2、连续;12u12一般 , , 流量就不连续. 1212如果采用守恒型方程 0utx同样逐步积分 1010 dut流 出 -截 面2121 xt流 入 -截 面2202001dxdxuttt即 2200xt与精确解相同.用差分求解微分方程时一般要把微分方程写成守恒型.于是 0txu写成: 2tx设 , 上式成为2uf0txuf常见的差分格式:1. Lax 格式 1112nnniiiiiuftx稳定性条件: maxmax1 1ttuu即2. Lax-Wendroff 格式式中, , fAu112iiAu 12iiiAu形式相当复杂.稳定性条件: max1tu2111112nn nnniiii ii
3、iii itftu ffxx 3. MacCormark 格式 AA11112nniiiiniiiinniiitufxfuu稳定性条件: maxt4. Crank-Nicolson 格式1 1122nnniiiiiiufftxx 稳定性条件: 无条件稳定.5. 迎风格式(Upwind Scheme) 0 txu设 , 其中 u1212u于是有： 0t xu迎风格式: 111nnniiiiiiutxx写成守恒形式: 0tuf分裂成 , 其中 , fff迎风格式: 110niiiiiiufftx对于迁移扩散方程 a0,txxu其通解为: 2,mktIxatntCe显然, 它既具有迁移特性又具有耗散
4、特性.常见的格式如下1. FTCS 格式 111122nnnniiiiiiiuuuatxx稳定性条件 ,dc2,ttdca等价微分方程: 22213txx xatuucu 根据一阶精度格式稳定性判断准则, 只需20t就能保证 FTCS 格式稳定.即 22attatx22 cdd或故有: 的稳定性条件1,2dc2. MacCormack 格式 AA11111122nnnniiiiiiiiiiiiiinniiiucudu稳定性条件是:(时间步太小，条件苛刻),12dc3. Crank-Nicolson 格式1 11 11122 2nnniiiiiinnniiiiiiuauutxxux 无条件稳定.对于迁移扩散方程(可认为是 Navier-Storkes 方程的模型方程)隐式格式具有更大的优越性!
