1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示,第二章 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示,学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 3.掌握三点共线的判断方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 平面向量共线的坐标表示,已知下列几组向量： (1)a(0,3)，b(0,6)； (2)a(2,3)，b(4,6)； (3)a(1,4)，b(3，12)；,思考1 上面几组向量中，a，b有什么关系？,答案 (1)(2)中b2a，(3)中b3a，(4)中ba.,思考2 以上几组向量中，a，b共线吗？,答案 共线.,思考3 当ab时，a
2、，b的坐标成比例吗？,答案 坐标不为0时成比例.,思考4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？,答案 能.将b写成a形式，0时，b与a同向，0时，b与a反向.,梳理 (1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线，当且仅当存在实数，使ab. (2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当_ 时，向量a，b(b0)共线. 注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.,x1y2x2y10,思考辨析 判断正误,答案,提示,提示 当y1y20时
3、不成立.,2.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y1x2y20，则ab.( ) 3.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y10，则ab.( ),题型探究,类型一 向量共线的判定与证明,答案,解析,例1 (1)下列各组向量中，共线的是 A.a(2,3)，b(4,6) B.a(2,3)，b(3,2) C.a(1，2)，b(7,14) D.a(3,2)，b(6，4),解析 A选项，(2)634240， a与b不平行； B选项，22334950，a与b不平行； C选项，114(2)7280，a与b不平行； D选项，(3)(4)2612120， ab，故选D.,答案,解
4、析,(2)在下列向量组中，可以把向量a(3,7)表示出来的是 A.e1(0,1)，e2(0，2) B.e1(1,5)，e2(2，10) C.e1(5,3)，e2(2,1) D.e1(7,8)，e2(7，8),解析 平面内不共线的两个向量可以作基底，用它能表示此平面内的任何向量，因为A，B，D都是两个共线向量，而C不共线，故C可以把向量a(3,7)表示出来.,反思与感悟 向量共线的判定与证明题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断，特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.,跟踪训练1 下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是 A.e1(0,0)，e2(1，
5、2) B.e1(1,2)，e2(5,7) C.e1(3,5)，e2(6,10),解析,答案,解析 A选项，e10，e1e2，不可以作为基底； B选项，1725170，e1与e2不共线，故可以作为基底； C选项，310560，e1e2，故不可以作为基底；,e1e2，不可以作为基底. 故选B.,类型二 利用向量共线求参数,解答,例2 已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？,解 方法一 kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)， a3b(1,2)3(3,2)(10，4)， kab与a3b平行，,方法二 由方法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)， 当kab与
6、a3b平行时，存在唯一实数， 使kab(a3b). 由(k3,2k2)(10，4).,解答,引申探究 1.若例2条件不变，判断当kab与a3b平行时，它们是同向还是反向？,kab与a3b反向.,解 akb(1,2)k(3,2)(13k,22k)， 3ab3(1,2)(3,2)(6,4)， akb与3ab平行， (13k)4(22k)60，,解答,2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与3ab平行？”，又如何求k的值？,反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理ab(b0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解.,
7、解答,跟踪训练2 (2017绍兴柯桥区期末)已知向量a(3，2)，b(1，2)， c(4，1). (1)若axbyc，求实数x，y的值；,解 axbyc，(3，2)(x4y，2xy)，,解答,(2)若(akc)(2ba)，求实数k的值.,解 akc(34k，2k)，2ba(5,2)， 由(akc)(2ba)得，2(34k)5(2k)，,类型三 三点共线问题,证明,A，B，C三点共线.,反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点. (2)若A，
8、B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.,答案,解析,所以(3)(1k)(2k2)(12k)0，,达标检测,1.已知向量a(2，1)，b(x1,2)，若ab，则实数x的值为 A.2 B.2 C.3 D.3,答案,1,2,3,4,5,解析 因为ab，所以22(1)(x1)0，得x3.,解析,2.与a(12,5)平行的单位向量为,解析 设与a平行的单位向量为e(x，y)，,1,2,3,4,5,答案,解析,答案,1,2,3,4,解析,5,答案,解析,1,2,3,4,5,4.已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为_.,6,1(m2)220，m6.,1,2,3,4,
9、5,5.已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_.,(2,4),答案,解析,1,2,3,4,5,设点D的坐标为(x，y)，,解析 在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，,(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，,故点D的坐标为(2,4).,规律与方法,1.两个向量共线条件的表示方法 已知a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1)当b0，ab. (2)x1y2x2y10.,2.向量共线的坐标表示的应用 (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.,
