1、 410 自动控制原理笔记一、 自动控制理论的分析方法：（1）时域分析法；（2）频率法；（3）根轨迹法；（4）状态空间方法；（5）离散系统分析方法；（6）非线性分析方法二、系统的数学模型(1)解析表达：微分方程；差分方程；传递函数；脉冲传递函数；频率特性；脉冲响应函数；阶跃响应函数(2)图形表达：动态方框图（结构图） ；信号流图；零极点分布；频率响应曲线；单位阶跃响应曲线时域响应分析一、对系统的三点要求：(1)必须稳定，且有相位裕量 和增益裕量 gK(2)动态品质指标好。 、 、 、%ptsrt(3)稳态误差小，精度高二、结构图简化梅逊公式例 1、解：方法一：利用结构图分析： sXYsRsXR
2、sE11 方法二：利用梅逊公式 nkKPsG1)(其中特征式 .11,1, QfedfMkjjNi LL式中： 为所有单独回路增益之和iL为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和ji为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和fedL其中， 为第 K 条前向通路之总增益；kP为从 中剔除与第 K 条前向通路有接触的项；kn 为从输入节点到输出节点的前向通路数目对应此例，则有：通路： ，21GP1特征式： 312312)( G则： 312)(GPsRY例 2：2002 年备考题1G25G2H3G4 12解：方法一：结构图化简 5G2H6421G123继续化简： 5G2H61234G34211G于是有
3、： 5342116GHG2342123HG结果为 其中 =)(s)(s方法二：用梅逊公式 0123423123 HGHG 通路： ,1321651P123252,1,34653P于是：.1sRY三、稳态误差 2G1H（1）参考输入引起的误差传递函数： ；HsRE21)(扰动引起的误差传递函数： GsN21（2）求参考输入引起的稳态误差 时。可以用 、 、 叠加，也可以srepKva用终值定理： sErs0lim（3）求扰动引起的稳态误差 时，必须用终值定理：sne sENs0lim（4）对阶跃输入： ，GKsp0li如 ，则 ，tatr1saRpsrKae1（5）对斜坡输入： ，GKsv0li
4、m如 ，则 ，tbr2sbRvsrKe（6）对抛物线输入： ，sGsp02lim如 ，则 ，21tctr3scRasrKce例 3：求： ，令 ，求 ，令sY0sNsY0R解：结构图化简： 1G3G3H213继续化简，有： 3221HG31GH当 时，求得 =。 。 。 ；当 时，有0sNsRY0s求得 =sNY例 4：令 ，求 ，令 ，求0sNsRY0sNY为了完全抵消干扰对输出的影响，则 ?SGx解：求 ，用用梅逊公式：sRY211,GKP1,21xP121121 KG则： ，同理求得 =121GKsRYxsRY若完全抵消干扰对输出的影响，则干扰引起的输出应该为零。即 =0,故 =0，所以
5、sNY121KsRx12GKx例 5：2002 年题 4其中 ， ，r(t)和 n(t)分别是参考输入和扰411sGn22sGn动输入。(1)求误差传递函数 和 ；sREresNEne(2)是否存在 n10 和 n20,使得误差为零？(3)设 r(t)和 n(t)皆为阶跃输入，若误差为零，求此时的 n1 和 n2解： ， ，N(s)为负21GsREGre21GsNEne r(t)=t,要求 =0.则系统应为型系统,那么 n1+n2=2.sre r(t)=1(t),n(t)= 1(t),要求 =0,则 n1+n2=1se因为如 ,则124sKssNE41limlilim000 sNEsEsses
6、n而事实上： 124sKssN0limlilim000 sNEsEssesn可见积分环节在 部分中，而不在 中。sG1 G2故 n1=1，n2=0。就可以实现要求2例 6：如图，当 时，求稳态输出203cos15sintttr解：应用频率法：，则75j73tan5873,71tan5071 1 jj ta20costa1si| 11ttty四、动态指标(1)二阶系统传递函数的标准形：22nsRY(2) ， 越大， 越小co(3) ， ， （=5%或 2%）21nrt 21npt nst43例 7：如图，要求 ，试确定参数 K，T。%0,.stp25s1TsK解： ， 2222 / nsTKss
7、TKsRY 则 ， 。由 ，n2n11.02npt，可得 =？，T=？3.01exp%2例 8：求： 选择 ， ，使得 %20%，ts=1.8 秒( )1Kt %2 求 、 、 ，并求出 时的稳态误差pvattr1解： tnnt KsKssRY 1222112 由 %20%，则 ，求得 %0exp2由 ，求得 。 。 。 ，从而得 、 。8.14nstn1Kt 由传递函数： 得，tsG10， ，sKsp0limtsvKKlim00lim20sGsa1K2st当 时，ttr1 ttvps KKe01频率法一、基本概念：，输入是正弦信号，稳态输出。如： ，jGsj tRtr1sin则 111sin
8、jGtRjty二、 惯性环节， ，1TsK21TKjG，j1tan90 ， ，1TsK21TKjG，j1tan90则： ，：，1809：0：A注意： 321jw 0+ u0+G(s)因为 TjG1321 tan90 ， （如图 3）则21sTK 211221 tantTTA ， （如图 4）21sTsK求 w1。因 211221 tant90TTA ，故801 90tant180tant9 211211 TT两边取正切： 2121 TT ，其中 ， （如图 5）21sTsK210+0+0+ 增益裕量： ，相位裕量： ，如图 61AKgc180注意：用 求 K；用 求 w1。1cjG180tan
9、1jG例 1： ， T1T2，K=10，作出波德图2sTs例 2：2002 年题 1求：(1)写出开环传递函数 sG0(2)计算系统的相位裕量和增益裕量(3)做出 的 Nyquist 曲线，并分析闭环系统的稳定性sG0解： 1.020sKsG可见图中 ，因为幅频特性曲线在 w1=0.5 和 w2=10 时发生转折，显然 w=2c时，曲线只在 w1=0.5 发生转折，而未到 w2=10。故 w2=10 不发生作用，所以，故12K1.02ssG 相位裕量： .tan4t8011c因为 ，则1tan01jG gK01.02.t2t 111 ：则 Z=0，N=0，P=0。符合 Z=P+N，故稳定三、N
10、yquist 判据Z 为闭环右半平面根数，P 为开环 右半平面根数，N 为 包围-1 圈数，sG0 sG0顺时针为正，逆时针为负。当符合 Z=P+N 是系统稳定。其中 Z=0例 3： TsKG,120解：奈氏曲线如下图。N=2，P=0，Z=N+P=20，故不稳定。例 4： ，如图：N=2，P=0，Z=N+P=20，故不稳定。120TsKG例 5： ，判断系统是否稳定。0165212340 sssG分析：判断稳定性，用劳斯判据： 相邻系数必须为正，不能缺项如：。显然缺 s 项，故不稳定。01230KsTG 劳斯阵列第一列全为正，则系统稳定。如果有一个负数，则变号次，即系统有个有根，不稳定。 系统
11、如果与虚轴有交点，则劳斯阵有一行全为，此行的上一行为辅助多项式，由辅助多项式可求出与虚轴的交点坐标。如，劳斯阵为：0623ss，则由于一行全为零。则系统与虚轴相交。辅助多项式为：6:0:102s，则与虚轴的交点为 。jss2063,12 j2解：劳斯阵：，可见系统不稳定，有两个右根。1002426120251650134sss例： ，0215234sssG解：劳斯阵：，因为此处不能往下计算，换成 。20410225101234ss， ，故系统不稳定。时 ，且当 0例：2002 年备考题单位反馈系统，开环传递函数 ，1020sG要求： 画出对数幅频特性，求 ，判断系统稳定性。c 加入矫正装置，使
12、 扩大一倍，求矫正后系统传递函数和相位裕量。c解： 开环传递函数应由所给的零极点形式化成时间常数形式：，由作图可得 ，由劳斯判据可知，10.20ssG10c，缺项，则系统不稳定。1.23也可由 ， 1900.tan181cjG，判定系统不稳定。180cj也可由零极点判断画图 ，不稳定。 加入矫正装置是 ，即1s10.20ssG 60.tanta811200csG（w1 可由图中按比例读出） ，则 。 280cjG例 8：2001 年备考题求： 系统阻尼比 =0.5 时, ?hK =0 时，求 %， 、 （ ）hKpts%2解： ，则22214nhsKsRYsh114s432142hhnK =0
13、 时， ，则 ，hK42sRY25.0n于是 ， =%=stns84pt例 9设计型题，较易，主要考概念求： ，使 时， ；使 时，sGctr0se21tr01.se解： ， 利用基本概念，不用计算Tc,1 ，则sKGc, KTsKsa 10lim20故： 。10.1eas根轨迹法一、定义： 。011*0njimiipszKsGsc102Ts其中 为根轨迹增益。开环放大倍数*KnjjmipzK1*闭环特征方程的根随参数 而变化的轨迹，称为根轨迹。*K其符合两个条件：非 最 小 相 位 系 统或 最 小 相 位 系 统相 角 条 件 ：幅 值 条 件 ： ,2,100ksG几条规则：实轴上的根轨
14、迹最小相位系统右边有奇数个零极点时，有根轨迹非最小相位系统右边有偶数个零极点时，有根轨迹根轨迹条数=Max（n,m） ，起点为开环极点（ ） ，终点为开环零点（ ）0gKgK渐进线条数：（n-m）条，与实轴交点坐标： mn零 点极 点1与实轴夹角： 。mnk121分离点与会合点：使 ，并使 0 的点0*dsK*复数极点出射角： 量 辐 角其 他 极 点 至 该 极 点 的 向零 点 至 极 点 的 向 量 辐 角180p对非最小相位系统 量 辐 角其 他 极 点 至 该 极 点 的 向零 点 至 极 点 的 向 量 辐 角1p复数零点的入射角： 角极 点 至 该 零 点 的 向 量 辐量 辐
15、角其 他 零 点 至 该 零 点 的 向180z对非最小相位系统 角极 点 至 该 零 点 的 向 量 辐量 辐 角其 他 零 点 至 该 零 点 的 向1z与虚轴交点：（a）用劳斯判据确定，用辅助方程求得（b） 代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0 求得js例 1： 210sKG解：渐进线（3 条）： ，1032,312k由 ，则 ，021sKs，得0263322* sdsds385.0,57.142*21Ks与虚轴的交点：方法一，劳斯阵：023ss Kss01230要与虚轴有交点，则有一行全零，即 6032K辅助方程： jss0632,12方法二将 代入特征方程：js023Kjjj，,6
16、0322K虚 部 ：实 部 ：则与虚部的交点 根轨迹如下图,2,1js例 2： 320sKsG解：渐进线一条。出射角 1402tant18011p分离点与会合点： ，23*sK故： ，则 ，得022* sds 0142s，可见根轨迹是圆弧。46.5,7.30221K证明：取圆弧上一点 。js（应用辐角条件） 18032tan2tan 3211 2jjjsG两边取正切： 2222 313 可见是圆。例 3：解：结构图化简,有:闭环特征方程为 00111212 KssKhh,由此画 根轨迹图。hhKs112*,0h也可以由 ，画 根轨迹。021sh1KhKs1例 4： 0,1*0sKG解： ， ，
17、12*s01232* sds则： 04632ss或 =1，=9 时，有一个分离点 19,01632 或解 得当 9 时，如取 =10，则 ，5.41301，根轨迹如上图。4,4601322,1 s离散系统分析方法一、采样定理镜像作用,采样频率 max2s二、开环脉冲传递函数1sKseT1368.0124.112 210 zKTezzTKssKeGT闭环 ，特征方程zGzRYry0。0368.24.0368.1.120 KzK即判断稳定性：用双线性变换 ，将其代入特征方程中，再用劳斯判据。如果 K 给定，则直接解特征方程，若|z|1 则不稳定。 ，对参考输入有：sGz0定 理此 时 必 须 且
18、唯 有 用 终 值有 干 扰 时 ， 时 ，当 时 ，当 时 ，当 zEezNEKTcectrGzKbtbaetatrzzsnasza vszv pszp 1lim,2,1lim,li 11,li 20210求 时，可以用两种方法：zRzYtyzRzYryry 11*, a）部分分式法；b）长除方法G(s)z 变换公式：32322111111 zTXstx zeasetxXatat如： 20 sKseGT.1311 zssKz非线性系统分析方法注：1 为 sinwt；2 为基波和高次谐波经过 G（s）后剩下的基波。一、分析方法：李 雅 谱 诺 夫 方 法 考率 法 的 推 广可 适 用 于 高
19、 阶 ， 是 频描 述 函 数 法 不 考只 适 用 于 二 阶 系 统相 平 面 法二、描述函数法：闭环特征方程： ，则01sGXNXNs1判断 是否包围 ，包围则系统不稳定，不包围则稳定。jwG如同 ，判断是否包围-1，包围则不稳定，不包围则稳定。1,01jsG(s)负倒特性：A 点不稳定,自激振荡B 点为稳定自激振荡，因有干扰时系统发散，则系统正好进入稳定区，而系统稳定时要衰减，则系统又回到 B 点右边，又再次进入到不稳定区，又要发散，然后又进入稳定区，如此反复，则系统始终稳定再 B 点附近。例 1：如图。其中：，24XabN3,1,1.0baKssG判断是否存在稳定的自激振荡？为消除自
20、激振荡如何调整？解： 使 两 者 不 相 交 。、或 调 整使 两 者 不 相 交减 小稳 定和 不 稳 定 ，点 不 稳 定 。，点 是 稳 定 的 自 激 振 荡 点求 出 相 交 幅 度求 出 相 交 频 率 baKx xxABXNjwGwABA,. 0180 例 2：解： ， ，则合成为：120Mhx 200 Mxx时 输 出时 无 输 出 ，当 1ss则 ，变换成：11ss再画图分析例 3：2002 年题 5其中： 。 4,141422MbXjbXMN讨论参数 T 为系统自激振荡的影响210s10sss1210sT设 T=0.25sec，求输出自激振荡的振幅和频率。解： ，.1,01
21、30 XNsTsG两者相切时，即频率特性 G(jw)的虚部等于-1/N(X)，B 点稳定，A 点不稳定。此时， 不 稳 定和稳 定 ； ABA xxx0李雅普诺夫稳定性理论李 氏 稳 定 判 据稳 定 判 据劳 斯 判 据 稳 定离 散 系 统 在 单 位 圆连 续 系 统 在 左 平 面特 征 方 程 求 根判 断 稳 定 性 Nyquist一、李氏第一方法：线性化方法， 0,.,2121 txfxfftxf eennne 。 即， 平 衡 状 态 为线性系统平衡状态只有一个；非线性系统平衡状态有多个。雅可比矩阵：，判断其稳定性用特征多项式 ，xennnxe fxffffA 21121| 0
22、AsI然后用劳斯判据。如果线性系统稳定，则非线性系统稳定；反之，如果线性系统不稳定，则非线性系统不稳定。如果处于稳定边界（有纯虚根） ，则不能判定非线性系统的稳定性。李氏直接则 大 范 围 稳 定； 如 果为 正 定 对 称 矩 阵 ， 则 ,00, xVxPxVT 方法：1克拉索夫斯基方法；2变量梯度法（不考）二、对非线性系统在平衡状态处的稳定性问题的解题步骤：先用线性化方法：，由 得，01210eexfxxfA 0AsI 21,s若：（1） ，则系统在平衡状态 处是不稳定的；,210ex（2） ，则系统在平衡状态 处是渐进稳定的。0,210e（3） ， 中至少有一个实部为 0，则此方法失效
23、。12否则，用克拉索夫斯基方法：， ，当 Q(x)正定xffxfxfA21121,其 中 ,xffQT时，即当主子式均大于零时，且当 时，有：1，则系统在平衡状态 处大范围渐进稳定。.xfxVT 0ex最后想到用李雅普诺夫第二方法：构造标量函数 V(x)，例如：，要求 V(0)=0，x0,V(x)0。21)(x步骤：1、构造 ；21)(xV2、 ，将 ， 代入，若 为负定，半负定， ，21)(x 12xV 1x有 。则系统在 处大范围渐进稳定。0e例 1：使用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性。 52123121,xxx解：线性化方法失效，则只好用克拉索夫斯基方法：，则422153xxf 42106xxffQT正 定主 子 式 xQ2,06211且 时，有1x，故此系统在原点处2512311 xxxfVT大范围渐进稳定。例 2：试用李雅普诺夫方法判断下述非线性系统在原点平衡状态的稳定性。 5212311,xxx解：用线性化方法：，10exfA 01102ssAI。故 系 统 在 原 点 处 不 稳 定则 ,12s状态空间分析方法一、模型的建立
