1、1讲 授 内 容 备 注第二十一讲二、广义积分敛散性的判定（十二法）1若 ，且 可考察 时，无穷小()0fxlim()0.xfx量 的阶若阶数 ，则广义积分 收敛；1 ()afdx阶数 时发散12若 ，可用比较判别法，或比较判别法的极限形()0fx式3若 ，考察 是否关于 一致有界()f ()AafxdA4以上 的条件，只要对于充分大的 能保持0x()xa成立即可5 与 同时收敛 ()afd ()afxd对 有类似的方法0x6若 时， 无穷次变号，则上述判别法失()f效可考虑用 或 判别法AbelDirchlet7用 或 判别法判定为收敛，只是本 ()afxd身收敛至于是绝对收敛还是条件收敛，
2、还有赖于进一步考虑 收敛还是发散 ()afxd8以上方法失效，还可考虑用 准则来判断 Cauchy9用定义，看极限 是否存在 lim()Aafxd10用分部积分法或变量替换法，变成别的形式的积分，3 学时2看是否能判定它的敛散性11用级数的方法判定积分的敛散性12用运算性质判定敛散性如若 收敛， (),() aafxdgx则 收敛 若 收敛， 发散， ()afx ()axd则 发散 g注：对于无界函数的广义积分，以上各条都有类似的结论只是第 1 条要特别注意对无界函数的广义积分而言，此条应是 趋向瑕点时， 为无穷大量若无穷大量的x()fx阶数 ，则积分收敛若阶数 ，则积分发散1例 8 设 在
3、上连续， 对任意 ，有()f1,),)x另外 0xln(imxf试证：若 ，则 收敛 1)fd证 （用比较判别法） l() inxf当 时，有 0, ,Aln()fx即 llnf x， 当 时 10()xA因为 ，可取 于是11据比较判别法，积分 收敛 1()fxd例 9 设 在 上有定义， 且在任()fx,()0fx意有限区间 上可积又有定数 ，使得,0)ABM|0 Cxk|1e3，对任意 成立| ()xkfedM 0k试证明： 收敛 ()f证 已知 ，使得| (), (0)xkfedMk，记 ，取 ， 则,0ABmax,CABC| ()()xkfdfe| 3CxCBkkAe故 对任意 保持
4、有界 ()BAfxd,0积分 收敛 例 10 设 在区间 里连续，且 ，()fx(,10lim()xf对任何正整数 ，定义 证明：N)in(),NffN广义积分 收敛的充要条件是 存 10()fxd 10l()fd在证 充分性：00lim()xf当 时， ,(,故 的敛散性，可用非负函数的判别法进行判定 10()fxd只需证明：当 时， ，保持有上界 1()fxd在 上连续，()fx,1使得 0M(), ,1fxM因而当 时，在 上恒有N,()min()()fxfxNf从而 1 1 10dddx令 ， N ()li()Nfxf4收敛 10()fxd必要性： 对 单调不减，且 .02 N()Nf
5、xf关于 单调有界()fx且 1 100()Nfxd即 单调有界，必存在极限 存在 10 lim()Nfx例 11 证明积分 有意义 12201sincosdx证 I 积分0 120ix时， ，故该积分为正常积分 xsn只要在 处补充 的值为零，则在 上连续，积2ix0,1分有意义02 1 1220coscosddxx0 1x1 211coscoscos2t tux uddd 1, 0AA由 判别法知，此积分收敛Dirchlet而 在 上单调有界，故由 判别法知x0,bel收敛 12cosdx综合 ， ，原积分有意义0证 II 12201sincosxdx瑕点 附近，0x无穷次变()f号注：
6、判别法Abel与判别法Dirchlt经常交替使用注：观察被积函数的原函数512201limsincosxdx120ii.故该积分有意义例 12 积分 是否收敛？是否绝13 0sinxd对收敛？证明所述结论解 13 0sinxd1 13 3 1 1 00si sinxxxd 其中积分 以 为瑕点13 10sindx与 同价1332i()!xo2x(0)x所以积分 收敛13 10sindx，上述积分为绝对收敛13i 对积分 13 1sinxd可利用 的 展式，有si , xx(1)xTaylor132sinsin().x3sin!x3()o(1)x2()!o6于是 13 21 11sinsin()
7、xxddodx而 条件收敛， 绝对收敛 1idx 21()ox积分 条件收敛3 1sinxd故原积分条件收敛例 13 设 为实数试讨论积分,的敛散性 0sin()Ixd解 若 ，则1 001sin1sisinIxxxd不论 ，还是 ，积分发散若 ，则1 01 +sin 0i txttdItt1 0sin ttd1 1 +01sisintttdt 12.I其中 1 100sinsin, limtttdt 所以 与积分 同时收敛1I 10t10 敛散 +1xd 敛散7故 当 时收敛，即 亦即 时收1I21敛被积函数为正， 收敛为绝对收敛对于 ，只需讨论 的情 21sinItdt2况当 时 （即 ）
8、0110且 收敛sintt 1td此时 绝对收敛 2I当 时 （即 ）001单调减趋于零， t 1sin2Atd由 判别法知， 收敛Dirchle2I且由 cos2sinitttt知 非绝对收敛 条件收敛2I2I当 时 （即 ） ，有031kA (21) 0sinsi2ktdtt知 发散 （ 准则）2ICauchy总之，原积分当 时，绝对收敛；1时，条件收敛；0其他情况发散例 14 设 在 内可微， 可积且当()fx,)a()fx8时， 单调趋于零又积分 收敛x()fx 0()fxd试证： 收敛 0d证 ()()aaxfxdfaff已知 收敛，只需证明 存在 0()fxdlim()xf收敛 由 准则， 当 时Cauchy0, ,Aa （由已知条件 ） 2()xftd ()0fx上 的最小值为 ()0, 2ftA()ft()f当 时，x 22()()xxffdtftd即 lim0xf
