1、第十五章 积分方程积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外，还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线性积分方程。1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程一. 积分方程一般概念1. 积分方程的定义与分类线形积 分方程 在积分号下包含未知函数 y(x)的方程(1)(),dbaxyFK称为积分方程。式中 (x),F(x)和 K(x,)是已知函数，,a,b 是常数，变量 x
2、和 可取区间(a,b) 内的一切值；K (x,)称为积分方程的核，F(x)称为自由项， 称为方程的参数。如果 K(x,)关于 x,是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果 F(x)0 ，就称方程(1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。一维弗雷德霍姆积分方程（Fr 方程）第一类 Fr 方程 ()(),dbaKxyx第二类 Fr 方程 ()()()(,bayF第三类 Fr 方程 ()()()(,dbaxKxyn 维弗雷德霍姆积分方程 11()()()(,DPyFP称为 n 维弗雷德霍姆积分方
3、程，式中 D 是 n 维空间中的区域，P,P 1D，它们的坐标分别是(x1,x2, ,xn)和 ,(P)=(x1,x2,x n),F(P)=F(x1,x2,x n)和 K(P,P1)=K(x1,x2, ,xn, ,(21nx是已知函数，f(P)是未知函数。关于 Fr 方程的解法，一维和 n(1)维的情况完全类似，因此在以后的 讨论中仅着重考虑一维 Fr 方程。沃尔泰拉 积分方程 如果积分上限 b 改成变动上限，上面三类 Fr 方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。由于第三类 Fr 方程当 (x)在(a,b)内是正函数时，可以化成 ()()(),dbaFxKxy y它是含有未知函数 以
4、 为积分方程的核的第二类 Fr 方程。所以本章重点),(xy)(,K研究一维第二类 Fr 方程。2. 积分方程与微分方程之间的关系某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微分方程的初值问题：（2）200()()()()d,yAxByfx若从方程(2)中解出 ，然后在区间(a,x)上对 x 求 积分两次，利用初始条件， 经过简单的2dy计算不难得出 *， xa yABAd)()()(00dxf 令 )()(), xK和 000d( yxyAfxF 上式就可写为如下的形式:(3)()(,)(Fxya这是一个第二类沃尔泰拉方程，核 K 是 x 的线性函数。、 1 初
5、值问题(4)0)(,1)0(d2yxf变为积分方程(5)xx fy00 d)()( 反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把 积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其第一次求导的结果中令 x=a,就得给定初始条件。在例 1 中， 对(5) 式求导，得出(6)xxfy00)(d)(d再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件y(0)=1, 对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。、 2 从问题* 在计算过程中应用了公式（n2）11()d()(d()!x xna annfxf 当 时成立。0)(1f0)(,)0(d2ayx出发，积分两次，导出关系式 Cxyx0
6、d从此立刻可知条件 y(0)=0 成立。从第二端点条件 y(a)=0 决定 C：a0)(所以有关系式(7)x axyyay0 d)(d)()( 令 xaxK),(),(则方程(7)变为(8)ayy0d)(,)(这是第二类 Fr 方程。要从这个积分方程回到微分方程，只需对方程(8)求导两次，就得到 )()()(d2 xxxa在积分方程(7)中，令 x=0 和 x=a,可以直接推出边值条件 y(0)=y(a)=0。注意：在这个例中，1 在 x= 处不连续，并当 x 增加而过 时有一跳跃-1。K2 K 是 x 的一个线性函数，即 满足 ，且 K 在端点 x=0,x=a 处等于零。023 K(x,)=
7、K(,x),即核是对称的。如果利用类似的方法，对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题：0)(,)0(d2ayBxA则除 A=0 外，可得在 x= 不连续的一个核。二、格林函数及其物理意义格林函数 在区间a,b上，考虑微分方程Ly+(x)=0的边值问题，式中 L 是微分算子： qxpqpxdd2齐次边界条件为在端点 x=a, x=b 处，满足 ，其中 , 为常数。0xy为了得出这个问题解的形式，首先构造函数 G,使对一给定数 ，),(21并且满足条件：(i) 函 数 G1和 G2在 它 们 的 定 义 区 间 上 满 足 LG=0,即当 x 时，LG 2=0。(ii) 函数 G 满足
8、边界条件，即 G1满足在 x=a 的边界条件，G 2满足在 x=b 的边界条件。(iii) 函数 G 在 x= 连续，即 G1()=G2()。(iv) G 的导 数以 x= 为一不连续点，其跳跃是 )(p，即)(12可以证明，若以 为参数的这个函数 G 存在，则原 问题的解有如下的形式：(2)d),(xyba例如 G(x,)可取(3)xvuAx),(1),(式中 A 是由关系式 )()()(pv决定的一个常数，u( x)是 Ly=0 满足在 x=a 处所给定的齐次边值条件的一个解， v(x)是在 x=b 处满足边值条件的一个解。则 G(x,)显然满足条件(i)(iv)。此外，还可证明，对由(3
9、)定义的 G(x,),由关系式(2)确定的函数 y 满足微分方程(1)并且满足 u(x)在 x=a 与 v(x)在 x=b 所规定的相同的齐次边界条件。满足条件（i）(iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式 Ly 和边界条件相联系的格林函数。在许多物理问题中，这个函数具有简单的物理意 义，将在下一段中 说明。线性积 分方程的一个典型实例 考虑一条长为 l 的有弹性的弦，假定在平衡位置 时，弦的位置在 Ox 轴的线段 Ol 上。在点 x 施加单位力，于是弦的每一点得到一个离差，在点 处所 产生的 离 差 以 G(x,)表 示 （图 15.1）。函 数 G(x,)为 两 点 （x 和 ）函
10、 数 ，在点 x 施加外力，在点 计量离差，称 G 为影响函数。如果弦的两端固定在 x 轴 上 A,B 两点，弦的 张力为 T0,则在点 x外处施加的单位力作用下，弦成图 15.1 所示的形状。根据虎克（Hooke）定律与力的平衡条件，在点处有 xlTlxG,)(),(0这就是弦的影响函数。从能量守恒定律可导出 G(x,)的互易原理：在点 x 处施加外力在点 处产生的离差等于在点 处施加大小相同的力在点 x 处产生的离差，即G(x,)=G(, x)如果在弦上施加的力 F 是连续分布的，并 设线性强度是 p(),则作用于弦上点 和 +之间的一小弦段的力就接近于 p()。把引起弦变形的这些力元素相
11、加，便得弦的形状 lxy0d),()(1 设在某个力的作用下，弦成已知形状 y=y(x),求定力分布强度 p(),就得到含未知函数p()的第一类 Fr 积分方程(1)lpxGy0d)(,2 设作用力随 时间 t 改变，且在点 的强度是p()sin t ( 0)则弦的运动是由方程y=y(x)sin t描写的周期运动。设 ()为弦在点 的线性密度，则在时刻 t,点 与 +之间的小弦段除受力 p()sin t的作用外，还受惯性力sin t22d()()yt的作用，则等式(1)可化为如下的形式：(2)(d)(,)(0xFxKl 式中lpGF0)(,)(K(x,)=G(x,)(), =2如果函数 p()
12、给定，那么 F(x)也就给定， 这样积分方程(2)就是确定函数 y(x)的 Fr 方程。注意，由于 F(x)的定义，有F(0)=F(l)=0若密度 ()=是常数，而 F(x)有二阶的连续导数， 则方程(2)的解为 )(d)(d)( 0202 xFylTxylTy l 即(3)()()()( 202 lcxlcx x式中 0T把(3)式微分两次就得到 )()(2xFycx另一方面，可以证明这个微分方程的任一在 x=0 及 x=l 处等于 0 的解是积分方程(2)的解。、 具有可分离核（退化核）的 Fr 方程可分离核（退化核） 若核 K(x,)可分解为如下的形式： nkkgxf1)(则称 K(x,
13、)为 可分离核或称 为退化核。不妨假定 n 个函数 fk(x) (k=1,2,n) 在有关区间上是线性无关的。例如，如果核是关于 x 和 的任一多项式，那么这个核就是退化核，核 sin(x+)也是退化核。具有可分离核的第二类 Fr 方程解法 具有可分离核的第二类 Fr 方程(1)(d)(,)( xFyxKyba即(2)(d)()()(1 xFygxfxynkbak的解法如下，首先设(k=1,2,n)bakkgcd)(则 nkxfcxFy1)()(于 是 给 定 积 分 方 程 (1)的 一 切 解 应 取 这 个 形 式 。因 此 问 题 归 结 为 求 出 常 数 c1,c2,c n。再用
14、gi 乘(2)式两边且积分，令，bajiij xfgd)(baii xFgd)(（i=1,2, ,n , j=1,2, ,n）则 c1,c2,c n满足方程组（i=1,2,n）injjii bc1即（3）nnnn bcaca)1()()(21 222 11 矩阵形式为（IA）c=b式中 I 为 n 阶单位矩阵， A=(aij),c= (c1,c2,c n), b= (b1,b2,b n)。这个方程组存在唯一解的充分必要条件是：方程的系数行列式=det（IA）0如果 F(x)0,则 bi=0(i=1,2,n)，那末方程(3)为齐次方程组。因此,当0 时，y(x )0 是积分方程(1) 的平凡解（
15、零解），且是唯一解。当 =0 时，至少有一个 ci 可以任意指定，其余的 cj 可以求出，于是积分方程(1) 存在无穷多个解。使=0 的 值称为特征值。齐次积分方程的任一非平凡解称 为对应于积分方程的特征函数。如果对于 的一个给定的特征值，可以从常数 c1,c2,c n 中任意指定 r 个，那么可得到 r 个线性无关的对应特征函数。如果 F(x)不恒 为零,但与 g1(x), g2(x), ,g n(x)正交，即 bi=0 (i=1,2,n)。那末方程组(3)仍为齐次的，以上的讨论也适用，除非这里积分方程的解也包含函数 F(x)。这样平凡值 c1= c2= cn=0 导 出解 y=F(x)。对
16、应 于 的特征值的解是 F 与特征函数的任意倍数之和。最后，如果(3)式右边的 bi 至少有一个不为零，当行列式 0 时，方程组(3)存在唯一的非平凡解，于是可得到积分方程 (1)的唯一的非平凡解，当=0 时，则方程(3)或者是不相容的，这时积分方程(1) 没有解；或者 n 个方程中至少有两个是相同的，这时积分方程(1)有无穷多个解。例 解积分方程(1)(d)(31()(0xFyxxy解 可把这个方程改写为y(x)=(c13c2x)+F(x) (2)式中，01d)10dy决定 c1,c2 的方程组是(3)1021d)()(23)( xFc其系数行列式为 )4(12132则积分方程(1)存在唯一
17、解的条件是 2。由(3)解出 c1,c2 并代入(2)得到(1) 的解。特 别，若 F(x)=0, 2,则唯一解是平凡解 y(x)=0。数 =2 为问题的特征值。若 =2，则方程组(3) 为 1021d)(3xFc这两个方程是不相容的，除非函数 F(x)满足条件 )(0这时两个方程相同。若 =2，则方程 组(3) 为 1021d)(3xFc这两个方程也是不相容的，除非函数 F(x)满足条件 )(30这时两个方程也是相同的。现在具体讨论积分方程(1)的解。1 先考虑齐 次方程（即 F(x)=0）的情形。若 2，则唯一解是平凡解 y(x)=0。当 =2 时，代数方程 组只给 出一个条件 c1=3c
18、2。这时，解是y(x)=c1(1-x)式中 c1=3c2=6c2 是任意常数，1-x 是对应于特征值 =2 的特征函数。当 =-2 时，解是y(x)=c2(1-3x)式中 c2=c1=-2c1 是任意常数，1-3x 是对应于 =-2 的特征函数 。方程(2)表明原 积分方程(1)的任一解表示为如下形式：y(x)=F(x)+c3(1-x)+c4(1-3x)式中 ， 。于是推出原积分方程(1)的任一解可以用特征函数的)(213)124c某一线性组合与 F(x)的和来表达。2 在非齐次的情形（即 F(x)不恒等于零）下，若 2，则积分方程(1)存在唯一解。当 =2 时，积分方程(1) 没有解，除非在
19、区间0,1 上 F(x)正交于 =2 所对应的特征函数 1-x*,即* 在下一段会看到，这个情形是原 积分方程中核 K(x,)=1-3x 的对称性的一个推论。0d)(10xF在此条件下，再利用 c1-3c2= ,给出积分方程(1)的解。10)(dxF)1()(210cy式中 c1=6c2 是任意常数，因此，这时存在无穷多个解。类似地，当 =-2 时，积分方程(1)没有解，除非在区 间0,1上 F(x)正交于 1-3x,即100d)(3(xF这时存在如下的无穷多个解： )31()(2)(210cxy式中 c2=-2c1 是任意常数。四、希尔伯特-施密特的理论当齐次 Fr 方程的核 K(x,)不可
20、分离，特别，K(x,)对于 x 和 x,分别由不同的分析表达式给定时，其特征值一般有无 穷多个 n(n=1,2,),每个特征值对应的特征函数除一个乘数外是确定的；在例外的情形，一个给定的特征值 k 可以 对应于两个或更多个独立的特征函数。本段将介绍这种特征函数的某些性质。具有对 称核的 Fr 方程的性质 如果在实核中交换它的变量时，它本身的 值不变，这个核就叫做对称核。1 具有对称核的 齐次 Fr 方程的特征函数系是正交的。2 具有实对 称核的 Fr 方程的特征值都是实数。注意，核不对称的 Fr 方程可以具有虚的特征值。希尔伯特 施密特定理 设 为一平方可积函数，则形如 badxKf )(,)
21、(的函数 f(x),可由对称核齐 次 Fr 方程 bayxy,在a,b上的特征函数 y1(x), y2(x),的线性组合表达，如果特征函数有无穷多个，那末所得的无穷级数在区间a,b 上绝对且一致收敛。施密特公式 考虑非齐次第二类 Fr 方程 badyxKF)(,)(式中 K(x,)是在定 义区间 上平方可积的对称核，并假定在正方形 k0(axb，ab）上是两变量 x, 的连续函数,F(x )是已知的一致连续函数，y(x)是未知函数，而 是参数，则有施密特公式1)(nnxy（n ，即 不是特征值） (1)右边的级数是绝对且一致收敛的，式中 Fn 由下式决定：baban dydxy)()(2 （n
22、=1,2,） (2)核的展开定理 一个对称核 K(x,)可展开为级数1nn这个级数对任意固定的 ，有0)(),(lim21dxyxKbamnn具有非 对称核的积分方程 设核 K(x,)不是对称的，但可表为如下形式K(x,)=r()G(x,)式中 r()在（a,b）内连续且不变号，而 G(x,)是对称的，这时有以下性质：1 对应于不同特征 值 m 和 n 的两个特征函数 ym(x)和 yn(x)在a,b上关于权函数 r(x)是正交的，即 0)(bandr2 K(x,)的特征值都是实数。3 若非齐次第二 类 Fr 方程有一个解，则这个解由(1)给出，并以权函数 r(x)去乘(2)式两边所包含的被积
23、函数。具有埃尔米特核的积分方程 设核 K(x,)为一复核，如果 _),(则称 K(x,)为 埃尔米特核，式中 ),(表示 K(x,)的共轭复函数。具有埃尔米特核的积分方程有以下性质：1 对应于不同特征 值 m 和 n 的两个特征函数 ym(x)和 yn(x)在a,b上是按埃尔米特意义正交的：0)(bandxy2 在a,b 上与埃尔米特核相联系的特征值都是实 数。3 设特征函数按埃 尔米特意 义是标准化的：nmxybanm,1)(如果非齐次第二类 Fr 方程有一个解，那末这个解由(1)给出，并且(2)式改为（n=1,2,）banbann dxFydF)()(具有反对称核的积分方程 设 K(x,)
24、满足条件K(,x)=K(x,)则称 K(x,)为 反对称核，这时 iK(x,)是埃尔米特核。因此，具有反对称核的积分方程 badyy,如果以 i 代替 ，则得到具有埃尔米特核的积分方程 baxiFx)(,)(由此可见，具有反对称核的积分方程必有特征值，而且都是纯虚数。伴随核与自伴随核 设 u(x)是一复核 K(x,)(它不一定是埃 尔米特核)对应于特征值 的一个特征函数，v (x)是核 对应于特征值 的一个特征函数，若 ，则,K badvu0)这里 称为 K(x,)的伴随核。如果 = K(x,)，那么 K(x,)称为自伴随核，显然实对),(,(称核与埃尔米特核都是自伴随核。五、第二类 Fr 方
25、程的逐次逼近法与诺伊曼级数解逐次逼近法 在某种情形下，第二类 Fr 方程可用逐次逼近法来解。 为此，设方程(1)badyxKFxy)(,)(的解可用 的幂级数来表达：y(x)=y0(x)+y1(x)+y2(x)2+ (2)如果级数(2)在区间a,b 上关于 x 是一致收敛的，那末把它代入(1)中，可逐项积分，比 较 的系数就得到确定 yn(x)的递推公式y0(x)=F(x), (n=1,2,) (3)bann dK)(,()(1式中 yn(x) (n=1,2,)都是连续 函数。若 充分小， 则级数(2)关于 x 绝对且一致收敛，于是 级数(2)是连续函数并且是 积分方程(1) 的解。叠核 预解
26、核 诺伊曼级数解 设 K(x,)为核，经递推公式K1(x,)=K(x,), (n=2,3,4,) (4)bann d11,),产生的 Kn(x,)称为已知核 K(x,)的 n 次叠核。它满足下面公式baqpqpx11),),(式中 p,q 为任意正整数。由于 F(x)和 K(x,)分别在a,b上和 k0(axb，ab）上连续，所以各有极大值 m 和 M：， mF)MK|),(|当 时，级数 在 k0 内绝对 且一致收敛，记作)(1M01,(nn(5)01),();,nnxxR如果用自由项 F(x)来表达 yn(x),则由(3),(4)推出 bandFK)(,)并把它代入级数(2)得到(6)01
27、)(,()(nbanxxFy 因为级数(5)在 k0 内一致收敛，所以 对a,b上任一固定值 x,它在区间内关于 一致收敛，故得积分方程(1)的解， (7)adRxy)(;,()( )(1abM式中不依赖于自由项 F()的函数 R(x, ;)称为核的（或 Fr 方程的）预解核，级数(5)称为诺伊曼级数。存在性与唯一性定理 如果把级数(5) 改写为 0 0112 ),(),(),(),(),(),(n nbandKxxKxKxR ;由(5)上式化为 badRxR11),(),),(),(;改变符号可写为 bayxKyy , ;因此，当把方程(1)中 F(x)换为 K(x,y)时，上式表明存在预解
28、核 R(看作两个变量 x,y 与参数 的函数)是方程 (1)的唯一解。例 举例说明预解核的实际算法。设积分方程(1)中K(x,)=13x由公式(4)算出它的各次叠核： xdxK3)(21)1)3(),(102 )31(4),(),(),(10123 xdKxxK所以 ，从此容易推出 （n3）,于是有 413K42n 24214321 )16()6( KR 即)(3)(2)1(4);,(2 xxx )(值得注意的是，由此式可以给出一切 值（= 2 除外）的 预解核，但相应的诺伊曼级数只当时才收敛。2六、弗雷德霍姆的理论Fr 方母 预解核 R(x,;)可以用关于 的两个幂级数之比来表达，这两个级数
29、对一切 值都是收敛的。若预解核表成(1)(;,);,(xDxR式中(2),(!2,1),();,( xKxD!(3)c()称为 Fr 分母，它与变量 x, 无关。式中系数 cn 与函数 Dn(x,)可由下列递推公式逐次算出：badc,)(1 badKx 1111 ),(,(),( D12 K22)banndxc,)(1 bannn dxxc 11),(),(,(),( 那末方程 badyFy),的解可将（1）代入上段（7）式中得到，其形式为（4）baFxDx)(;,()()当 K(x,)是可分离 时，这个结果与本节三中所得到的解一致，这时级数(2)与(3) 都只包含有限项。更一般地，若级数(2
30、)与(3)之比用关于 的幂级数(由除法或其他方法)来表达，结果将化为上段的(6)式的 级数形式，而它只对充分小的 值收敛;但是(4) 中最后一项的分子和分)1母的级数展开式对 的一切值都收敛。分母( )只当 取一特征值时等于零，在这个情形下，Fr 方程或者无解或者有无穷多个解，并且(4) 不再成立。()的零点与 Fr 方程 应用存在性与唯一性定理，有以下结论：1 若 不是 ()的零点，则对任意的 F(x),(4)式是 Fr 方程的唯一解。2 函数( )的一切零点都是预解核的极点。3 若 c 是( )的零点， 则齐次方程 bacdyxKxy)(,)(有非零解。于是( )的一切零点都是上面积分方程
31、的特征值，就是说，这时齐次方程(5)bayxy)(,)(有非零解。若 不是( )的零点，则由 1o，非齐次 Fr 方程对任意的 F(x)有唯一解，特 别，这时上面齐次方程只有零解，即若 是( )的零点， 则它是特征值，若 不是( )的零点，则它不是特征值，于是得到4 积分方程的特征 值都是 ()的零点。5 在 平面的任何有限区域内只有有限个特征值。转置积 分方程 形如(6)badyxKxGy)(,)(的方程叫做 Fr 方程 baF,的转置积分方程，它的相应的齐次方程为(7)badyxxy)(,)(这个方程的核记作K0(x,)=K(, x)转置积分方程具有以下性质：1 齐次方程 (5)与它的转置方程(7)或同时仅有零解，或同时有非零解。2 齐次方程 (5)与它的转置方程(7)有相同个数的线 性无关的解。3 若 是特征 值， 则非齐次 Fr 方程可解的充分必要条件是：自由项 F(x)满足条件0)(baxF式中 是转置方程的任何特征函数，即齐次方程(7)的任何解。若这个条件满足，则 Fr 方程)(x有无穷多个解，而一切这样的解取形式 rjjxcxy10)()(式中 y0(x)为 Fr 方程的任意特解， 为方程 (5)的 r 个非平凡的线性无关的解，r,21c1,c2,c r为任意常数。应当指出，上式结果与 n 个变量的 n 个线性代数方程组的关于解的存在和唯一性的对应结果完全类似。
