1、1线性代数与解析几何练习题行列式部分一填空题：1若排列 1274 56 9 是偶排列，则ik 3, 8ki2已知 是五阶行列式中的一项，且带正号，其中（ 则kjia5413251 )ji 3, , 3设 是 n 阶 可逆阵，且 ，则 ，BA, 5A 52 , 5)(63 nTA（ 为常数） 51kk4已知41032D用 表示 D 的元素 的代数余子式，则 ，ijAija 37 2321DA，行列式 3232137 232311A5设有四阶矩阵 ，其中 均),(,),( 4,324,2 BA 4,32,为 4 维列向量，且已知行列式 ，则行列式1 0|)|(8 BA6设xxf321)(则 160
2、)4(f7设20125084154215432 33 xxx上述方程的解 , x8设 A 是 阶方阵，且 A 的行列式 ，而 是 A 的伴随矩阵，则n0a* *1a9若齐次线性方程组 只有零解，则 应满足 条件。0321x 1二计算题：1已知 5 阶行列式2705134254求 和 ，其中 是元素 的代数余子式。43241A5ijAija解： 0)( 27)(45432418945A2计算行列式 。917302D解： 140952140521 2809140523设 是 阶方阵， ，且 ，求 。AnIATIA3解： TTT IAIAIA)()( I00I4设 是 阶实对称矩阵， ，若 ，求 。
3、n02)0()nkrIA3解： 相似于对角阵，AA，是 实 对 称 矩 阵而 r(A) = k , 所以 。2002和的 特 征 值 为由 重 的 特 征 值是 k2对于矩阵 A+3 I , 有一个 ，以及一个 ，1重 的 特 征 值k 3重 的 特 征 值nkn35计算 ),21,(321321 niaxaxaDinn 解： nnaxxaxxD 001321 nnnkk axax 00)( 3221nkknkaxax2211 )()(矩阵部分一填空题：41设三阶方阵 A，B 满足 ，且 ，则BA61 71430。 1023)(6 1I2设 ，其中 ，则矩阵 A 的nnnbabaA 21222
4、1 ),32,1(0, nibii 秩= 1 .3设 A 是 的矩阵，且 A 的秩为 2，而 ，则 （34 3012B 2)(ABr）)(,01rB可 逆 ，4已知 a=1 , 2 , 3 , b= , 设 A= ，则312baT 132 11nA（ ）baAbaTnTTnT 1)(，5设矩阵10,3041I则逆矩阵 1 )2(21IA6设 ，B 为三阶非零矩阵，且 AB=O ，则134t 3t) 02)(1)(;3)(0(t ArrrAB又7设四阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 的秩为 0 。*A58设 A，B 均为 阶矩阵， ，则n3,2BA 32 211*nBA9设 A 是三阶方阵，
5、 是 A 的伴随矩阵， ，则 （* 60)(*1）。16)2(|53| 3110设 A ，C 分别为 阶和 阶的可逆矩阵，则分块矩阵 的逆矩阵rs BCAX0 0 111BX11设 阶方阵 A 满足方程 ，则 A 的逆矩阵 （n0232I )3(21IA）I)3(12设 ，而 为正整数，则1022n 021n)(12nAA13设 A ，B 是 阶矩阵，且 AB=A+B ，则 )(1IBIA（ ）BII )()(二选择题：1设 阶矩阵 A ，B ，C 满足关系式 ABC=E ，其中 E 是 阶单位矩阵，则必有（ D ）n n（A）ACB=E （B）CBA=E （C）BAC=E （D）BCA=E2
6、设 A 是 阶方阵 ， 是 A 的伴随矩阵，又 为常数，且 ，则必有)3(n*k1,0k=（ B ）*)(k*1*1* )()()( AkkCknn 3设 A 是 阶可逆矩阵， 是 A 的伴随矩阵，则有（ A ）n 1*1* )()()()( DBn4设6 10,10 ,21 1312313232311PP aaBaA则必有（ C ）BA21)( BAPDBAPCBA122112 )()()(5设 A ，B 均为 阶方阵，则必有（ D ）n（A） （B）（C） （D）11)( 6.设 维向量 ,矩阵 ,其中 为 阶n)20,2( TTIIA2,In单位矩阵,则 ( C )AB(A) 0 (B)
7、 I (C) I (D) TI7.设 A 是 阶可逆矩阵 ， 是 A 的伴随矩阵,则( C )n)2(n*(A) (B) 1*)( An1*(C) (D)n2 2)(8.设 阶矩阵 ,若矩阵 A 的秩为 ,则 必为( B )3(n11 aaaA1na(A) 1 (B) (C) 1 (D)n1 1n9.设 均为 阶可逆矩阵,则 等于( C ),BA1)(BA(A) (B) (C) (D)1 1)(三计算题：1已知 ，求 （ 是自然数）10AnA7解：由归纳法， 102)(nAn2已知 AP=PB ，其中， 10B120P求： 及 。A5解： 1421P1601BAPBA1515)(3已知 阶方阵
8、n1022 A求 A 中所有元素的代数余子式之和。解： 可 逆210101 A 1)(12 21,1* nAnjii3已知矩阵 满足： ，其中 ，求矩阵 。B, B32104AB解： IA1)2(2 96885设矩阵 ，满足 其中BA, ,82*IBA104是 A 的伴随矩阵，求矩阵 B 。*解： 20846)(4)(4 4)()82(111 11AIIAB IBAIII6已知 ，且 ，其中 为三阶单位矩阵，求矩阵 。10IB2 B解： 012101AB7设 阶方阵 ，求 。naa 1)(Ar解： 100111)()( aananaaA 故 时， ； 时， r(A)=n-1; 当 a1 且 a
9、1-n 时, r(A)=n1)(Arn四 证明题：1设 A 是 阶非零方阵， 是 A 的伴随矩阵， 是 A 的转置矩阵，当 时，证n*T TA*明 。 0证明： 02* ijijijijT aa9另证（反证法）： 1)(0nAr若 00 )( * ArATT与题设矛盾。2设 是 阶方阵，若 ，证明： （其中 是 A 的伴随矩阵）n0证明：3设 ， 为 的代数余子式，且 ，4)(ijaAijija 0,)432,1(1ajiaijij求证： 1证明： 10)1()( 424* AAIAAaATTijji 或 041241 jjjj4用矩阵秩和向量组秩的关系证明 )(,min)(BrBr证明：设
10、，kmMA,nkB, ).(.).( 112121211221 kiinkiikiknknk bAbAbbB即 的列皆由 的列线性表示，故A),(rB类似可证 的行皆由 的行线行表示，所以 。BA5设 为 矩阵， 为 矩阵，若 ，证明nmkn0nBr)(证明： 0.).().( 2121 kkBA所以 ，即 为齐次线性方程组 的解，01AB, Ax因此可由 的基础解系线性表示，所以 ，即 。x rnrk).(21 nBr)(6设 A 是 阶方阵， 是 A 的伴随矩阵，证明：n*10秩 01*)(nA1)(nAR证明：(1) 可逆，而 可逆，nR)(*,|从 而 nAR)(*（2） ，|1A 1
11、)()(0| *I又 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零， ，从而1*AR)*（3） 的所有 n-1 阶子式全为零。故 ，从而 。nR)( *0(AR空间向量与线性方程组部分一填空题：1. 设 则,2)(cba )()(acba4)(2cb2. 点 在平面 上的投影点是4,1043zyx )72,1 （ 将其代入 可得 ）tzytx432设 2z4t4过原点及点 且与平面 垂直的平面方程是),6( 024yx 032zyx5 平面上的直线 绕 轴旋转一周所得旋转曲面方程为xozz3 z6曲线 在 平面上的投影曲线为22)(rzyxoy0422zryx7已知向量组 ，,)654,3(,)543
12、,(,43,12)7,65(4则该向量组的秩 . 7设 阶矩阵 的各行元素之和均为零，且 的秩为 ，则线性方程组 的通nAA1n0AX解为 )()1,( RkkXT8已知向量组 的秩为 2，则),540(,)0,2,23t. 3t9若线性方程组1141433211ax有解，则常数 应、满足条件 。4321,a0432（ ）432101aA 432110a10若向量组（ ）可由向量组（ ）线性表示，则秩（ ） 秩（ ）。 二选择题1设直线 ，平面 ，则（ B ）0312:zyxL 024:zyx（A） 与 平行 （B） 与 垂直 （C） 在 上 （D） 与 斜交LLL2已知 是非齐次线性方程 的
13、两个不同的解， 是对应的齐次线性方21,bAX21,程组 的基础解系， 为任意常数，则方程组 的通解必是（ B ）0X21,kbAX)(A)(2121k)(B2)(1121k)(C)(212121)(D)(121213. 使 ， 都是线性方程组 的解，只要系数 为（ A ）20110AX)(A)(B0)(C102)(D10244已知向量组 线性无关，则向量组（ C ）线性无关4321,)( 121)(B14321 , C43, D125设 是 矩阵， 是非齐次线性方程组 所对应的齐次线性方程组，Anm0AXbAX则下列结论正确的是（ D ）若 仅有零解，则 有唯一解)(0Xb若 有非零解，则
14、有无穷多个解B若 有无穷多个解，则 仅有零解)(CbA0AX若 有无穷多个解，则 有非零解DX6设有向量组 ， ， ， ，4,212,13214,7030,2则该向量组的极大线性无关组是（ B ）0,5125)(A3)(421,)(C521,)(D5421,7非齐次线性方程组 中未知量个数为 ，方程个数为 ，系数矩阵 的秩为 ，bAXnmAr则（ A ）时，方程组 有解 时，方程组 有唯一解)(mr)(BrbX时，方程组 有唯一解 时，方程组 有无穷多解CnbDn8若向量组 线性无关； 线性相关，则（ C ）,必可由 线性表示 必不可由 线性表示 )(A)(B,必可由 线性表示 必不可由 线性
15、表示 C, D9设向量 可由向量组 线性表示，但不能由向量组 ：m,21 )(线性表示，记向量组 ： ，则（ B ）121,m (),121m不能由 线性表示，也不能由 线性表示)(A)(不能由 线性表示，但可由 线性表示Bm()可由 线性表示，也可由 线性表示)(C)(可由 线性表示，但不能由 线性表示Dm()三计算题1求点 向直线 所作的垂线方程。)1,32(12zyx13解： nzmylx132设 所 求 直 线 为，得出lnl ,021求 出由 51342zyx2求异面直线 与 的距离。2153zyx296tytx解：7,21vPd3已知方程组 的解空间的维数为 2，求方程组的通解。0
16、4213xcx解： 22)1()(10cccA)(2)(2r10214321 kXx通 解 为4设 ，求一个秩为 2 的 3 阶矩阵 使 。632AB0A解： 012 100X，的 基 础 解 系 为5设三元非齐次方程组 的系数矩阵 的秩为 2，且它的三个解向量 满bAXA32,1足 求 的通解。,),0(,)1,3(3121 TT bX解：14 10 )1,0(2 ),()()(* 31*3121kX TT6 取何值时，线性方程组23321x有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。解： )1(3)(20012213 A，方程组有唯一解时且当 ，方程组无解时当 ，方程组有无穷
17、多解 时当 1 100221kX7已知 及,),(,)531,(,)320,(21a )8,42(4a，问：5b（1） 为何值时， 不能由 线性表示。a,4321,（2） 为何值时， 有 的唯一线性表示？并写出该表示式。解： 58153342104321 ab01021ab，不能线性表示时且当 1ba15，时当 1a 32112abab四证明题1 已知 ，证明：向量 共面。0cc,证明：等式两边点乘向量 c , 得到 ，所以向量 a , b , c 共面。0)(2证明：三个平面 经过同一条直线的充要条件是yxzybzcx,。12acba证明：三平面经过同一条直线 有非零解0zaybxc 01a
18、bc，0122abca 122ac即3 已知 ，其中 ，TTT ),(,),(,),( 313212321 02ii三条直线 ，证明三条直线相交与一点的充要条件为icyxLiii线性无关， 线性相关。21, 321,证明：三条直线交于一点 有唯一解31221cybxa 2)(Ar其中 ),(,)(221A线 性 相 关 。线 性 无 关 31,4已知向量组（） ；（） ；（） 如果各2, 4321,5321,向量组的秩分别为 （） （）= ， （）= 。RR证明：向量组 的秩为 。45321,证明：因为 r (I) = r (II) = 3 ，所以 3210)()()( 04343242141
19、 5 kkkk 得 ：代 入设由于 线性无关，得532,16，所以 r (III) = 400432143241 kkk4 设向量组 是齐次线性方程组 的一个基础解系，向量 不是方程t,21 AX组 的解，即 。试证明：向量组 线性无AX0A t,21关。证明：设 0)()(1ttkk两边左乘 A ，利用 01Atii 001tik从而有 线性无关 ttiik,211 21kt相似矩阵及二次型部分一填空题1） 为 3 阶矩阵，若 有特征值 ，则AA2,1 2)1( A2）设 为 阶矩阵， ， 为 的伴随矩阵， 为 阶单位阵，若 有特征值 ，n0*EnA则 必有特征值 ； 的特征值 。E*)(
20、122 12 3） 为 阶矩阵 的元素全为 1，则 的 个特征值是 n , 0 , 0 , ，0。nAA4） 二次型 是正定的，则 的取值范围是321232321),( xtxxf t。 t5）n 阶矩阵 具有 n 个线性无关的特征向量是 与对角阵相似的 充要 条件。6）n 阶矩阵 具有 n 个不同的特征值是 与对角阵相似的 充分 条件。AA7）设 为 3 阶矩阵，已知 均不可逆，则 一定相似于矩阵II3,A。31178）已知 相似，则 。12,102yBxA 1, 0yxyxtrB2二选择题1设 是非奇异矩阵 A的一个特征值，则矩阵 12)3(A有一特征值等于（ B ）2（ ） （ ） （
21、） （ D）A34B43C2142若 是矩阵 的对应 的特征向量，则矩阵 对应 的特征向量（ A ）0P10（ ） （ ） （ ） （ ）1P)(1AP3设 是 的实矩阵， ，则方程组 只有零解是 正BnmTnxX),21BXBT定矩阵的（ C ）条件。（ ）充分 （ ）必要 （ ）充要 （ D）既非充分也非必要AC三计算题1 已知 是 的特征向量，其中 ，求 及 所对应的特Tk1,1A21Ak征值。解: 1A，解出 k = 1 或 k = -212k1, 4Tk2 设 是 阶方阵，2 ，4 ，6 ，2n 是 的 个特征值， 是 阶单位阵，求AnAnIn。I3解: 13)52(3)2,64,(
22、3,211 nPnPdiagIA183 已知三阶实对称矩阵 的三个特征值为 1，1，-2，且 是对应 的特征向量，AT)1,(2求矩阵 。解: 设特征值 对应的特征向量是 ，由 ，得21TxX),(3210),(X，解此线性方程组，求出基础解系0321x T)1,231621P取 012TPA则4 已知三阶矩阵 相似于对角阵 ，试求 。2)()(IArIr解: 1)2,(),1()2,1()( 1 IdiagPIdiagPrIPdiagrIAr同理 3所以 4)()(IrI5 已知二次型 的秩为 2 ，3231212321 65xxcxf （1） 求参数 及二次型对应矩阵的特征值。c（2） 写
23、出标准形及所用的正交变换矩阵。解:(1) ,0|)(cAr9,4,0| 321IA标准形为 , 正交变换矩阵为 )2( 2394yf 31062166 设 4 阶方阵 满足条件 ，求方阵 的伴随矩阵 的A,0AIAIT *A一个特征值。解: 是矩阵 A 的一个特征值。3303II4162AA且又1934*AA的 一 个 特 征 值 为四证明题：1 设 为 实矩阵， 为 阶实对称矩阵且正定，证明： 正定的充要条件是BnmmABT。r)(证明： 0)(,0XABxATT正 定 nrBX0只 有 零 解T)()(是 实 对 称 矩 阵 ，显 然 0BX只 有 零 解 ， 从 而 正 定 。正 定 A
24、ABXATT,0)(2 已知 为幂零矩阵（ ），证明：p 1I证明： ),21(0niip特 征 值是的 特 征 值是 IAAii 1)(1niiIA3 设 维向量 线性无关，且与 都正交，证明： 线性相关。n121,n 21,21,证明：若 ,则 线性无关，而 线性相关01, ,n可由 线性表示，且表示法唯一2121,n设 ,则1nkk 1212 nn kk,0),(),( 2212 nnn 0从而 线性相关。4 设 为 阶矩阵且正定， 为实 维列向量，当 时，有An,21 ji证明： 线性无关。0jTi证明：令 ，两边左乘 得：021nkk ),21(niATi1TiTiTi AA200,0iTijTi AkAji 上 式 变 为，时),21(nii 且正 定 ，又 线 性 无 关 。即i nk),2,1(0
