1、华中师范大学 2011 2012 学 年第 二 学期期末考试试卷（B 卷）课程名称 泛函分析 课程编号 83410016 任课教师 彭双阶 题型 判断 填空 简述 计算 证明 总分分值 15 20 16 12 37 100得分得分 评阅人 一、判断题：（判断下列论断正确与否，对的打“” ，错的打“” 。共五小题，每小题 3 分，共 15 分）1， 完备的距离空间是第二类型集。 （ ）2， 距离空间中的闭集可表示成可列个开集的交 （ ）3， 全有界集是有界且可分的。 （ ）4， 设 为内积空间 X 上的子集，则一定有 。 （ MM） 5， 设 为 Banach 空间， 是从 到 的算子，则 有界
2、的充要条件是 连续的。 （ 12,ET1E2TT）院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： -密 -封 -线 -第 1 页(共 3 页)得分 评阅人二、填空题：（共 10 个空，每空 2 分，共 20 分）1. 设 是从 到自身的映射，如果 使得 T,X则称 是一个压缩映射。T2. 2，设 是距离空间的一个集族，如果 ，则称CJF集族 具有有限交性质。3，设 X，Y 是赋范线性空间， T 为从 X 映到 Y 上的线性算子，称集合 = TG为 T 的图像。如果 T 的图像是 ，则称算子 T 为 X 到 Y 上的闭算子。4，赋范线性空间 E 的范数满足 ，则可以在 E 中定义内积使其成为内积
3、空间。5，给定距离空间 ， 。若 ，都存在 的,XM M一个 ，则称集合 是全有界的。M6，集合 准紧的充分必要条件是 A 具有下列性质：(,)1)PALab(i) 集合 A 是有界的，即 ；（ii） 。得分 评阅人 三、简述题：（共 3 小，第 1，2 两小题各 5 分，第 3小题 6 分，共 16 分）1， 叙述不动点定理。2， 叙述共鸣定理3，集合的稠密性的定义以及三个等价定义。得分 评阅人四、计算题：（共 2 小题，每题 6 分，共 12 分）1， 设 ，定义算子 , ，1(,),XLabYC:TXY()()()xafxTfftd求 的范数。T-密 -封 -线 -第 2 页(共 3 页
4、)2，设1()0ft0tt请构造序列 使得()nft1(,)()0nnLft 得分 评阅人 五、证明题：（共四小题，前 3 个小题各 9 分，最后一题 10 分，共 37 分）1， 设 是以 为距离的紧空间， 是从 到它自身的映射，若对任意的 ，当 时有XTX,xyXxy，证明： 有唯一的不动点。(,)(,)Txy2，设 X，Y 是赋范线性空间， 是线性的，证明： 是单射的充要条件是 :FXYFker()0F3，设 和 是 Bananch 空间，证明：乘积空间 赋有范数 , XYXY(,)XYxyy是 Banach 空间。(,)xy-密 -封 -线 -第 3 页(共 3 页)4，设 和 是 Banach 空间， 是满射。证明：对 的任何稠密子集 有XY(,)TXYXD()TY
