1、- 1 -绝密启用前 试卷类型：A 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
2、内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。高.考.资.源.网参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高 13vShsh一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.每小题给出得四个选项中，只有一项十符合题目要求得. 1.已知全集 U=R，则正确表示集合 M= 1，0，1 和 N= x |x +x=0 关系的韦恩2（Ve
3、nn）图是 【答案】B【解析】由 N= x |x +x=0 得 ,选 B.21,0NM2.下列 n 的取值中，使 =1(i 是虚数单位）的是 niA.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5- 2 -【答案】C【解析】因为 ,故选 C. 41i3.已知平面向量 a= ，b= ， 则向量 x（ ） 2,x（ ） abA 平行于 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 y【答案】【解析】 ,由 及向量的性质可知,C 正确.ab2(0,1)x204.若函数 是函数 的反函数，且 ，则 yf 1xya（ ， 且 ） (2)1f()fxA B C
4、D2 x2logx1logx【答案】A【解析】函数 的反函数是 ,又 ,即 ,xya（ 0， 且 ） ()logafx(2)1flog2a所以, ,故 ,选 A.22()logf5.已知等比数列 的公比为正数，且 =2 ， =1，则 = n3a9251A. B. C. D.2 212【答案】B【解析】设公比为 ,由已知得 ,即 ,因为等比数列 的公比为q28411aqa2qna正数，所以 ,故 ,选 B2216.给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.
5、w.w.k.s.5.u.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 - 3 -【答案】D【解析】错, 正确, 错, 正确.故选 D7.已知 中， 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= 且 ，则 b= ABC, 2675AoA.2 B4 C4 D2323【答案】A【解析】 000026sini75sin(5)sinco45sinco34由 a=c= 可知, ,所以 ,260C03B1i2由正弦定理得 ,故选 A26sin4abA8.函数 的单调递增区间是 xexf)3()A. B.(0,3) C.(1,4
6、) D. 2,(),2(【答案】D【解析】 ,令 ,解得 ,故选 D()3()()xxxfxeee()0f2x9函数 是 1)4cos2yA最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 2【答案】A【解析】因为 为奇函数, ,所以选2cos()1cossin4yxxx2TA.10广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以 A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A. B.21 C.22 D.23 20.6-
7、4 -【答案】B【解析】由题意知,所有可能路线有 6 种: , , ,ACDEABDCEABDE, , , BC其中, 路线 的距离最短, 最短路线距离等于 ,49621故选 B.二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 （一）必做题（1113 题） 11.某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： 队员 i 1 2 3 4 5 6三分球个数 aaa图 1 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的 s= (注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”)图 1- 5 -【
8、答案】 ,6i126a【解析】顺为是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填 ，输出的 s= .i126a12某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（15 号，610号，196200 号）.若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取 人. 图 2【答案】37, 20【解析】由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22，所以第 6 组抽出的号码为 27，第
9、 7 组抽出的号码为 32，第 8 组抽出的号码为 37.40 岁以下年龄段的职工数为 ,则应抽取的人数为 人.20.1401213以点（2， ）为圆心且与直线 相切的圆的方程是 .16xy【答案】 225()()xy【解析】将直线 化为 ,圆的半径 ,所以圆的方程660xy|216|5r为 225()(1)xy(二)选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）若直线 （t 为参数）与直线 垂直，123xy41xky则常数 = .k【答案】 6【解析】将 化为普通方程为 ,斜率 ,123xty372yx132k- 6 -当 时,直线 的斜率 ,由 得 ;0k4
10、1xky24k12341kk6当 时,直线 与直线 不垂直.37x综上可知, .6k15.(几何证明选讲选做题)如图 3，点 A、B、C 是圆 O 上的点，且 AB=4， ，30ACBo则圆 O 的面积等于 . 图 3 【答案】 16【解析】连结 AO,OB,因为 ,所以 , 为等边三角形,故圆 O30ACBo60AOBo的半径 ,圆 O 的面积 . 4rA21Sr三、解答题，本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分 12 分）已知向量 与 互相垂直，其中)2,(sina)cos,1(b)2,0(（1）求 和 的值co（2）若 ， ,求 的
11、值s53)s(502cos【解析】 （） , ,即abvQingin2cs又 , ,即 ,2sinco1224cos1cs54i又 ,5(0,)si(2) 5co(cosin)5cos2in35cos, ,即sin2221s1- 7 -又 , 022cos17.（本小题满分 13 分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH, 下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正( 主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左) 视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线 BD 平面 PEG【解析】(1)侧视图同正视图,如
12、下图所示.（）该安全标识墩的体积为： PEFGHABCDEFGHV22140603206432cm（）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO.由正四棱锥的性质可知, 平面 EFGH , OO- 8 -又 平面 PEGEGHF又 平面 PEG；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m BDP18.（本小题满分 13 分）随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图 7.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高
13、为 176cm 的同学被抽中的概率.【解析】 （1）由茎叶图可知：甲班身高集中于 之间，而乙班身高集中于16079:之间。因此乙班平均身高高于甲班;708:(2) 56213818270x 甲班的样本方差为 2222(70)61370615721701998（3）设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A；从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有：（181，173） - 9 -（181，176）（181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）(178, 176) （176，173）共 10 个基本事
14、件，而事件 A 含有 4 个基本事件；42105PA19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 G 的中心在坐标原点 ,长轴在 轴上,离心率为 ,两个焦点分别为 和 ,椭圆x231F2G 上一点到 和 的距离之和为 12.圆 : 的圆心为1F2kC042ykxy)(Rk点 .kA(1)求椭圆 G 的方程(2)求 的面积21Fk(3)问是否存在圆 包围椭圆 G?请说明理由.kC【解析】 （1）设椭圆 G 的方程为： （ ）半焦距为 c;21xyab0ab则 , 解得 , 23ac63c223679c所求椭圆 G 的方程为： . 2169xy(2 )点 的坐标为KA,121232FSV（3）若 ，由
15、可知点（6，0）在圆 外，0k6015kkf kC若 ，由 可知点（-6，0）在圆 外；2()不论 K 为何值圆 都不能包围椭圆 G.kC20.（本小题满分 14 分）已知点（1， ）是函数 且 ）的图象上一点，等比数列 的前 n3,0()axf 1a项和为 ,数列 的首项为 c，且前 n 项和 满足 = +cnf)(nbnS1nS- 10 -（n 2）.1S（1）求数列 和 的通项公式；nab（2）若数列 前 n 项和为 ，问 的最小正整数 n 是多少?1nnT2091【解析】 （1） , 3faQ3xf, ,11fc21fcfc29.3 7af又数列 成等比数列， ，所以 ；n213418
16、3ac1又公比 ，所以 ；213aq12nnn*N111nnnnSSSSQ2又 , , ；0b数列 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列， ， n nn2S当 ， ；222nSn( )；1nb*N（2） 12341nTbbL 11357(2)nK52721nK；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1221n由 得 ，满足 的最小正整数为 112.09nT01029nT21.（本小题满分 14 分）- 11 -已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行,且 在 =1 处取得最)(xgy2yx)(xgy小值 m1(m ).设函数0xgf)(1)若曲线 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的
17、最小值为 ,求 m 的值)(xfy(2) 如何取值时,函数 存在零点,并求出零点.(Rkkfy)(【解析】 （1）设 ，则 ；2gxabc2gxab又 的图像与直线 平行 y1a又 在 取极小值， ， x1122， ；gabcmc， 设xf,oPxy则 222000PQy220mx；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 24m2m（2）由 ，10yfxkx得 2*当 时，方程 有一解 ，函数 有一零点 ；1k*2xyfxk2mx当 时，方程 有二解 ，若 ， ，410m1函数 有两个零点 ；若 ，yfxk12kkx0，函数 有两个零点 ；1kmyfxk411mkkx当 时，方程 有一解 , , 函数1*40kk- 12 -有一零点 yfxk1xk
