1、工程数学复习题一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是（ A ） BA,nA BBC D11)(11)(2方程组 相容的充分必要条件是( B )，其中 ，3122ax 0ia)3,(iA B0321a 0321aC D 3下列命题中不正确的是（D ） AA 与 有相同的特征多项式B若 是 A 的特征值，则 的非零解向量必是 A 对应于 的特征向OXAI）（ 量C若 =0 是 A 的一个特征值，则 必有非零解DA 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量4若事件 与 互斥，则下列等式中正确的是（ A ） BA BPP()()PA()()1C D B5设
2、是来自正态总体 的样本，则检验假设 采用统计量nx,21 ),5(N5:0HU =（ C ） A B 55/1xC D nx/16若 是对称矩阵，则等式（ B ）成立AA. B. IA1 AC. D. 17 （ D ） 1543A. B. 7453C. D. 7438若（ A）成立，则 元线性方程组 有唯一解nAXOA. B. r()C. D. 的行向量线性相关9. 若条件（ C ）成立，则随机事件 ， 互为对立事件BA. 或 B. 或ABU0)(AP()1C. 且 D. 且10对来自正态总体 （ 未知）的一个样本 ，记XN(,)2 X123,，则下列各式中（C ）不是统计量31iiXA. B
3、. 31iiXC. D. 312)(iiX312)(ii11设 都是 n 阶方阵，则下列命题正确的是( A )BA,A B 22()BC D若 ，则 或OO12向量组 的秩是（ B ） 732,01,A. 1 B. 3 C. 2 D. 413 元线性方程组 有解的充分必要条件是（A ） nXbA. B. 不是行满秩矩阵)()rAC. D. rn()14. 袋中有 3 个红球，2 个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ D ） A. B. C. D. 561020325915设 是来自正态总体 的样本，则（ C ）是 无偏估计xn12, N(,)A. B. 353
4、21xC. D. 21xx 5二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1设 ，则 的根是 1，-1，2，-2 214Ax0A2设 4 元线性方程组 AX=B 有解且 r（A）=1，那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量3设 互不相容，且 ，则 0 A,P()0()4设随机变量 X B（n，p） ，则 E（X）= np 5若样本 来自总体 ，且 ，则 _x,21 )1,(Nnix1),0(nN6设 均为 3 阶方阵， ，则 8 BA6,3AB13()A7设 为 n 阶方阵，若存在数和非零 n 维向量 ，使得 _ ，XAX则称 为 相应于特征值的特征向量 X8若 ，则 0.
5、3 5.0)(,8.0)(BAP)(ABP9如果随机变量 的期望 ， ，那么 20 2XE92)2(XD10不含未知参数的样本函数称为 统计量 11设 均为 3 阶方阵， ，则 -18 , ,3112设随机变量 ，则 a = 0.3 012.5X13设 为随机变量，已知 ，此时 27 X3)(XDX()214设 是未知参数 的一个无偏估计量，则有 (E三、计算题（每小题 16 分，共 64 分）1设矩阵 ，求 10A1()A解：由矩阵乘法和转置运算得6 分1011032A利用初等行变换得 1103211020101012021即 16 分12()A2求下列线性方程组的通解 1234453681
6、5xx解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即2453362814312015 0500方程组的一般解为： ，其中 ， 是自由未知量 8 分12431x2x4令 ，得方程组的一个特解 042x0()X，方程组的导出组的一般解为：，其中 ， 是自由未知量1243x2x4令 ， ，得导出组的解向量 ；12x04 1(0)X，令 ， ，得导出组的解向量 13 分21所以方程组的通解为：，210XkX12(0)(0)(01)kk，其中 ， 是任意实数 16 分1k23设随机变量 X N（3，4） 求：（1）P（1 X 7） ；（2）使 P（X a）=0.9 成立的常数 a (已知
7、 ， ， ) 8.0)9.0)28.(93.0)(解：（1）P（1 X 7）= =321= = 0.9773 + 0.8413 1 = 0.8186 8 分)1(2（2）因为 P（X a）= = = 0.9)2a)(所以 ，a = 3 + = 5.56 16 分8.38.4从正态总体 N（ ，4）中抽取容量为 625 的样本，计算样本均值得 = 2.5，求 的置 x信度为 99%的置信区间.(已知 )576.29.0u解：已知 ，n = 625，且 5 分2nx1,0(N因为 = 2.5， ， ， x01.95.276.21u10 分06.576.221nu所以置信度为 99%的 的置信区间为
8、：. 16 分7062,94.,2121nuxnux5设矩阵 ，求 50,3BABA1解：利用初等行变换得 10234010321146351614035即 10 分1641A由矩阵乘法得16 分 52018502146351BA6当 取何值时，线性方程组1479632421xx有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1902051214796312210051849100512由此可知当 时，方程组无解。当 时，方程组有解。 7 分此时齐次方程组化为432159xx分别令 及 ，得齐次方程组的一个基础解系340, 1,10 分1054,1921XX令 ，得非齐次
9、方程组的一个特解x34,13 分080由此得原方程组的全部解为（其中 为任意常数） 16 分XkX012k12,7设 ，试求：(1) ；(2) N(,)34P()75(X（已知 ）98.03,97.(8.1解：(1) PX()21()18 分1084357)(2) PXXPX()()()575223216 分).91098某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出 9 个，测得直径平均值为 15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为 ，试找出滚珠直径均值的置信度26.为 0.95 的置信区间 (.).u097516解：由于已知 ，故选取样本函数24 分)1,0(NnxU已知
10、，经计算得1.5x10 分02.36.9滚珠直径均值的置信度为 0.95 的置信区间为 ，又由已知条件9,975.075.0uxux，故此置信区间为 16 分6.1975.0u 132,068.59设矩阵 ，且有 ，求 AB234, AXB解：利用初等行变换得 1203514120130201520151971007即 10 分A1215由矩阵乘法和转置运算得16 分XAB120175205136210求线性方程组2842137421421xx的全部解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形04620312842131700360方程组的一般解为（其中 为自由未知量） 7 分x14235x4令 =0
11、，得到方程的一个特解 . 10 分x4 )01(0X方程组相应的齐方程的一般解为（其中 为自由未知量）43215xx4令 =1，得到方程的一个基础解系 . 13 分x4 )15(1X于是，方程组的全部解为（其中 为任意常数） 16 分10k11设 ，试求: (1) ；(2) )4,3(NX)95(XP)7(P（已知 ）81.8.03(,72.解：(1) )321()3()95( XP8 分5749.)1(2) 27()7(X)23()3XPP16 分08.97.1(12据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度 ，今从这批砖中随)21.,53(NX机地抽取了 9 块，测得抗断强度（单位：kgcm
12、 2）的平均值为 31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（ ） 051967.,u解： 零假设 由于已知 ，故选取样本函数H32:21.4 分UxnN(,)0已知 ，经计算得x312.， 10 分9037.xn3125073由已知条件 ，u097516.u96075故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。 16 分四、证明题（本题 6 分）1设 n 阶矩阵 A 满足 ，则 A 为可逆矩阵0)(I证明： 因为 ，即 )(2I I2所以，A 为可逆矩阵 6 分2设随机事件 , 相互独立，试证： 也相互独立BBA,证明： )(1)()()()( APBPPP 所以 也相互独立证毕 6 分BA,3.设 是 阶对称矩阵，试证： 也是对称矩阵nBA证明： 是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知,BA)(已知 是对称矩阵，故有 ，即, BA,)(由此可知 也是对称矩阵，证毕 6 分BA
