1、新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章12009 年新东方数学+政治+英语的基础班强化班冲刺班+全部word 讲义2009 年数学全套包括：2007 年高数、线性代数、概率的基础班+全部 word 讲义可打印；（新东方数学 2 年没有开基础班了，基础班内容每年差不多）2009 年高数、线性代数、概率的强化班+全部讲义可打印；2009 年高数、线性代数、概率的冲刺班+全部讲义可打印；2009 年英语全套包括：2008 年英语（阅读、写作、翻译、完型）的基础班+全部讲义可打印（09 年基础官方用的是 08 年的基础）2009 年英语（阅读、写作、翻译、完型）的强化班+全部讲义
2、可打印2009 年英语（阅读、写作、翻译、完型）的冲刺班+全部讲义可打印2009 年政治全套包括：2007 年政治基础班的马哲、政经、毛概、邓论、世经+全部讲义2008 年政治基础班的马哲+讲义（09 年基础用的是 08 年的，而 08 基础年只开了任汝芬的哲学，所以把 07 的基础班全程加上去了，政治基础班每年内容都差不多）2009 年政治强化班的马哲、政经、毛概、邓论、世经+全部讲义2009 年政治冲刺班的马哲、政经、毛概、邓论、世经+全部讲义2009 年政治点睛班的马哲、政经、毛概、邓论、世经+pdf 讲义为（任汝芬最后四套题）09 年新东方的数学英语政治的基础班课程我找了好久都没有找到
3、，后来知道 09 年基础班官方都是用往年的资料。有一个卖资料的说有 09 新东方数学的基础班，后来仔细一问才知道用的是 08 年的强化班来代替 09 年的基础班。09 年数学的强化班我有，还要他的 08 数学强化做什么！所以大家买资料一定要先问清楚了，否则只能吃哑巴亏！价格：包快递 3dvd 8G 容量 70 元 货到付款、货到付款、货到付款（请点击圆通快递查询您那里是否能收到快件，否则 ems 全国可达加收 10 元）收到快件后把光盘内容拷贝到自己电脑检查无问题再付款到我工农建行账号上面） 确认没有问题再联系汇款事宜。本人有付费网盘，如果您的网速快可以直接下载，直接下载的价格是 50 元，下
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5、高等数学电子教材主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。根据老师的意见，例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听老师的讲解效果会更好。严禁翻印、在上网任意传播！第六章 多元函数微分学6.1 多元函数的概念、极限与连续性（甲）内容要点一、多元函数的概念1二元函数的定义及其几何意义设 是平面上的一个点集，如果对每个点 ，按照某一对应规则 ，变量DDyxP, f都有一个值与之对应，则称 是变量 ， 的二元函数，记以 ， 称zz yxz,D新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章3为定义域
6、。二元函数 的图形为空间一块曲面，它在 平面上的投影域就是定义域 。yxfz,xyD例如 ， 二元函数的图形为以原点为球心，半径为 1211:2yxD的上半球面，其定义域 就是 平面上以原点为圆心，半径为 1 的闭圆。2三元函数与 元函数n， 空间一个点集，称为三元函数zyxfu,称为 元函数。n21它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。二、二元函数的极限设 在点 的领域内有定义，如果对任意 ，存在 ，只要yxf,0, 0，就有220 Ayxf,则记以 或Afyx,lim0yxlim0,称当 趋于 时， 的极限存在，极限值为
7、。否则，称为极限不存,0,f在。值得注意：这里 趋于 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于yx,0,，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概0,yx念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三、二元函数的连续性1二元函数连续的概念新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章4若 则称 在点 处连续0,lim0yxffyxyxf,0,若 在区域 内每一点皆连续，则称 在 内连续。f,Df,D2闭区域上连续函数的性质定理 1 （有界性定理）设 在闭区域 上连续，则 在 上一定有界yxf, yxf,定理 2 （最
8、大值最小值定理）设 在闭区域 上连续，则 在 上一定f,Df,D有最大值和最小值 （最大值） ， （最小值）MyxfDyx,ma, myxfyx,in,定理 3 （介值定理）设 在闭区域 上连续， 为最大值， 为最小值，若f,，则存在 ，使得Mcyx0Cyxf0,（乙）典型例题一、求二元函数的定义域 （自己阅读）例 1求函数 的定义域xyz3arcsin解：要求 即 ；13x3x又要求 即 ， 或 ， 综合上述要求得定义域0xy0y0y新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章5或03yx03yx例 2求函数 的定义域12ln42xxz解：要求 和042yx012x即 xy2
9、1函数定义域 在圆 的内部（包括边界）和抛物线 的左侧D2y xy21（不包括抛物线上的点）二、有关二元复合函数 （自己阅读）例 1设 ，求2,yxyxfyxf,解：设 ， 解出 ，uvvu1vu21代入所给函数化简 248,f 故 2481, yxyxf 例 2设 ，求532f,解： 532 xyxyx2y,2xyf新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章6例 3设 ，当 时， ，求函数 和1xfyzyxzfz解：由条件可知，令 ，1fxu则 212u，xf2xyz三、有关二元函数的极限例 1讨论 （ 常数）yxayx21lim0a解：原式yxayx21li而 etxyt
10、ttxyayx 1limlim令又 axyayxayx 1lili2ae1原 式例 2讨论 240limyxy解：沿 原式l0li2430xlx沿 ，原式2ly 24201lillx原式的极限不存在例 3讨论 2430limyxy解： （ ）2402yx新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章721234230yxyx而 ； 1lim20yx 0liyx用夹逼定理可知 原式 6.2 偏导数与全微分（甲）内容要点一、偏导数与全微分的概念1偏导数二元：设 yxfz,xyffxx ,lim0fyfyfz ,li,0例： ， ， xzsin32xzcos6329yxz三元：设 yf
11、u,；zx；yf,zxfzu,2二元函数的二阶偏导数设 ，yf,，xzxfz,2，yfyx,新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章8，yzxfxyzy,2fy,2当二阶偏导数连续时， ),(),(yxffxy3全微分设 ，增量yxfz,ffz,若 22yxoBA当 时0 yx则称 可微，而全微分fz,yBxAdz定义： ， xdy定理：可微情况下， ，xfA,yxf,dyyfzx,三元函数 zu,全微分 dzyxfzyxfyxfdz,4相互关系在在在 ),(, yxffyxf 例：函数 有偏导数是 连续的（ ）条件),(f ),(f（A）充分 （B）必要 （C）充分必要
12、（D）无关5方向导数与梯度（数学一）二、复合函数微分法锁链公式模型 I：设 ， ，),(vufz),(yx),(yxv则 ； zxzu模型 II：设 ， ，),(yfu),(yx新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章9则 xzfxuyzfyu模型 III：设 ， ，),(yf)()(x则 zfxdxuy口诀（38）：多元复合求偏导；锁链公式不可忘。思考题：设 ， ， ， ，),(wvfz),(vu)(t)(tv),(yxt求 和 的锁链公式和图xy三、隐函数微分法设 ，确定0,zFyxz,则 ； （要求偏导数连续且 ）zxzFy0zF口诀（39）：多元隐函求偏导，交叉偏导
13、加负号。四、几何应用（数学一）1空间曲面上一点处的切平面和法线2空间曲线上一点处的切线和法平面（乙）典型例题例 1求 的偏导数zyxu解： ，1zx121zzyxyuxzzln例 2设 有连续的一阶偏导数，又函数 及 分别由下列zyfu, xyz两式确定和 ，求xeyzxdte0sinxu新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章10解： dxzfyfdxu由 两边对 求导，得2ey 0dxyxyey解出 （分子和分母消除公因子 ）xd1y由 两边对 求导，得zxyte0sinxdxzxesin解出 zdxxsin1所以 zfxeyffusin1例 3设 ， 是由 和 所确定
14、的函数，其中xzyf0,zxF具有一阶连续导数， 具有一阶连续偏导数，求fFd解：分别在两方程两边对 求导得01dxzFyffdxz化简 xzydxff解出zyxFffdz例 4设 有连续偏导数， 由方程xfu,yxz,所确定，求zyxeedu解一：令 ，得 ， ，zyxeF, xxeF1 yyeF1，则用隐函数求导公式得zze1；zxzxF zyey1新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章11zxzxzx effu1zyzyzyffdyezfdxezfduxdu zyzx 11解二：在 两边求微分得zyxeedzd1解出 zyxez代入 dfdfuzyxzyxzyx e
15、dff 1合并化简也得 yezfxzfdu zyzx 1例 5设 具有二阶连续偏导数，且满足 ，vf, 22vfu，求21,yxfyxg 22ygx解： ，xyu21yv，fgvfuxg新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章12xvffxuyg2xvfuvfxfvufxfxf 2222;故： ，fvfyfyg2222fufxf222所以： 22222 yxvfyxfyg例 6已知 ，确定 其中 ，0,zxFz,uF,z,均有连续偏导数，求证 yx证： 0,zGzFvu， ，Gux1vy1 22zyFzxvuz根据隐函数求导公式vuzxFyvuzyxG则得 y例 7设 ，求
16、vzux2zuxv,分析：从方程组直接解 u 和 v，遇到二次项，比较繁，而从 du 和 dv 的方程组中都是一次项，比较容易求出 du 和 dv，另外从 du 和 dv 的表达式中同样可以看出有关的偏导数。新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章13解：对 ，的两边求全微分，得vzuyx2ddvdzyzux，12zvxuuzyv， ，zxxv12uzv6.3 多元函数的极值和最值（甲）内容要点一、求 yxfz,的极值第一步 0,fy求出驻点 kyx, l,21第二步 令 , kxykykxk ff若 则 不是极值若 0k 则不能确定（有时需从极限定义出发讨论）若 则 ky
17、xf,是极值为 极 大 值则若进 一 步为 极 小 值则若 kkxkxyxfyf, 0, , 二、求多元 2n函数条件极值的拉格朗日乘子法求 xfu,1的极值新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章14约束条件0,1nmx 令 niminmxxfF , 11 0,01111nmnxxxFn求出 kx, l,2 是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。三、多元函数的最值问题（略）（乙）典型例题一、普通极值例 1求函数 224yxyxz的极值解：xz243， yz3要求 0y，得 32yx故知 ，由此解得三个驻点x0y， 1，
18、 y又 22xz， z， 212yz在点 1,处0,2xzA， 21,2yxzB， 10,2yzC新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章150962BAC又 1，,是极小值点极小值 21,Z 在点 处1,0,2xzA， 2,2yxzB， 10,2yzC96C10，,也是极小值点极小值 21,Z 在点 0,处0,2xzA， 2,2yxzB， 2yzCC 不能判定这时 取 ， y（其中 为充分小的正数）则 024zx而 取 时 0422z 由此可见 不是极值点,例 2设 yxz,是由 18162zyxy确定的函数，求的极值点和极值。 （数学一二可能会考，数学三可以考虑不看）y
19、xz,分析：隐函数求极值的方法与显函数求极值类似。第一步求出驻点（需要计算一阶偏导数） ，第二步作判别式（需要计算二阶偏导数） ，但隐函数求一阶和二阶偏导数在计算上复杂多了。解：因为 01821062 zyxy每一项对 求导， 看作 x,的函数，得z， （1）每一项对 求导， 看作 y,的函数，得y02206zzx。 （2）新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章16令 ,0,yzx得 ,013,zyx 故 .,3yzx将上式代入 18262，可得.3,9zyx或 .3,9zyx把（1）的每一项再对 x求导， 和 xz看作 的函数，得y,，022zxzy把（1）的每一项再对
20、 y求导， 和 xz看作 的函数，得y,0226 xzy ，把（2）的每一项再对 y求导， 和 yz看作 x,的函数，得0220 zyzyz ，所以 613,92xA， 13,9yxB， 35,92yzC，故 0C，又 0A，从而点 ,是 的极小值点，极小值x为 3,9z。类似地，由613,2xA，2,9yzB，35,2C，新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章17可知 03612BAC，又 061A，所以点 3,9是 yxz,的极大值点，极大值为 ,9z。二、条件极值问题例 1在椭球面 12352zyx第一卦限上 P点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求
21、 点坐标。P解：设 P点坐标 zyx,，则椭球面在 点的切平面的法向量为 22,35zyx切平面： 021925zZyYX352xzx021925ZyYx轴截距 xX0,y轴截距 ,Z y9轴截距 0,YX zZ4所以四面体的体积zxyzV1549261约束条件 0, 02352 zyx用拉格朗日乘子法，令12351,2xyzF025x （1）912yzFy （2）新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章1804215zxyFz （3）12352 （4）用 x乘（1） y乘（2） z乘（3） 得 025xyz则 z450 （5）将（5）分别代入（1） ， （2） ， （3）
22、得3x， y， z所以 点坐标为 32,5而最小体积 315VP例 2求坐标原点到曲线 22zyxC：的最短距离。解：设曲线 上点 到坐标原点的距离为 ，令 ，约束条件zyx, d22zyxW， 用拉格朗日乘子法，令0122zyx 01121, 222 zyxzyxzyxF （1）2x（2）0y（3）zFz（4）122yx（5）0z首先，由（1） ， （2）可见，如果取 ，则 ，由（3）可知 ，再由（4） ，100z（5）得 ，12yxyx新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章19解得 10yx534yx这样得到两个驻点 ， 其次，如果取 ，由（3）得 ，0,1P0,53
23、42 10再由（1） （2）得 ， 这样（4）成为 ，是矛盾的，所以这种情形设有驻xy2z点。最后，讨论 ， 情形，由（1） （2） ， （3）可得， ， 代入（4） ， （5）消去 得1x2yz 此方程无解，所以这种情形也没有驻点。08932综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是 1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为 1。另外，由于 为双曲线，所以坐标原点到 的最大距离不存在。CC例 3已知函数 的全微分 ，并且 。求yxfz,ydxdz22,f在椭圆域 上的最大值和最小值。yxf, 14,2D解法 1 由 可知ydxdz2，Cf2,再由 ，得 ，故,f2,2yxfz令 ， ，解得驻点 。02xf 00,在椭圆 上， ，即142y242xz，52xz1其最大值为 ，最小值为 ，3120xz新东方在线 网络课堂电子教材系列 09 考研高等数学第六章20再与 比较，可知 在椭圆域 上的最大值为 3，最小值为 。20,f yxf,D2解法 2 同解法 1，得驻点 。0用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆 上的极值。142yx设 ，222yxL令 014,2 yxLxyx解得 个可能的极值点 ， ， 和 。4,0,1又 ， ， ， ，再与 比较，2,0f 20f 3f3f20,f得 在 上的最大值为 ，最小值为 。yxD3
