1、1工程数学（本）末复习辅导顾静相期末考试的考核内容为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。期末考试采用半开卷笔试形式，题型不变。卷面满分为 100 分，考试时间为 90 分钟。半开卷考试是介于闭卷考试和开卷考试两者之间考试方式。半开卷考试与开卷考试的差别就在于允许考生携带的资料的不同，开卷考试允许考生携带任何资料，而半开卷考试只允许考生携带指定的资料，比如允许考生携带一张统一印制 A4 纸，考生可以将自己对课程学习内容的总结包括重点、难点、不好记忆的公式、定理等写在这张 A4
2、纸上带入考场，作为答卷的参考。下面先给出各章的复习要求，然后针对重点内容给出一些综合练习，与大家一起做好期末复习工作。行列式复习要求1知道 n 阶行列式的递归定义；2掌握利用性质计算行列式的方法；3知道克莱姆法则。矩阵复习要求1理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上(下)三角矩阵、对称矩阵的定义，了解初等矩阵的定义；2熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算；3掌握方阵乘积行列式定理；4理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件；5熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；6理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的
3、求法；7会分块矩阵的运算。线性方程组复习要求1掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性相关性；2会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法；3理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性；4熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法；5了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。矩阵的特征值及二次型复习要求21理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法；2
4、了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质；3知道正交矩阵的定义和性质；4理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法；5了解正定矩阵的概念，会判定矩阵的正定性。随机事件与概率复习要求1了解随机事件、概率等概念；2掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质；3了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题；4熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式；5理解事件独立性概念；6掌握贝努里概型。随机变量的分布和数字特征复习要求1理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念；2理解期望、方差与标准差等概念，掌握求期望、方差的方法；3熟练掌握几种
5、常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差；4知道二维随机变量的概念，了解随机变量独立性概念；5知道大数定律和中心极限定理。数理统计基础复习要求1理解总体、样本、统计量的概念，知道 t 分布， 2分布， F 分布，会查t， 2， F 分布表；2会参数的矩估计法，掌握参数的最大似然估计法；3了解估计量的无偏性、有效性的概念；4了解区间估计的概念，熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法；5知道假设检验的基本思想，熟练掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验；6了解最小二乘法的基本思想，会求一元线性回归方程的方法和 检验。F刚才我们给出了本课程各章复习要求，希望大家按照这些要
6、求，结合下面的综合练习题进行认真复习综合练习一、单项选择题1设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）BA,nA B BAC D11)(11)(正确答案：A32方程组 相容的充分必要条件是( )，其中 ，31221ax 0ia)3,1(iA B032a 0321aC D 1正确答案：B3下列命题中不正确的是（ ）AA 与 有相同的特征多项式B若 是 A 的特征值，则 的非零解向量必是 A 对应于 的特征向OXAI）（ 量C若 =0 是 A 的一个特征值，则 必有非零解DA 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量正确答案：D4若事件 与 互斥，则下列等式中正确的是（ ）BA BPP()()PA(
7、)()1C D BP正确答案：A5设 是来自正态总体 的样本，则检验假设 采用统计量nx,21 ),5(N5:0HU =（ ）A B /1xC D nx/15 5正确答案： C6若 是对称矩阵，则等式（ ）成立AA. B. I1 AC. D. 1正确答案：B7 （ ）1543A. B. 7453C. D. 743正确答案：D8若（ ）成立，则 元线性方程组 有唯一解nAXOA. B. r()4C. D. 的行向量线性相关rAn()A正确答案：A9. 若条件（ ）成立，则随机事件 ， 互为对立事件BA. 或 B. 或BU0)(P()1AC. 且 D. 且正确答案：C10对来自正态总体 （ 未知）
8、的一个样本 ，记XN(,)2 X123,，则下列各式中（ ）不是统计量31iiXA. B. 31iiXC. D. 312)(ii2)(ii正确答案： C 二、填空题1设 ，则 的根是 214Ax0A应该填写：1，-1，2，-22设 4 元线性方程组 AX=B 有解且 r（A）=1，那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量应该填写：33设 互不相容，且 ，则 AB,P()0B()应该填写：04设随机变量 X B（n，p），则 E（X）= 应该填写：np5若样本 来自总体 ，且 ，则 nx,21 )1,0(Nnix1应该填写： ),0(N6设 均为 3 阶方阵， ，则 BA6,3A
9、B13()AB应该填写：87设 为 n 阶方阵，若存在数和非零 n 维向量 ，使得 ，则称X为 相应于特征值 的特征向量 X应该填写： X8若 ，则 5.0)(,8.0)(BAP)(ABP应该填写：0.359如果随机变量 的期望 ， ，那么 X2)(E9)(2X)2(XD应该填写：2010不含未知参数的样本函数称为 应该填写：统计量 三、计算题1设矩阵 ，求 10A1()A解：由矩阵乘法和转置运算得1011032利用初等行变换得 103211020110120211即 20()A2求下列线性方程组的通解 12344536815xx解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即2
10、453628143205 051100方程组的一般解为： ，其中 ， 是自由未知量 12431x2x4令 ，得方程组的一个特解 042x0()X6方程组的导出组的一般解为：，其中 ， 是自由未知量1243x2x4令 ， ，得导出组的解向量 ；12x04 1(0)X令 ， ，得导出组的解向量 21，所以方程组的通解为：，210kX12(0)()(01)kk，其中 ， 是任意实数 1k23设随机变量 X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使 P（X a）=0.9成立的常数 a (已知 ， ， ) 8.)9.0)8.(973.)(解：（1）P（1 X 7）= =3(21P= = 0.97
11、73 + 0.8413 1 = 0.8186 )12(（2）因为 P（X a ）= = = 0.9)23(a)(所以 ，a = 3 + = 5.56 8.138.4从正态总体 N（ ，4）中抽取容量为 625 的样本，计算样本均值得 = 2.5，求 x的置信度为 99%的置信区间.(已知 ) 576.29.0u解：已知 ，n = 625，且 2nx1,(N因为 = 2.5， ， ， x01.2.2106.576.221 nu所以置信度为 99%的 的置信区间为：. 72,94.,2121nuxx5设矩阵 ，求 50,3BABA1利用初等行变换得 102340103211463511071461
12、035即 41A由矩阵乘法得 52018502146351B6当 取何值时，线性方程组1479632421xx有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1902051214796312 8490052由此可知当 时，方程组无解。当 时，方程组有解。 11此时齐次方程组化为432159xx分别令 及 ，得齐次方程组的一个基础解系340, 1, 1054921XX令 ，得非齐次方程组的一个特解x34,080由此得原方程组的全部解为（其中 为任意常数） XkX12k12,7设 ，试求：(1) ；(2) N(,)34P()75(XP（已知 ）987.03,97.08.0)1
13、( 解：(1) P)()28PX()()32108457(2) PPX()()()57532132).219098某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出 9 个，测得直径平均值为 15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为 ，试找出滚珠直径均值26.的置信度为 0.95 的置信区间 (.).u09756解：由于已知 ，故选取样本函数2)1,(NnxU已知 ，经计算得1.5x02.36.9滚珠直径均值的置信度为 0.95 的置信区间为 ，又由已知条件9,975.075.0uxux，故此置信区间为 6.1975.0u 132.,68.5Gs2-38四、证明题1设 是 阶对称矩
14、阵，试证： 也是对称矩阵BA,nBA证明： 是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知)(已知 是对称矩阵，故有 ，即, ,由此可知 也是对称矩阵，证毕 BA2设 n 阶矩阵 A 满足 ，则 A 为可逆矩阵0)(I证明： 因为 ，即 )(2II2所以，A 为可逆矩阵 3设向量组 线性无关，令 ，321,21， ，证明向量组 线性无关。32143,证明：设 ，即0321kk0)4()2()( 1332 k2131因为 线性无关，所以 321,04321k9解得 k1=0, k2=0, k3=0，从而 线性无关 321,4设随机事件 , 相互独立，试证： 也相互独立ABBA,证明： )(1)()()()( APPPP 所以 也相互独立证毕BA,5设 , 为随机事件，试证： AB()()证明：由事件的关系可知UABA(而 ，故由概率的性质可知()PP()今天的活动就到这里，大家还有什么问题，请随时与我们联系。谢谢大家参与这次活动。再见！
