1、1高等数学软件工程硕士辅导基本概念与练习一、求函数极限1极限定义：设 在点 的某去心邻域内有定义， 为常数，如果对于任意给定的正)(xf0 A数 ，总存在 ，当 ，有 ，称 在 趋于 时有0|0x|)(|xf)(xf0极限，并称 为 在 的极限。记做 。A)(xfxlim02 的充要条件：fxlim0 AxffAfx)()(li 003求极限的方法（1）若 在 连续，则)(f0 )(li00fx（2） “ ”型1）等价代换：当 时 1)ln(arctrsintasin xexxx2co2）洛必达法则： )(lim)(li00xgfxfx（3） “ ” 1gf)(1）利用重要极限 )1(li)1
2、li0 exexxx 2）化为“ ”型（4）有界量与无穷小乘积仍是无穷小。（5）利用泰勒公式：掌握 和 在 x=0 点的泰勒展开求极限。)1ln(xe)(!)0(!3)0(!20)( nnxofxfffxf )1ln( nnox14322)(!321nx xoxe二、无穷小的比较极限为零的变量。 ，称 在 时为无穷小0)(lim0xfx )(xf0设 在 时为无穷小，则)(,gxf如果 ，就说 是比 高阶的无穷小，记作 ；)(lif)(xg)(f )()(xfog如果 ，就说 是比 低阶的无穷小；)(limxfg)()(f如果 ，就说 与 同阶的无穷小；0)(licf )(xgf如果 ，就说
3、与 是等价的无穷小，记作 。1)(lixfg)(f )(xgf如果 ，且 ，0,0,则 limlililim三、连续（注意不讨论间断点及其类型）1定义：如果 那么就称函数 在点 连续。)(li00xfx)(xfy00limyx2主要条件： （由此可求两个参数）)(lim00 fx四、导数与微分1导数定义： = ，)(0xf xffyx)(lili 00和 hfxfh)(lim)(00 00lim)(0xffx32充要条件： )()(00xff hxfffh)(lim0003必要条件：可导必连续4几何意义：切线斜率.切线方程 )(00xfy5微分： ， dxfy)(dx)(0)(0xofy题型
4、求分段函数在分段点的导数使用定义，其他点使用公式五导数计算1初等函数求导公式（16 个求导公式，5 个求导法则）导 数 公 式 微 分 公 式1)(x dxxd1)(cossin cosinxi)( xi)(2secta dd2sectax)(o x)(oxtansec xtansecxo)( xdd)(xl xle)( e)(axaln1log dxadaln1log)( )(21arcsix dxxd21arcsi2)(ro x2)(ro21actnx dd21actn421)cot(xar dxxarcd21)ot(（1） )()vuxvu（2） ，)(xu )()(xuc（3） 。 0
5、)()(2 vxvuxv )0)()(2vv(4) 复合函数导数 ， 称为中间变量，,xgfyfyudxuy 参数方程求二阶导数 )(tyxdt，dtxdx2)(ty)(32ttxy隐函数求二阶导数：F(x,y)=0 ,方程两边对 求导， 的函数看成 的复xyx合函数4.几分上限函数求导 )()()(xfdtftfdxxaa )()( fftfx 六、函数不等式的证明1方法：利用最值，单调性和拉格朗日中值定理证不等式单调性：单调升： ，当 时)(21xff21x单调降： ，当 时， 单调升， ， 单调降0ff0ff利用单调性证不等式，证 ， ，)(xg)(xgfh0h拉格朗日中值定理： 在 连
6、续，在 可微，则有)(xf,ba,ba )(abfabf落在 之间。ba,52求导时最多到二阶七、求函数最值邻域： ，极值：当 或者),(),00xxu )(),(00xfxu称 为极大值（极小值） ，极大值，极小值统称为极值，使函数取得极)(fff值的点成为极值点定理：如果 在 可导，并且取得极值，则)(xf0 0)(xf导数为零的点称为驻点。判别极值一个是利用单调性，一个是利用二阶导数，定理：， 极小值，反之是极大值。0)(xf)(0f求最值：求出不可导点及驻点，计算这些点的函数值及边界点的函数值，找这里最大的就是最大值，最小的就是最小值。如果是实际问题，并且只有一个驻点，这个驻点就是所求
7、的最值点。八、不定积分1原函数：在区间 上，若 ，称 为 的一个原函数。I)(xfF)(Fxf2不定积分：在区间 上， 的原函数的全体称为 的不定积分，记为fcxdf)()(3掌握下列基本公式 是常数) kCk( )1(1Cxd , xd|ln axxln Cex Cdsico xdcossin xxtanec22 Cti22 stans(11) (12)xdxcsotcs Cxdrci126(13)Cxdxarctn124凑分法： )()( xudff 掌握下列常用凑分法（1） )()( baxfadbxf（2） )(11 xdnnnn（3） （4）xxefef)()( xdff sin)(
8、sico（5） dcscosin5换元法 )(1()( xtdtfxf 掌握：含 时，令 含 时 令nbanba2ataxsin6分布积分法： vuudvdux掌握（1） cedexexx（2） cx osinsiinsicos（3） xdxxdx 4l21l2lnl 2（4） dx221arctnarctarctxx)rtn(21rtn2 cxexdexe xdeddxxx )ossin(21cosssin osiniico)5(一般如果被积函数是多项式与指数函数或者三角函数乘积，选多项式为 指数函数或u者三角函数为 ；如果被积函数是多项式与对数函数或者反三角函数乘积，选多项式v为 对数函数
9、或者反三角函数为 ； u九、定积分1牛顿-莱布尼茨公式 )()()(aFbxdfaba 72几何意义：曲边梯形面积3定积分换元法 dttfbatxdfba )()(),(),)(4定积分的分部积分法： abavduuv .1,32541,cossin.52020 的 正 奇 数为 大 于为 正 偶 数nnxdxdInn 6 （1）若 在 上连续且为偶函数，则 )(xf,aaadxfdxf0)(2)(（2）若 在 上连续且为奇函数，则 a7周期函数的积分， )(xfTf 2020)()()(21TTnTaa dxfndxfdxf fff8绝对值函数的积分：去掉绝对值，令 =0，找出是 =0 的f
10、f9面积（与 为积分变量） ，体积（绕 轴旋转的旋转体的体积）xx1）面积一个函数且 ，0)(fbadfS)(二个函数且 xgxf)不知道大小 baf|)(|2）体积： ，bax dxyfV22)(dcyyxV)(2badxfV)(2十、微分方程1可分离变量微分方程的通解与特解。标准型： )(yhxgdy解法： cdxgyh)(2一阶线性微分方程通解与特解，标准型 )()(xQyP8通解： )()()(cdxeQeyPdxP3二阶常系数线性齐次方程通解。标准型 ，其中 常数。0qypqp,解法：特征方程： ，特征根02qpr242,1r通解 irxcerxcxYr 2,1211221)sino
11、(,)(实 根（ 实 根4二阶常系数线性非齐次方程通解。标准型 ，其中 常数xmePqyp)( ,qp，mmxaxP10)( 0解法：通解 ，其中 为对应齐次方程通解， 为本身的特解。)()(*yYy)(xY)(*xy，其中 ，xmkeQxy)()(*21,2,0rk且当 或当 且当 mmxbbxQ10)(十一、向量与空间解析几何（不单独出题，与多元微分学结合出题）1向量：既有大小又有方向的量（1）表示法kajiazyxzyx),(（2）模： ， 称为单位向量22|z1|（3）方向：方向余弦： ， ，22coszyxa22coszyxa22coszyxa（4）与 方向一致的单位向量 )cos,
12、(cs|,| aazyx2直线的点向式方程：直线 过点 且与方向向量 平行，则L0P),(0 ,pnm9的方程为：Lpznymx0003平面的点法式方程：平面 过点 且与法向量 垂直，则 的0P),(0zyx),(CBAn方程为： )()(0 CyBxA十二、多元函数微分学1多元函数偏导数与全微分（1）二元函数 在 点对 的偏导数：),(yxfz),0x ),(),(),(lim00),(00),( 00 yxzffyfx xyxxy ),0zfxx0),(xdf， 连续时 ，2xzyxz2xyz22yz（2）二元函数 的全微分 ),(fzddz2多元复合函数求偏导数设函数 和 在 点分别具有
13、对 和 的偏导数，而对应的函),(yxu),(yxv,xy数 在相应的 点具有对 和 的连续偏导数，则复合函数),vfz uv在 点具有对 的偏导数，且),(yx,(),(yxvzuz yvzuz若 和 二阶可导， 具有二阶连续偏导数，则),(yxu),(yxv),(vuf )(2212121212 yvffxyffuffz .空间曲线切线与法平面方程10设空间曲线 在 参数 ，ttzytx)( ),(00zyxPt切向量 ，切线方程：),00ttxs )()(000tztytx法平面方程： ()(000 zytt5空间曲面的切平面与法线方程设空间曲面： 在切点 ，法向量),(zyxF),(0
14、0xP0),(PzyxFn切平面方程： ，(00000 zFyPzyP法线方程： 000 PzyPx设空间曲面： 在切点 ，法向量),(fz),(0yx0)1,(Pyxfn切平面方程： ，(000 zfxPyPx法线方程： 100 zffPyx6方向导数与梯度(1) 方向导数：函数 f (x , y , z)在 ( )点沿方向 eu0P0,zyx的方向导数 =,cos(l ),(0zyxlcos,cos),(), 000 fzyxfzyxf z（2）梯度：函数 f (x , y , z)在 ( )点的梯度u0P0,yx 00),(PPzfyxfugrad（3）梯度的意义：函数在一点的梯度是个向
15、量，它的方向是函数在这点的方向导数取最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值7条件极值条件极值问题可表述为：求函数 在条件 下的),(21nxfu0),(21nxg极值。方法：构造拉格朗日函数 ，令 ， ， ，fxLn),(21 1xL2,nxL110L解出 ，代入 ，其中最大（小）者为最大（小）值。),(21nx ),(21nxf十三、二重积分1积分形式： iiniDfdxyf ),(lm),(02几何意义：曲顶柱体体积。当 时， 为 的面积。1,fDd3计算方法：积分区域 D 为 X型区域 ，)()(21xyxba= ，dyxf),(baxdf)(21,积分区域 D 为 Y型区域 ，)(
16、21yc= ，dyxf),(cydxf)(1,积分区域 D 在极坐标系下可以用不等式 ,)()(2dfdyxf)(21 .sin,co),(题型 积分交换顺序问题a题型 b 极坐标问题:圆心在原点的圆或圆的一部分或圆环或圆环的一部分十四、第二类曲线积分（平面上）1积分形式： LdxyP),(LdyQ),(2计算方法：（1）设参数化定积分1）L ： 由 （起点）变到 （终点） ，),(tyx LdPyxQ), dttQttP)(),()(),( 2） ： ， 从 （起点）变到 （终点）)(yab12 baL dxxQxPdyxQyxP )(,)(,),(),( 3） ： ， 从 （起点）变到 （
17、终点）cd cL yyyxyx ),()(,),(),( （2）格林公式 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 及 在 D 上xP),(Q具有一阶连续偏导数，则有， （1）LDdyxdyPxQ其中 L 是 D 的取正向的边界曲线 .曲线积分与路径无关的条件：曲线积分与路径无关的充要条件是 在 内恒yPxQD成立十五、级数（重点幂级数，会求幂级数收敛半径，收敛域及展开与求和）1定义。数列 ，称 = 为级数，令 nu nu321 1nns ，得 ，若 ，称无穷级数 收敛,这时极限nu 321i1nssnlim1nu叫做这级数的和,并写成 = ;如果 没有极限,则称无穷级s nuu32 数
18、 发散.1nu级数收敛的必要条件 如果级数 收敛,则它的一般项 趋于零,即1nunu.0limnu2特殊级数（1） 级数 当 时收敛，当 时发散p ppp432111p（2）等比级数 当 收敛,且其和为 ;当nn aqaq20 |qa时,等比级数发散1|q133交错级数 的莱布尼茨定理判别法：若（1）1)(nnu)0(（2） 则级数收敛;,3un ,limnu4幂级数10),(,)(nnxa（1）收敛半径，收敛域：如果 其中 是幂级数 的相邻,li1na1na、 0nxa两项的系数，则这幂级数的收敛半径 开区间 叫做幂级数的.,0,R),(R收敛区间。再由幂级数在 处的收敛性就可以决定它的收敛
19、域是x或 这四个区间之一。,(),(RR、 ,5等比级数：（1） ，02nnxxx 1|（2） ，02 )()1(nn |x（3） )1ln(xx nn11432 （4） !320xne nx 6利用等比级数将函数 展为幂级数)(xf7利用等比级数求幂级数的和第一套练习题一、填空题 1、 _xxxcos1cslim21in2inl2xx 140)1(2sin1sinlm2 xxx2、设函数 ，则 _aff|lim|)(li)(li axaxxfafx 3、设 ，则 _, _tyrcn12dy2dy；22)1(ttdx；52232 )1()(ttdxy4、微分方程 的通解 03yy特征方程 ，特
20、征根 ，故通解为2r2,1,r xxecy215、设函数 ，则 _0xef dtfxF1 0212010011 xetetdexdtfxFtxt xxtt6、 dyex1022 21010302101 222 6dyedyedxyx ettetdte t1666 011010107、曲面 在点 处的切平面方程为 ，2zxy,P15法线方程为 切平面方程为)1,2(),2(pyxn 0)1(2)1(zyx法线方程为 z二、 证明：当 时， 0xxxe令 ，在 使用拉格朗日定理有1)(ef, xefxx )0(1其中 ，由 单调升，有 ，故x0xe1三、 已知 ，求常数 ， 使得 于 处可导，并0
21、sin2xabefx abxf0求 0f可导必连续，故 ，即 ，故)(lim)(li00xffxx1b1，2lili00 ef xx axxffx sinlm)0(li0从而 1,2ba四、 设 ，求 及 xyey2cosdy1.0x方程两边对 求导得 ，故2)(sinyey yexy)sin(2，dxfy)(dxy)si(20, .011.0x五、 设 dtftff 343 写出 满足的二阶常微分方程； 求 的表达式xf方程两边对 求导得x)(31ff即 7ff特征方程为 ，特征根为02r7,02,1r齐次方程通解为： xeCy7116当 为非齐次方程的特解，故 ，xy73 xeCxf73)
22、(211)0(f六、 求幂级数 的收敛域、和函数并求出和 nn21!nn!0，收敛域3)!1(!limli1aRnn ),(令 ，则12!)(nxxf 1020120 !)( nxnxnx dddf，故)(!21212xnne221)(xxeef2210 5)()(! fnnn 七、 计算 ，其中 是双扭线 所围城的闭区域dxyDxyx2，2sin,cosin24 2,02032sin02 iico dddI 20532032 sin)i(sinsi)si1( 61ini4206八、 设 ， ，求 使 。yaxeuz,2ua02zyxz17， yaxyaxueexz yaxyaxuezyaxy
23、axyaxyaxy 2，故yaxyaxyax eueuzxz )1(2 1九、 在 曲面求一点，使得函数122y22,zyxzyf在该点沿方向 的方向导数最大0,l，设 为曲面 上的任意一点，则函数),1(2le),(zyx12zyx在该点的方向导数为2,zyxf)(20)1(yxyl 令 1),(2zxzyxL，带入第四个方程，有012041zyxLzy 0,zy 0,21,zyx故所求点为 ),(十、 设曲线 为椭圆 ， 为圆周 。 和 都取逆时针方向。记1492yxl12yxLlLyxdI2证明 ，并求 的值lyxdI2I18，由格林公式有22yxQyxPDlLQdyPxd，2222 )
24、()(yxyP，故 ，从而2222 )()(yxQxyP0lLQdyPx即 llL ddyxyx 222222ll yxyI22)1(ll DDdxy第二套练习题一、填空题 1、 _2limaxax 222 limlili axaxaax xaxax1li)()(liaax 21)(lim2、 =_2sinlix 202022 4)1(coslnim4cosliili ttttx 198142lim1cosli020 tttt 812sinlm412cosli42sincolsinli22 xxxx xxx 3、 ；11nna 1215173153112)( nkkn aaaS ，an2Snl
25、im4、微分方程 ( )的通解 086y086yy特征方程 ， ，2r4,2,1rxxeC421( ,02r2,1xeCY66,从而通解 ）34*y 321xey5、 的收敛域为： 1nnx， ，51)(limli1nnnaR5|2|x73x在 发散；在 收敛，收敛域；1n3x1)(n )7,36、 dxy21 dydyyyy 21212112 ln)ln(ln3l4l4lln 2121221 dd7、曲面 在点 处的切平面方程为： ， 5zyx3,P20，5),(2zyxzF )1,2(),2(pyxn切平面方程为 03)1()(z二、 证明：当 时， 。0xf00xfhxff)()(!2)
26、()( 2200 oxf (1)1200xfhxffh(2)(!)(00 hxf (1)+(2)得 )(2202000 xfoxffxff 三、 已知 于 处具有三阶导数，并且 ， ， ，证明：12。1lim20xf )()()0(!2)( 22xoxofxff 1limlili 20020 xxx解 2 )(li21)(lilim0020 ffff xxx四、 设 ，求 及 arctnyzdz1,222)(1yxyx 2222 )1()(1yxyyxz dyxdxdz 2222 )1()(dyxz5)1,(五、 设曲线积分 在整个 平面内与路径无关，其fxeffl O中 二阶可导，xf 写出
27、 满足的二阶常微分方程； 求 的表达式f xf21yexffP)(2)()(xfQ由积分与路径无关有 P微分方程：xefxff)(2)( xefxff)(2)(齐次方程的特征方程： ，特征根：02r,1,r非齐次方程的特解： ，将其求导带入原方程 得xaey* xaey*x*，故xxeae221xCf 2)(1六、 将 展成 的幂级数。xf arctn1ln4、)1(1)( 222 xxxf )(4040441nnx 54)()()( 00)1(40)1(40 nxdxddffxf nnxnx七、 计算 ，其中 是有圆 所围城的闭区域yD32Dy22，cosin2cosin,045,)cos(
28、i2045 )in33 ddxyD 45 3)cos)(isn(82 0 3)4()(ii3)cos(34 dttttt sin21sinco25in215(2 0030 tttdt22 2)4cos12s(342cos136sin3160004 dttdttd八、 设 ，求 。xyzeu,zu3xyz xyzxyze22xyzxyzxyzeu23九、 求函数 在点 处沿方向21ln, zyx1,的方向导数2,1l设 ，3,lezyxt2)1ln(2ttu，21txu21tu2tz当 ，,zy， 5pxu52pu5pz1331l十、设曲线 2:(0)Cyx（1）求 在点 处的切线方程；1,（2
29、）求由该切线、 轴与 围成的平面图形面积；（3）求上述平面图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积x（1） 切线方程：2)(y)1(2xy（2） 140dx23（3） 3066104102 dxdxyv第三套练习题一、填空题 1、 134limxx exxxxx 13)(1lili2、使得 的二次三项式的 2opxp2200)ln(!1)ln( oxx2l1p3、设 ， ，则 2xyeztsinco2tdz 8)cos(in)i( 322 txyxyt tetd4、微分方程 的通解 65， ，02r3,2,1r1*y3121xxeC5、 = ，从而 0!1nxxe!21xn6、 dxy01cos dx
30、xxdxxx 1010100 sin)(sin)()(s2241coscs10x7、曲面 在点 处的切平面方程为 2zey2,P法线方程为 )1,(),1(2pzxzxn 0)2(1)(zyxy二、 设 ， ，确定 的范围使得 dtexF10xxxFln令 ，tfxln1 0,1efxx显然 ，当 ，0)(fFln三、 已知 ，0cos20xdtxfx（1）讨论 的连续性，并求出其连续区间；f（2）讨论 于 处是否可导，若可导求 x0f（1）当 ， 存在，故连续， ，0)(f )(,)0(f 0)(f连续区间为 R（2） 1coslimcosli)(lim000 xxtdxff xxx，故 =
31、0lili)(li 0200 ff xxx f四、 设 ，求 及ey2dy1.x，)(xyy yxe2dxedyx20,x.01.21.0xd五、 设 二阶可导，且满足f dtfxexf02 写出 满足的二阶常微分方程； 求 的表达式25两边对 求导， ，xxdtfexf02)()( )(4)(2xfexf由已知有 ,10， 带入方程，ir2,2 xaey2*xaey2*5aCxy154snco六、 求幂级数 的收敛域、和函数1n收敛，收敛域1)2(limli ann )1(,nx 1,令 ， ，)(xf1n 1nfF1nxF，xFn)(1 0)(,)0( xxdttFx00 )1ln(1)(
32、 xx dttd01)l()()1ln(1lnxxf)()(七、 计算 ，其中 是圆域 dyxD42D92yxdxydy yxyx 942422 22 )4()(=32020 )()4( dd 1八、 设 ，求 。xyezsinyz, xyxyxxy eesin2sinsin2sin )co(,)co(九、 求函数 在约束 下的极值zyzf2,122z)1(2),( xxzyL26102zyxLxyxxy2331z2yx，43),3(f 341),1( f十、 计算积分 LdyxI1为曲线 ， 及 所围成的曲边三角形区域 的边界，取逆时针方向L1y4xyD xDL dydxdI 1242 )(
33、)1( 43)1()()1(412412 xxxxy第四套练习题一、填空题 1、 ，则 162limxxaa2ln,161li1li 4 aexxxxxxabxelim2、使得 的二次三项式的 23xoqx xq22003ln!1l o2723ln)(l1xxp3、设 ， ，则 yxez2tsico2tdz0)cos(in)in( 222 tyxyxt etd4、微分方程 的通解 45， ， ，故02rir2,1*y 54)sinco(212xCeyx5、 = ，从而 0nx02n26、 dyxdyxdx 2421 sisi 212121 coscossin22 dydyxdxydy )2co
34、s1(4)2ini(42i4 1212221 yy )(27、曲面 在点 处的切平面方程为 ，法线方程为 02xzey,P，)1,(),1(pxzxzn2)2y 122zyx二、 试用求极值的方法证明： aa0,ax令 ， ，从而 ，axf)( )1()xf 0)1()2axf28故 为极大值点， 为极大值，亦为最大值，故 ，从而1xaf1)( axf1)(aa三、 求常数 ， 使得 b1sinlim200 dtaxx，由此)cos(lisinlim2002 xbaxbdtax b12lim21li)cos1(li 02020 axaxxx故 ,4b四、 设 ，求 及 xyeycosdy1.0
35、x，2)(iny yesin2dxeyxdsin20,x.01.1.0xdy五、 设 dtffsi2cos 写出 满足的一阶常微分方程； 求 的表达式xf两边对 求导，xxf sin)(cosin4)(由已知有 10xqxpcsi,sin xxx xxx ddpCeCee CdeeCQy coscoscos coscscos inin)()( )1(4)1(4 )i(4 由 得 ，即 ，从而)0f xef cos1)(429六、 求函数 在 处的幂级数展开式及其收敛域x1ln0先对 求导，得 1lnx由 有)1ln(x nx432)l( x4321lnx nx432dx0)1ln(l nx n
36、xx)1(126243(02收敛半径为 ， ，级数 收敛2limli1aRnn R)1(n故收敛于为 ,七、 设 ，计算 ，其中 是矩形区域xeyxf,0, dxyfD,DeD,01 1, 01001 edxeydxyxfeD八、 （8 分）设 ，求 。xyezcosyz, xyxxyxy eeez cos2coscos2cos in,in30九、 （8 分）求函数 在约束 下的极小值（其中 ，zyxzf, 3axyzzyx,）0a)(),( 3ayxzyL,301axyzyx0xyzz33azyxazyx极小值为 3a十、 （8 分）计算积分 Lx dydxyeI cos2sin为曲线 与 所围成的区域 的边界，取逆时针方向L2xyD使用格林公式dxyeyedydxyeI DxxLx )cos1()cos2(cos2sin 01010 2)(2 xxxxDx eeedexx 321)2( 010第五套练习题一、填空题 1、设函数 ，使 存在的最大的 。23()fxx()0nfnlim)0(li)0( 42 ff xx 0li)(li)( 4200 ff xx
