1、1第一篇 力学* 力学：物体的机械运动是整个物理学基础，力学规律将引入热学、电磁学、波动学等。分为：运动学：讨论物体运动的描述及规律性。动力学：讨论物体运动状态变化原因及物体间相互关系。-第一章 质点运动学教学要求：* 理解质点模型和参照系等概念。* 掌握位矢、位移、速度、加速度等物理量及其关系。2* 掌握笛卡儿坐标系中运动方程计算质点速度和加速度。由微积分求解直线运动中质点位置、速度和加速度。* 理解自然坐标中路程、速率、切、法向加速度等物理概念，* 理解平面极坐标中的角位置、角速度和角加速度等概念，* 了解相对运动中的位置、速度和加速度变换。教学内容(学时：4 学时)：1-1 质点运动的描
2、述 1-2 切向加速度和法向加速度 自然坐标系1-3 圆周运动的角量描述 平面极坐标系1-4 相对运动作业： 1-05)、1-08)、1-10)、1-12)、1-16)、1-18)、1-19)、1-21） 、1-323） 、1-25） 。-1-1 质点运动的描述一 位置和位移 笛卡儿坐标系41位置矢量 (1-1)kjir zyx_质点的位置矢量（简称：位矢）* 大小(质点到原点 O 的距离 ):(1-2)222 zyxr r* 方向余弦: (1-3)rzyrx/cos/cos* 斜率: (1-4)xytg/2运动方程：（质点运动时，其位矢 r 随时间而5变）kjirr )()()()( tzt
3、ytxt (1-5) 运动方程* 分量表示 )()(tzztyytxx(1-6)（质点运动方程包含质点运动全部信息，解决质点运动学问题关键所在）3轨道方程（轨道为质点运动时在空间形成轨迹，其曲线方程称轨道方程）从运动方程中消去 t，即可得到轨道方程。例如：平抛运动 20 21, gtytvx 6消去 t,得:202vgxy(抛物线方程)4位移 ：（描述在运动过程中质点位置的变化）7质点 t 时刻在 p1，位矢 r1，时刻在 p2，位矢 r2，t位移矢量（定义）为：(1-12rrr7)按运动方程(1-5)式有：kjirr12 )()()( 1212 zzyx kji zyx (1-8)8* 分量
4、： 121212zzz yyy xxx(1-9)* 大小：222 zyxr* 方向余弦：rr/cos/coszyx二 速度 （速度描述质点运动快慢和方向）91.平均速度 t/rv（矢量） (1-10)* 方向为质点位移的方向* 分量：(1-11)tzvtytxvzy /x2.瞬时速度定义 时的平均速度的极限为0t瞬时速度（简称速度）dtttrrv 0lim10（矢量） (1-12)（可见：速度为位矢对时间的变化率）* 速度方向：v p1 p2 p2 p2 p2 可见： 时 趋于轨道切0t r线方向速度方向沿着轨道切向，且指向前进一侧。把(1-5)式代入(1-12)式，注意i、 j、 k 为常量
5、，有：(1-13)kjirv dtzdtydtxdt 11(1-14)kjiv zyx vvv* 速度的大小和方向余弦由它的三个分量确定。dtzvtdyvtxvzyx(1-15)* 速率：平均速率定义为： tsv瞬时速率（速率）定义为路程对时间的变化率：dtsv12由于在 时 ，而 dt 是0t rds正量，所以：vrr dtdtdtsv（即: 速率等于速度矢量的大小）3.位移公式 由式(1-12)可得 dtdvr积分tdtd0vrrr0即 (1-16)tdt0vrrr0 位移公式把(1-5)式和(1-14)式代入(1-16)式，可得：13 t tzytx dtvzzdtvyy dtvx0 0
6、0000 ,(1-17)三 加速度141平均加速度 t/va(1-18)2瞬时加速度 220limdtdttt rvva (1-19)注意：加速度 a 的方向为 时速度0t变化 的极限方向。v在直线运动中：加速度方向与速度方向相同或相反，相同时速率增加，如自由落体运动，相反时速率减小，如上抛运动。15在曲线运动中：加速度方向与速度方向并不一致，如斜抛运动。把(1-14)式代入(1-19)式可得分量： 222dtzdtva dtydtva dtxdtvazz yy xx (1-20)（由加速度三个分量可以确定加速度的大小和方向余弦）3速度公式 由 ，得： atd/vadtdav积分：(1-21)
7、tdt0avv0分量形式为：16tzzz tyyy txxx dtavv dtavv dtavv000000(1-22)* 匀 加 速 运 动速 度 公 式 ：tdtt aav00或(1-23)tavv0位移公式： tt ttdtdt0 20 1)( avavvr 00或17(1-24)21tt00 avrr 4质点运动学问题分类* 第一类运动学问题已知质点的运动方程 ，求)(trr质点速度 v 和加速度 a。 ，按速度和加速度的定义通过求导来解决。* 第二类运动学问题已知质点加速度 及初始条)(ta件 t=0 时位矢 r0和速度 v0，求质点速度 v 和位矢 r。 ，通过速度公式和位移公式通
8、过积分来解决。-例 1.1 一质点在 Oxy 平面内运动，运动方程为 ( A、 为jir tAtAsincos正常量)，求: 质点的轨道方程及质点在任意 t 时位矢、速度和加速度的大小和方18向。A O v y r 解：（第一类运动学问题）* 质点运动方程的分量形式为：tAytAx sin,cos联立消去 t 可得到轨迹方程 222 Ayx(圆的方程，圆心 O，半径 A, 质点在作圆周运动)* 位矢: jir tAtA sincos大小为:19Ayxr 22方向为:(1)ttgxytg/* 速度:jirv tAtAdt cossin/ 分量为:tAv tyx cosin速度大小（速率）为:(常
9、量，匀Avvv yx 22速率圆周运动)速度方向为:20(2)tctgvvtgxy /(比较(1)(2)式,可知速度 v 和位矢 r垂直，速度沿圆周的切线方向)* 加速度:riva2 22 sincos/ tAtAdt(可见加速度方向与位矢相反，即指向圆心)加速度大小为:(常Aa22r量)例 1.2 如图，河岸有人在 h 处通过定滑轮以速度 v0收绳拉船靠岸。求: 船在距岸边为 x 处时的速度和加速度。21l h O 解：（第一类运动学问题）如图建立坐标，小船到岸边距离为x，绳子长度为 l，则有(1)222 xhl 得:_小船运动方程22hlx( 是 t 的函数 )l* 小船的速度为:2202
10、20vxhvxl dtldlxdtxv (推导中用到 ，负0vdtl号表示绳子的长度在缩短)* 小船的加速度为3202220 0xvhvlxlxlvdtdtva (推导中用到 ，vdtx即为小船的速度)(如把(1)式按隐函数求导求速度和加速度更简便)将(1)两边同时对时间 t 求导可得:23dtxxdtll 22(注意到上式中 ，0vdtl=v )dtx有: (2)xvlv0解得:0220 vxhxlvv 再将(2)式对时间求导得到:dtvxvdtxvdtl 0(其中 为船的加速度)adtv有:24xavv220解得:3202220xvhxvva例 1.3 如图，一质点在 Oxy 平面内斜上抛
11、，忽略空气阻力，加速度为 ，方向1ms8.9g向下。t=0 时质点位置在处，m4.12m,2.1000 yx初速度大小为 ，10ms2.3v仰角为 。30求: 质点在任意 t 时的速度和位矢的两个分量。25x x0 O y v0 解：（第二类运动学问题）质点加速度的两个分量为:gaayx ,0初速度的分量为:100 100 ms6.1sin,.20covvyx按速度公式有: t xxxx vdtavv 0 00 1.201ms(常数)26)(ms1 tgtvdtavv ytyyy 81.96.1000按位移公式有: t xx ttvxdtvx000 m)(1.20.10 t yyty tt g
12、ttydtgvydtvy 0220000 )m(91.46.14.12 1)(此题可直接用匀加速运动公式(1-23)和(1-24)的分量式得结果)例 1.4 一质点沿 x 轴运动，其速度与位置的关系为 ，kv其中 k 为一正常量。若 t=0 时质点在 处，0xx求任意 t 时质点的位置、速度和加速度。27解：（第二类运动学问题）按题意有 ，按速度定kxv义改写为:kxdtx(一阶微分方程)可以通过分离变量法求解,有:kdtxd对方程积分，按题意 t = 0 时质点位置在 x0，又设 t 时质点位置在 x，有:x tkdtd0 0积分得:ktx0ln解出质点位置为:28ktexx0质点速度为:ktekxdtxv 0/质点加速度为:ktexkdtva 02/-1-2 切向加速度和法向加速度 自然坐标系笛卡尔坐标系使用普遍，但在有的问题中并不是最简捷的方法。自然坐标系采用轨道切向和法向分解运动（特适于描述圆周运动） 。29一 圆周运动的切向加速度和法向加速度r p1 p2 r R 30如图，把 分解为两个分矢量:vtn)()( vvv 除以过程的时间间隔 ，并令t，有：0tdtdtdt tn)()( vvv记作: tnaa(1-25)其中: dtd/)(nnva(1-26) 法向加速度dtd/)(tt va(1-27)
