1、附录 大学数学实验指导书项目五 矩阵运算与方程组求解实验 1 行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法. 掌握利用 Mathematica (4.0 以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令在 Mathematica 中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.1. 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式, 表达式之间用逗号隔开.如输入2,4,8,16x,x+1,y,Sqrt2则输入了两个向量.2. 表的生成函数(1) 最简单的数值表生成函数 Range, 其命令格式如下:Range正整数 n生成表1,2,3,4,n;Rangem, n
2、生成表m,n;Rangem, n, dx生成表m,n, 步长为 dx.(2) 通用表的生成函数 Table. 例如,输入命令Tablen3,n,1,20,2则输出 1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859输入Tablex*y,x,3,y,3则输出 1,2,3,2,4,6,3,6,93. 表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵5432可以用数表2,3,4,5表示.输入A=2,3,4,5则输出 2,3,4,5命令 MatrixFormA把矩阵 A 显示成通常的矩阵形式. 例如, 输入命令:MatrixFormA则输出 5
3、432但要注意, 一般地, MatrixFormA代表的矩阵 A 不能参与运算.输入B=1,3,5,7输出为1,3,5,7输入MatrixFormB输出为 7531虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量, 但实质上 Mathematica 不区分行向量与列向量. 或者说在运算时按照需要, Mathematica 自动地把向量当作行向量或列向量.下面是一个生成抽象矩阵的例子.输入Tableai,j,i,4,j,3MatrixForm%则输出3,42,1,43,1aa注:这个矩阵也可以用命令 Array 生成,如输入Arraya,4,3/MatrixForm则输出与上一命令相同.4. 命令 Ide
4、ntityMatrixn生成 n 阶单位矩阵.例如,输入IdentityMatrix5则输出一个 5 阶单位矩阵(输出略 ).5. 命令 DiagonalMatrix生成 n 阶对角矩阵.例如,输入DiagonalMatrixb1,b2,b3则输出 b1,0,0,0,b2,0,0,0,b3它是一个以 b1, b2, b3为主对角线元素的 3 阶对角矩阵.6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵 A 与 B 的加法;k*A 表示数 k 与矩阵 A 的乘法; A.B或DotA,B表示矩阵 A 与矩阵 B 的乘法.7. 求矩阵 A 的转置的命令:TransposeA.8. 求方阵 A 的 n 次幂的命
5、令:MatrixPowerA,n.9. 求方阵 A 的逆的命令:InverseA.10.求向量 a 与 b 的内积的命令:Dota,b.实验举例矩阵 A 的转置函数 TransposeA例 1.1 求矩阵的转置.输入ma=1,3,5,1,7,4,6,1,2,2,3,4;Transposema/MatrixForm输出为 4136527如果输入Transpose1,2,3输出中提示命令有错误. 由此可见, 向量不区分行向量或列向量.矩阵线性运算例 1.2 设 求,29174,62453BA.24,AB输入A=3,4,5,4,2,6;B=4,2,7,1,9,2;A+B/MatrixForm4B-2
6、A/MatrixForm输出为 432180567如果矩阵 A 的行数等于矩阵 B 的列数, 则可进行求 AB 的运算. 系统中乘法运算符为“.”,即用 A.B 求 A 与 B 的乘积, 也可以用命令 DotA,B实现. 对方阵 A, 可用 MatrixPowerA,n求其 n 次幂.例 1.3 设 求矩阵 ma 与 mb 的乘积.,148530297,36245mbma输入Clearma,mb;ma=3,4,5,2,4,2,6,3;mb=4,2,7,1,9,2,0,3,5,8,4,1;ma.mb/MatrixForm输出为 65423矩阵的乘法运算例 1.4 设 求 AB 与 并求,10,5
7、3029174BA,ABT.3输入ClearA,B;A=4,2,7,1,9,2,0,3,5;B=1,0,1;A.B输出为11,3,5这是列向量 B 右乘矩阵 A 的结果. 如果输入B.A输出为4,5,12这是行向量 B 左乘矩阵 A 的结果 这里不需要先求 B 的转置. 求方阵 A 的三次方, 输,BT入MatrixPowerA,3/MatrixForm输出为 2604759315例 1.5 (教材 例 1.1) 设 求 及,42103,21BAAB23.T输入A=1,1,1,1,1,1,1,2,3MatrixFormAB=3,2,1,0,4,1,1,2,4MatrixFormB3A.B2A/
8、MatrixFormTransposeA.B/MatrixForm则输出 及 的运算结果分别为AB23T34101028求方阵的逆例 1.6 (教材 例 1.2) 设 求,5123640A.1A输入Clearmama=2,1,3,2,5,2,3,3,0,1,4,6,3,2,1,5;Inversema/MatrixForm则输出 165216458019216647注: 如果输入Inversema/MatrixForm则得不到所要的结果, 即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式例 1.7 求矩阵 的逆矩阵.0279643851解 A=7,12,8,24,5,34,6,-8,32,4,30,24,-
9、26,9,27,0MatrixFormAInverseA/MatrixForm例 1.8 设 求,21370,521430BA.1BA输入ClearA,B;A=3,0,4,4,2,1,3,3,1,5,3,4,1,2,1,5;B=0,3,2,7,1,3,1,3,3,1,2,2;Inversema.B/MatrixForm输出为 1673589216对于线性方程组 如果 A 是可逆矩阵, X,b 是列向量, 则其解向量为, .1bA例 1.9 解方程组 .242,637zyx输入ClearA,b;A=3,2,1,1,-1,3,2,4,-4;b=7,6,-2;InverseA.b输出为1,1,2求方
10、阵的行列式例 1.10 求行列式 .351102423D输入ClearA;A=3,1,-1,2,-5,1,3,-4,2,0,1,-1,1,-5,3,-3;DetA输出为40例 1.11 (教材 例 1.3) 求 .1122ddccbbaaD输入ClearA,a,b,c,d;A=a2+1/a2,a,1/a,1,b2+1/b2,b,1/b,1,c2+1/c2,c,1/c,1,d2+1/d2,d,1/d,1;DetA/Simplify则输出2dcba)abcd1)()()(cab( 例 1.12 计算范德蒙行列式 .145432413325432xx输入Clearx;Van=Tablexjk,k,0
11、,4,j,1,5/MatrixForm输出为 444 333 222 51 111xxx再输入Detvan则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入Detvan/Simplify或FactorDetvan则有输出(x1-x2)(x1-x3)(x2-x3)(x1-x4)(x2-x4)(x3-x4)(x1-x5)(x2-x5)(x3-x5)(x4-x5)例 1.13 (教材 例 1.4) 设矩阵 求,6097573821467A.),(|3Atr输入A=3,7,2,6,4,7,9,4,2,0,11,5,6,9,3,2,7,8,3,7,5,7,9,0,6MatrixFormADetATrAMatrixP
12、owerA,3/MatrixForm则输出 分别为3),(|Atr115923125742680138594730615294206向量的内积向量内积的运算仍用“.”表示, 也可以用命令 Dot 实现例 1.14 求向量 与 的内积.3,21u0,1v输入u=1,2,3;v=1,-1,0;u.v输出为-1或者输入Dotu,v所得结果相同.实验习题1.设 求 及,150423,1BAAB2.2.设 求 一般地 (k 是正整数).,0.A?3.求 的逆.aaa111114.设 且 求,32104A,2BA.5.利用逆矩阵解线性方程组 .35,2121x实验 2 矩阵的秩与向量组的极大无关组实验目的
13、 学习利用 Mathematica 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组.基本命令1. 求矩阵 M 的所有可能的 k 阶子式组成的矩阵的命令:MinorsM,k.2. 把矩阵 A 化作行最简形的命令:RowReduceA.3. 把数表 1,数表 2, ,合并成一个数表的命令:Joinlist1,list2,. 例如输入Join1,0,1,3,2,1,1,5,4,6则输出 1,0,1,3,2,1,1,5,4,6实验举例求矩阵的秩例 2.1 (教材 例 2.1) 设 求矩阵 M 的秩.,815073223M输入ClearM;M=3,2,1,3,2,2,1,3,1,3,7,0,
14、5,1,8;MinorsM,2则输出7,11,9,5,5,1,8,8,9,11,14,22,18,10,10,2,16,16,18,22,7,11,9,5,5,1,8,8,9,11可见矩阵 M 有不为 0 的二阶子式 . 再输入MinorsM,3则输出0,0,0,0,0,0,0,0,0,0可见矩阵 M 的三阶子式都为 0. 所以 .2)(Mr例 2.2 已知矩阵 的秩等于 2, 求常数 t 的值.1t0732左上角的二阶子式不等于 0. 三阶子式应该都等于 0. 输入ClearM;M=3,2,-1,-3,2,-1,3,1,7,0,t,-1;MinorsM,3输出为35-7t,45-9t,-5+
15、t当 时, 所有的三阶子式都等于 0. 此时矩阵的秩等于 2.5t例 2.3 (教材 例 2.2) 求矩阵 的行最简形及其秩 .3241610957输入A=6,1,1,7,4,0,4,1,1,2,9,0,1,3,16,1,2,4,22,3MatrixFormARowReduceA/MatrixForm则输出矩阵 A 的行最简形0150根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为 3.矩阵的初等行变换命令 RowfReduceA把矩阵 A 化作行最简形. 用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆.例 2.4 设 求矩阵 A 的秩.,413228A输入ClearA;A=2,-3,8,2,2,12,-2,12,1
16、,3,1,4;RowReduceA/MatrixForm输出为 00321因此 A 的秩为 2.例 2.5 (教材 例 2.3) 用初等变换法求矩阵 的逆矩阵.3412输入 A=1,2,3,2,2,1,3,4,3MatrixFormATransposeJoinTransposeA,IdentityMatrix3/MatrixFormRowReduce%/MatrixFormInverseA/MatrixForm则输出矩阵 A 的逆矩阵为12/53/向量组的秩矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等 , 因此可以用命令 RowReduce 求向量组的秩.例 2.6 求向量组 的秩.)0,3
17、2(),54,0(),12,(31 将向量写作矩阵的行, 输入ClearA;A=1,2,-1,1,0,-4,5,-2,2,0,3,0;RowReduceA/MatrixForm则输出 00215431这里有两个非零行, 矩阵的秩等于 2. 因此, 它的行向量组的秩也等于 2.例 2.7 (教材 例 2.4) 向量组 是否线)7,513(),41(),1(),321(3性相关?输入ClearA;A=1,1,2,3,1,1,1,1,1,3,4,5,3,1,5,7;RowReduceA/MatrixForm则输出 012向量组包含四个向量, 而它的秩等于 3, 因此, 这个向量组线性相关.例 2.8
18、 向量组 是否线性相关?)3,1(),23(),72(1 输入ClearA;A=2,2,7,3,-1,2,1,1,3;RowReduceA/MatrixForm则输出 10向量组包含三个向量, 而它的秩等于 3, 因此, 这个向量组线性无关.向量组的极大无关组例 2.9 (教材 例 2.5) 求向量组 )0,512(),01,(),1470,3(),210(),421, 的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.输入ClearA,B;A=1,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14,1,1,2,0,2,1,5,0;B=TransposeA;RowReduceB/MatrixForm
19、则输出 002/51/3在行最简形中有三个非零行, 因此向量组的秩等于 3. 非零行的首元素位于第一、二、四列,因此 是向量组的一个极大无关组. 第三列的前两个元素分别是 3,1,于是421,第五列的前三个元素分别是 于是3 ,251.25145向量组的等价可以证明:两个向量组等价的充分必要条件是: 以它们为行向量构成的矩阵的行最简形具有相同的非零行, 因此, 还可以用命令 RowReduce 证明两个向量组等价.例 2.10 设向量 ),735,4(),125,8(),21,3(),1,2(21 求证:向量组 与 等价.,将向量分别写作矩阵 A, B 的行向量, 输入ClearA,B;A=2
20、,1,-1,3,3,-2,1,-2;B=-5,8,-5,12,4,-5,3,-7;RowReduceA/MatrixFormRowReduceB/MatrixForm则输出 713504与713504两个行最简形相同, 因此两个向量组等价.实验习题1.求矩阵 的秩.124126030A2.求 t, 使得矩阵 的秩等于 2.t233.求向量组 的秩.)0,1(),(),10(),( 431 4.当 t 取何值时, 向量组 的秩最小?32t5.向量组 是否线性相关?),2 6.求向量组 的最大线性无关组. 并用极大无关)65()4()3(31组线性表示其它向量.7.设向量 求证:向量组),632(
21、,0,18,062 21,与 等价.21,实验 3 线性方程组实验目的 熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用 Mathematica 命令各类求线性方程组的解. 理解计算机求解的实用意义.基本命令1.命令 NullSpace ,给出齐次方程组 的解空间的一个基.A0AX2.命令 LinearSolve ,给出非齐次线性方程组 的一个特解.bb3.解一般方程或方程组的命令 Solve 见 Mathematica 入门.实验举例求齐次线性方程组的解空间设 为 矩阵, 为 维列向量,则齐次线性方程组 必定有解. 若矩阵 的AnmXn0AXA秩等于 ,则只有零解;若矩阵 的秩小于 ,则有非零解,且所有
22、解构成一向量空间. 命令AnNullSpace 给出齐次线性方程组 的解空间的一个基.0例 3.1 (教材 例 3.1) 求解线性方程组 .0532,72,41431xx输入ClearA;A=1,1,2,1,3,2,1,2,0,5,7,3,2,3,5,1;NullSpaceA则输出2,1,2,3说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量( 2,1,2,3)是解空间的基.注:如果输出为空集 ,则表明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例 3.2 求解线性方程组 053272414321xx输入ClearA;A=1,1,2,-1,3,-2,-3,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1
23、;NullspaceA输出为 因此解空间的基是一个空集,说明该线性方程组只有零解.例 3.3 (教材 例 3.2) 向量组 是否)7,513(),41(),1(),321(3线性相关?根据定义, 如果向量组线性相关, 则齐次线性方程组 04321xx有非零解.输入ClearA,B;A=1,1,2,3,1,1,1,1,1,3,4,5,3,1,5,7;B=TransposeA;NullSpaceB输出为2,1,0,1说明向量组线性相关,且 0241非齐次线性方程组的特解例 3.4 (教材 例 3.3) 求线性方程组 的特解 .45322714321xx输入ClearA,b;A=1,1,2,1,3,
24、2,1,2,0,5,7,3,2,3,5,1;b=4,2,2,4LinearSolveA,b输出为1,1,1,0注: 命令 LinearSolve 只给出线性方程组的一个特解.例 3.5 求线性方程组 的特解.45322714321xx输入ClearA,b;A=1,1,2,-1,3,-2,-1,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1;b=4,2,2,4LinearSolveA,b输出为Linearsolve:nosol:Linear equation encountered which has no solution.说明该方程组无解.例 3.6 向量 是否可以由向量)4,312(， ，)1,
25、25(23,63线性表示?根据定义, 如果向量 可以由向量组 线性相关, 则非齐次线性方程组32,1321xx有解.输入ClearA,B,b;A=1,2,-3,1,5,-5,12,11,0,5,7,3,1,-3,6,3;B=TransposeA;b=2,-1,3,4;LinearsolveB,b输出为 , ,031说明 可以由 线性表示,且32,1213例 3.7 (教材 例 3.4) 求出通过平面上三点 (0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式 并,2cbxa画出其图形.根据题设条件有 输入,9246170cbaClearx;A=0,0,1,1,1,1,4,2,1y=7,6,9p=Li
26、nearSolveA,yCleara,b,c,r,s,t;a,b,c.r,s,tfx_=p.x2,x,1;Plotfx,x,0,2,GridLinesAutomatic,PlotRangeAll;则输出 的值为cba,2,3,7并画出二次多项式 的图形(略).72x非齐次线性方程组的通解用命令 Solve 求非齐次线性方程组的通解.例 3.8 求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足 的 4 次多项9)1(,20)(ff式 ).(xf解 设 则有,)(234edxcbxaf 92340310dcbaee输入Cleara,b,c,d,e;qx_=a*x4+b*x3+c*x2
27、+d*x+e;eqs=q0= =0,q1= =1,q-1= =3,q-1= =20,q1= =9;A,y=LinearEquationsToMatriceseqs,a,b,c,d;p=LinearSolveA,y;fx_=p.x4,x3,x2,x,1;Plotfx,x,-1,1,GridLines-Automatic,PlotRange-All;则输出所求多项式,435274319)( xxxf 非齐次线性方程组的通解用命令 solve 求非齐次线性方程组的通解.例 3.9 解方程组 5322141431xx输入Solvex-y+2z+w=1,2x-y+z+2w=3,x-z+w=2,3x-y+
28、3w=5,x,y,z,w输出为x 2-w+z,y 1+3z即 , .于是,非齐次线性方程组的特解为(2,1,0,0).对应的3412xx321x齐次线性方程组的基础解系为(1,3,1,0)与(-1,0,0,1).例 3.10 解方程组 371344212x解法 1 用命令 Solve输入Solvex-2y+3z-4w=4, y-z+w=-3,x+3y+w=1,-7y+3z+3w=-3,x,y,z,w输出为x -8,y 3, z 6, w 0即有唯一解 , ， ， .81x326x04解法 2 这个线性方程组中方程的个数等于未知数的个数,而且有唯一解 ,此解可以表示为 .其中 是线性方程组的系数
29、矩阵,而 是右边常数向量. 于是, 可以用逆阵计bAb算唯一解. 输入ClearA,b,x;A=1,-2,3,-4,0,1,-1,1,1,3,0,1,0,-7,3,1;b=4,-3,1,-3;x=InverseA.b输出为-8,3,6,0解法 3 还可以用克拉默法计算这个线性方程组的唯一解.为计算各行列式,输入未知数的系数向量,即系数矩阵的列向量.输入Cleara,b,c,d,e;a=1,0,1,0;b=-2,1,3,-7; c=3,-1,0,3;d=-4,1,1,1;e=4,-3,1,-3;Dete,b,c,d/ Deta,b,c,dDeta,e,c,d/ Deta,b,c,dDeta,b,
30、e,d/ Deta,b,c,dDeta,b,c,e/ Deta,b,c,d输出为-8360例 3.10 (教材 例 3.5) 当 为何值时,方程组 无解、有唯一解、有无穷a1321ax多解? 当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求 ,使行列式等于 0.a输入Cleara;Deta,1,1,1,a,1,1,1,a;Solve%0,a则输出a 2,a 1,a 1当 , 时,方程组有唯一解.输入a21Solvea*xyz1,xa*yz1,xya*z1,x,y,z则输出x y z ,2a1当 2 时,输入aSolve2x+y+z=1,x2y+z=1,x+y2z=1,x,y,z则输出 说明方程组
31、无解.当 =1 时,输入aSolvex+y+z=1,x+y+z=1,x+y+z=1,x,y,z则输出x 1yz说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解系为为(1,1,0)与(1,0,1).例 3.11 (教材 例 3.6) 求非齐次线性方程组 的通解.25344211xx解法 1 输入A=2,1,1,1,3,2,1,3,1,4,3,5;b=1,4,2;particular=LinearSolveA,bnullspacebasis=NullSpaceAgeneralsolution=t*nullspacebasis1+k*nullspacebasis
32、2+Flattenparticulargeneralsolution/MatrixForm解法 2 输入B=2,1,1,1,1,3,2,1,3,4,1,4,3,5,2RowReduceB/MatrixForm根据增广矩阵的行最简形, 易知方程组有无穷多解. 其通解为(k,t 为任意常数) 07/561/907/54321tkx实验习题1.解方程组 .024,31x2.解方程组 .178,6354321xx3. 解方程组 .,4312x4.解方程组 .25,4321xx5.用三种方法求方程组 的唯一解.12789,32131xx6.当 为何值时,方程组 有唯一解、无解、有无穷多解?对ba123)
33、(04314axxb后者求通解.实验 4 投入产出模型(综合实验)实验目的 利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,建立在经济分析中有重要应用的投入产出数学模型. 掌握线性代数在经济分析方面的应用.应用举例假设某经济系统只分为五个物质生产部门:农业、轻工业、重工业、运输业和建筑业, 五个部门间某年生产分配关系的统计数据可列成下表 1. 在该表的第一象限中,每一个部门都以生产者和消费者的双重身份出现. 从每一行看,该部门作为生产部门以自己的产品分配给各部门;从每一列看,该部门又作为消耗部门在生产过程中消耗各部门的产品. 行与列的交叉点是部门之间的流量,这个量也是以双重身份出现,
34、它是行部门分配给列部门的产品量,也是列部门消耗行部门的产品量.表 1 投入产出平衡表( 单位: 亿元)物质生产部门 最终产品农业轻工业重工业运输业建筑业产出投入 1 2 3 4 5合计积累消费合计(Y)产品(X)农业轻工业重工业运输业建筑业123456008132445117800450454757125013627102252013050250305160125625751101740842436345055012013594528511551650215298465120177022871043750127535103129540612001825物质生产部门合 计 1167 1850 3
35、522 411 995 7945 2640 4485 7125 15070折旧(D) 70 158 300 154 51 733物质消耗合计(C) 1237 2008 3822 565 1046 8678净产品劳动报酬(V)社会纯收(M)184742640072192865627036567710241222270总产品(X ) 3510 3129 5406 1200 1825 15070注: 最终产品舍去了净出口.在第二象限中,反映了各部门用于最终产品的部分. 从每一行来看,反映了该部门最终产品的分配情况;从每一列看,反映了用于消费、积累等方面的最终产品分别由各部门提供的数量情况.在第三象限
36、中,反映了总产品中新创造的价值情况,从每一行来看,反映了各部门新创造价值的构成情况;从每一列看,反映了该部门新创造的价值情况.采用与第三章第七节完全相同的记号,可得到关于表 1 的产品平衡方程组(1)yxAE)(其中,A 为直接消耗系数矩阵,根据直接消耗系数的定义 ,易求出表 1),21,(njixajij 所对应的直接消耗系数矩阵: 063.425.037.2.0371. 1164.85.9.80329.5.02.7.10. 146387359542560271103214588030960)(ijaA利用 Mathematica 软件(以下计算过程均用此软件实现,不再重述),可计算出 10
37、36.07395.98264.06714.03. 8421552 7.249 1.6)(1AE为方便分析,将上述逆矩阵列成表 2.表 2 部门 农业 1 轻工业 2 重工业 3 运输业 4 建筑业 5农业 1轻工业 2重工业 3运输业 4建筑业 51.241750.04921560.3025730.0350220.06377610.4026511.201660.4951450.05944450.06721490.152540.00065522.166530.1008050.09529640.08741440.07520550.5292591.054470.07391050.1322480.12
38、20050.8594870.08842031.11036下面我们来分析上表中各列诸元素的经济意义. 以第 2 列为例,假设轻工业部门提供的最终产品为一个单位, 其余部门提供的最终产品均为零, 即最终产品的列向量为于是,轻工业部门的单位最终产品对 5 个部门的直接消耗列向量为)0,1(Ty 027.415.387.0063.425.037.2.0371. 164.85.9.803902.7.1.)0(Ayx通过中间产品向量 产生的间接消耗为)(x, 02537.14689.5.)()1(Ax 017259.86.4519.)(2)(xA, 0573.24.9)(3)(xA 031879.24.)
39、(4)(xA于是,轻工业部门的单位最终产品对五个部门总产品的需求量为 )4()()2()1( xxxy.0629.5347.192.0 031879.24.56078.057.42.9601.019.867.20359.53467.1029.85 其中向量 为列昂惕夫逆矩阵 的第 2 列, 该列 5 个元素分别是部门 2 生产一个单x1)(AE位最终产品对部门 1、2、3、4、5 总产品的需求量, 即总产品定额. 同理, 可以解释列昂节夫逆矩阵中第 1、3、4、5 列分别是部门 1、3、4、5 生产一个单位最终产品对部门1、2、3、4、5 的总产品定额.对应于附表 1 的完全消耗系数矩阵 10
40、36.07395.98264.06714.03. 842552 7.249 13.07.0124.06.7.0)(EAB最终产品是外生变量, 即最终产品是由经济系统以外的因素决定的, 而内生变量是由经济系统内的因素决定的. 现在假定政府部门根据社会发展和人民生活的需要对表 1 的最终产品作了修改, 最终产品的增加量分别为农业 2%, 轻工业 7%, 重工业 5%, 运输业 5%, 建筑业4%, 写成最终产品增量的列向量为 ,)51.37,209.16,435( Ty则产品的增加量 可由式(8)近似计算到第 5 项, 得x 51.37209.64551.37209.6451.37209.6451
41、.37209.645.5.10)()2()1()0( AAxyx.)803.749.516.238749.083.12( T其中, 为各部门生产 直接消耗各部门产品数量;而后面各项的和为各部门生yAx)0y产 的全部间接消耗的和.y实验报告下表给出的是某城市某年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量(均以产品价值计算, 单位: 万元), 表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值.农业 轻工业 重工业 建筑业 运输业 商业 外部需求农业 45.0 162.0 5.2 9.0 0.8 10.1 151.9轻工业 27.0 162.0 6.4 6.0 0.6 60.0 338.0重工业
42、 30.8 30.0 52.0 25.0 15.0 14.0 43.2建筑业 0.0 0.6 0.2 0.2 4.8 20.0 54.2运输业 1.6 5.7 3.9 2.4 1.2 2.1 33.1商业 16.0 32.3 5.5 4.2 12.6 6.1 243.3(1) 试列出投入产出简表, 并求出直接消耗矩阵;(2) 根据预测, 从这一年度开始的五年内, 农业的外部需求每年会下降 1%, 轻工业和商业的外部需求每年会递增 6%, 而其它部门的外部需求每年会递增 3%, 试由此预测这五年内该城市和各部门的总产值的平均年增长率;(3) 编制第五年度的计划投入产出表.实验 5 交通流模型(综
43、合实验)实验目的 利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,建立交通流模型. 掌握线性代数在交通规划方面的应用.应用举例假设某城市部分单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数) 如图 5.1 所示.30520476610205x3154x7x910x86图 51试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.假定上述问题满足下列两个基本假设(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量;(2)全部流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.于是, 根据图 5.1 及上述基本两个假设, 可建立该问题的线性方程组106241082503831097576442xxx即 106241082503010100100109876541xxx若
