1、考研数学模拟试卷一、选择题（110 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）设 ，则当 时， 是 的 xxgdtxfx 43sin02tan,1l 0xfg（ ）（A）等阶无穷小 （B）同阶但不等价的无穷小（C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小（2）下列结论中正确的是 （ ）(A) 与 都收敛. （B ） 与 都发散.1)(xd10)(x1)(xd10)(x(C) 发散， 收敛. (D) 收敛， 发1)(10)(d1)(10)(d散.（3）设函数 具有连续二阶偏导数，且满足条件 及 ，yxf, 22yfxx,
2、，则 （ ） 2,fx fx,（A） （B）35x34（C） （D）x4 5（4）设 , , ,dyID21cos dyxID)cos(2 dyxID23)cos(其中 ，则 （ ）1),(x(A) . （B ） .123II321II(C) . (D) . 33（5）设可微函数 满足 ， ，则 （ xf0lim0xfxduxff 20sin）（A） 是 的极小值0ff（B） 是 的极大值0fxf（C） 是曲线 的拐点,xfy（D） 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点ff0, xfy（6）设 是连续函数， 是 的原函数，则 （ ）xfxFf（A）当 是奇函数时， 必为偶函数；（B）当 是偶函数
3、时， 必为奇函数；xfx（C）当 是周期函数时， 必为周期函数；F（D）当 是单调增函数时， 必为单调增函数xf x（7）设 均为 n 阶方阵，且满足 ，其中 为 n 阶单位矩阵，BA, EABC则 （ ）（A） （B）ECTT22（C） （D） B2 EA（8）已知矩阵 经初等行变换，化为 ，则必有4321A 1023（ ）（A） （B）3214 32143（C） （D） 线性无关 42,（9）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 10 0.4 a1 b 0.1已知随机事件 与 相互独立，则 （ ）(A) =0.2, b=0.3 (B) =0.4, b=0.1a(C) =0.3
4、, b=0.2 (D) =0.1, b=0.4 a（10）设随机变量 不相关，则下述选项不正确的是 （ ）,（A） （B）0covD（C） （D）DE二、填空题（1116 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.）（11） xxx1lncosi5ilm20（12）微分方程 满足初始条件 的特解为 0y2)1(y（13）微分方程 的通解为 xxl（14）设行向量组 ， ， ， 线性相关，且 ，则 = )1,2(),(a),3()1,4(1a（15）设矩阵 相似于对角矩阵，则 10xAx（16）设二维正态变量 的边缘分布为 ，且 ，YX, 1,0,4NYX0xy则 P三、解答题（
5、1724 小题，共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17） （本题满分 8 分）设 具有二阶连续导数，且 ，求)(uf )(),(yxffyxg.22ygx（18） （本题满分 9 分）设函数 在区间 上连续，在 内可导，且 ， xf1,01,001f12f试证：(I) 存在 ，使 ；,2f(II)对任意实数 ，必存在 ，使得 ,01ff（19） （本题满分 9 分）某厂生产两种产品，总收入 与两种产品的产量 和 的函数关系是Rxy22150,yx总成本 与产量 和 的函数关系是CxyxyxC27,（I）在产量 和 不受限制的情况下，该厂应如何确定两种产品的产量，才可获得
6、最y大的利润？ 最大利润是多少？ （II）若限于原料供应情况，要求两种产品的总产量固定为 30 不变时，又应如何安排生产，才可获得最大的利润？这时的最大利润是多少？（20） （本题满分 8 分）设 ， 在0，1上的导数连续，且 ， , )(xfg0)(xf)(xf0)(g证明：对任何 a ,有10a adgdfxg10 .1)(（21） （本题满分 13 分）线性方程组（i） 与（ii）032421axx0245331xbx有公共的非零解，求 的值和全部公共解b,（22） （本题满分 13 分）设 A 为三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，且满足321,， ， .32A32A(I) 求矩阵 B
7、, 使得 ；B),(),(1321（II）求矩阵 A 的特征值；（III）求可逆矩阵 P, 使得 为对角矩阵P（23） （本题满分 13 分）设 ， 相互独立， 服从区间 上的均匀分布， 服从参数为 的指数分XYX1,0Y2t布，求 的概率密度函数Z（24） （本题满分 13 分）某公司新近生产了某种电子元件 5 套，其中甲等品 3 套现有宏达与茂源两家企业先后来购买这种元件，宏达购买 1 套，源茂购买 2 套，设 ， 分别表示宏达和源茂购买到的甲等品套数求：(I) 与 的联合分布律；(II) 与 的相关系数 数学模拟试卷参考答案详解一、选择题（110 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每
8、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1） B【详解】 xxxdtgfx 232043sin020 sectan4i1lcoslima1llmli 13sectant43ilisectanili 2023220 xxxx所以选 B（2） D【详解】 = ，积分收敛，1)(xd2ln1ln= ，积分发散.10)(x)(0l（3）B【详解】把 两边对 求导，有 ，再求导，有xf2, 12,xfxfya 0,4524, xffxf yxyyxxy再把 两边对 求导，有 2x fxfy,b由 a 与 b 得 xfx34,【重点提示】 要善于利用等价无穷小
9、的替换，如当 时，0x，xx1ln,si等都是等价无穷小， 也是比较常用的等价无穷小xe,cos【重点提示】 直接计算相应积分，判定其敛散性即可。广义积分敛散性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形。（4）A【详解】 在区域 上，有 ，从而有1),(2yxD102yx20)(由于 在 上为单调减函数，于是xcos)2,0(2cosyx)cos(2yx2)cos(yx因此 ，故应选(A)dyxD2cs dD dD2（5） A【详解】 因为 可微，所以 连续，则xfxf，0lim0x 0lim0xffx因为 ，xutdtfdf0所以 2000sinlli xdufxff xx 1lim1lis
10、inlm02020 fdtfxxx所以 是 的极小值ff【重点提示】 本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论，关键在于比较 、 与 在区域2yx22)(yx上的大小1),(2yD【重点提示】 注意当 时， 是 的驻点，此时，若 ，则0xfxf 0xf在 处取得极小值，反之则 在 处取得极大值若 ，则xf0 f0 0不是极值点【重点提示】本题的重难点是对多元函数求偏导，计算时要仔细，要注意当具有连续二阶偏导数时， 。yxf, yxxf（6） A【详解】 设 ， 是连续函数，所以 可导，且 若xdtfF0xf xFxf为奇函数，则 ，此时xf dufuft
11、x00为偶函数（7）A【详解】：把 两边同时转置，得 ，则 与EBCEABCATTTTC互为逆矩阵，则 T EATT（8） A【详解】 初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，对于变换后的矩阵，显然有 ，所以 4321 32143214（9）B【详解】 由题设，知 ，又事件 与 相互独立，于是有5.0ba0X1Y1,PYXP即 = ，由此可解得 =0.4, b=0.1a)(4.0a（10） C【详解】 因为 不相关，所以相关系数 ，, 0从而 ，,covD， ED,cov2【重点提示】 直接利用定义求出原函数，本题也可通过举反例来一一排除，如等xfxf,1【重点提示】本题属于基本题型，直接
12、利用概率基本公式求解即可【重点提示】 初等行变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系，初等列变换不改变矩阵的行向量之间的线性关系，这是矩阵变换的基本性质【重点提示】首先所有概率求和为 1，可得 , 其次，利用事件的独立性5.0又可得相关等式由此可确定 a , b 的取值二、填空题（1116 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.）（11） 25【详解】 xxx1lncosiilm20 xxxx 1sinco15sin1lncoslim342025（12） 2xy【详解】 原方程可化为 ，积分得 ，代入初始条件得 C=2，故所求特解0)(xyCxy为 xy（13） Cxey【详解
13、】 原方程可写为 令 ，则 ，代入原方程，xydyln1xyzxdz得 ，分离变量得 两边积分得：zdxzlndzlnCzlnl即 （其中 C 为任意常数） ey（14） 21【重点提示】 本题属于基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可，若在某变化过程下， ，则 如当 时，)(x).(li)(li xfxf0，1ln,si等都是等价无穷小xe【重点提示】 直接积分即可.本题虽属于基本题型， 也可先变形 ，再积xdy分求解【重点提示】 这是微分方程中比较常见的题型，是齐次方程与可分离变量方程的复合形式，解分离变量方程的方法必须掌握【重点提示】 注意不论如何都得不到 ，这个等式绝对不成立D
14、【详解】 由题设，有 , 得 ，但题设 ，1234a0)12(21,a1a故 .21a（15） 0【详解】 ，021012xAE解得： 2,1321又因为 A 可对角化，所以 A 的属于特征值 的线性无关的特征向量有 2 个，1即 有非零解0XE所以 ，而 ，所以 1r 02xE0（16） 21【详解】 因为 ，所以 与 相互独立，又 ，0xyXY1,0,4NYX则 ，所以 5,1NYX1P2三、解答题（1724 小题，共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）【详解】 由已知条件可得，)(2yxffxyg【重点提示】个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可
15、确定 a当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性【重点提示】 容易先求出 A 的特征值，然后根据可对角化方阵的性质，得到的秩不是满秩，再通过行列式为 0 来求解 的值x【重点提示】 如果 ，所以 与 相互独立，这是判断独立的一种方法。0xy相互独立的正态变量的线性运算仍是正态变量，要注意运算后的正态变量的数学特征的变化，)(1)()(2423 yxffxyfxg，)()(1fyffy，)()()()( 32222 yxfxfxffxg 所以 =22yx)()()(22yxfyxfxyf )()(22yxfxf= .f（18）【证明】 (I)设 ，则 在 上连续，且 ，x
16、fFF1,2021F，由介值定理可知存在 ，使 ，即 01F,0f(II)设 ，则 在 上连续，在 内可导，且xfexGxG,0,1 xffe又 由罗尔定理可知，存在 ，使得0,0,0G即 1ff（19）【详解】 （I）由题意可知总利润函数 ，令702108, 2yxyxyQ，解得 。042108xQyx ,3【重点提示】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可，但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性【重点提示】 先构造函数，再根据连续与可导的性质，利用中值定理证明问题，其中关键在于构造函数，这就需要经验，要掌握一些比较常见的函数的构造又产量 和 不受限制，所以计算表明当 时可获得最大利润，且
17、最xy 10,3yx大利润为，即为所求10,3,maxQ（II）由题意得 y此时可引入拉格朗日函数 ，令30, yxQxF，解得 ， 。0342108yxyx1,22所以当 时可获得最大利润，且最大利润为,， 9102,maxQy（20）【证明】 设 ，)(xF gxfdtgtfdtftg010)1()()(则 F(x)在0 ，1上的导数连续，并且 ， )()()()(xfxff由于 时， ，因此 ，即 F(x)在0，1上单调递减1,00,g0又 ，)(F010)1()()( gfdttfdtftg101 0dttft= ，10)()(ttff所以 F(1)=0.因此 时， ，由此可得对任何
18、，有1,0x)(xF1,0aa gafdxgfdxfg010 ).1()()(【重点提示】 先求出总利润函数，再通过导数为 0 来求极值，求出最大利润。在第（II）问中，由于总产量固定为 30 不变，故通过构造拉格朗日函数来求极值【重点提示】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不等式，二是通过恒等变形，如变量代换、分部积分等，再用积分的不等式性质进行讨论（21）【详解】 因为线性方程组（i） 、 （ii）有公共的非零解，所以它们的联立方程组（iii ）有非零解，即（iii）系数矩阵 A 的秩小于 4。对
19、矩阵 A 进行初等行变换，得，所以 06231002145312babaA 3,2ba且 r此时可解方程组 ，得 ，即为（iii）的一个非零解03241xT132又 ，所以 构成（iii）的基础解系。因此， （i）和（ii ）的全部公共解为AR（其中 k 为任意常数）Tk120（22）【详解】 （I） ，可知 3120),(),(321321A .3120B（II）因为 是线性无关的三维列向量，可知矩阵 可逆，所以321, ,2C，即矩阵 A 与 B 相似，由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值.AC，得矩阵 B 的特征值，0)4(131202BE也即矩阵 A 的特征值为 .,2（III）对
20、应于 ，解齐次线性方程组 (E-B)X=0，得基础解系21， ；T)0,1(T)1,02(对应于 ，解齐次线性方程组(4E-B)X=0，得基础解系43 .)1,0(3T【重点提示】 若方程组有非零解，系数矩阵的秩小于 n（n 为未知数的个数） ，求解线性方程组是非常重要的一个知识点令矩阵 ，则102321Q .4011BQ又因为 ，)()(11 CAQCB令矩阵= ，102321QP323121,则 P 即为所求的可逆矩阵（23）【详解】 因为 ， 相互独立，所以 ， 的联合密度函数为：XYXY其,00,12, yxeyxfy当 时， ，0zZFfZ当 时，1zYXPzzxxydede0202
21、112zzZeFzf2当 时， 1zYXPZ 102021 dxedyexzzzz1zzZeFf 22所以 00112zezfzZ【重点提示】 利用(I) 的结果相当于确定了 A 的相似矩阵，求矩阵 A 的特征值转化为求 A 的相似矩阵的特征值，这是问题的关键（24）【详解】 （I） 与 的联合分布律为：0 1 20 0 5243C51431 15324C24024（II）由（I）可算出 ，则53,9,56, EDE【重点提示】 对于独立的随机变量，有 而当yfxyfYX,时，有 ，积分时要仔细YXZzPzZzFZ 【重点提示】 求 与 的联合分布律是比较简单的，主要是计算要仔细，算完后检查一下，看所有概率相加是不是等于 1，计算相关系数直接利用公式即可
