1、1实验三：线性系统的频域分析一、实验目的：1、掌握傅立叶级数（FT） ，学会分析连续时间周期信号的频谱及 MATLAB 实现；2、掌握傅立叶变换 F（jw） ，了解傅立叶变换的性质以及 MATLAB 实现。3、掌握信号抽样与恢复的原理，能够用 MATLAB 实现一般信号的采样与恢复。二、实验内容：1、练习并验证实验指导书上实验十-十四的内容。2、画出书中 P121（121 页）的方波图形进行傅立叶级数展开，对其波的分解与合成进行验证，并注意吉伯斯现象。3、利用符号法中傅立叶变换函数：fourier(f,t,w) ifourier(F,w,t)对下列函数进行正反傅氏变换（1）求单位阶跃函数的微积
2、分、正反傅氏变换 Heaviside(t)（2）求单位冲击函数的微积分、正反傅氏变换 Dirac(t)（3）求门宽为 2 的门函数的傅氏变换4、利用数值法用定义求门宽为 2 的门函数的傅氏变换，画出频谱图，并对此信号进行移时与移频，观察频谱的变化。与 3 中的（3）进行比较5、编制一个抑制载波双边带幅度调制的程序，调制信号为正弦信号，频率为10Hz，载频为 100Hz，要求画出调制信号，已调信号的时域图形和频域图形。已知调制函数：modulate(x, fc, fs, am) fft(f,N)6、分别对抽样信号 Sa（t）进行临界采样、过采样和欠采样、并由采样信号恢复原信号，计算二者的误差并比
3、较三种情况下的采样误差。三、实验数据处理与结果分析：*注：在运行以下的所有的程序时，其存储同根目录下已经存在 u（t）的M文件函数，程序如下： function f=u(t) f=(t0)；1. 画出书中 P121（121 页）的方波图形进行傅立叶级数展开，对其波的分解与合成进行验证，并注意吉伯斯现象.编写程序如下：波的分解部分:t=0:0.01:2*pi;2y=zeros(10,max(size(t);x=zeros(10,max(size(t);for k=1:2:9x1=sin(k*t)/k;x(k, : )=x(k, : )+x1;y(k+1)/2, : )=x(k, : );endp
4、lot(t,y(1:9, : );grid on;合成部分：t=-1:0.001:1;omega=2*pi;y=square(2*pi*t,50);plot(t,y),grid onxlabel(t),ylabel(周期方波信号 )axis(-1 1 -1.5 1.5)n_max=1,3,5,11,47;N=length(n_max);for k=1:Nn=1:2:n_max(k); 3b=4./(pi*n);x=0;x=x+b*sin(omega*n*t);figure;plot(t,y);hold on;plot(t,x);hold off;xlabel(t),ylabel(部分和波形)a
5、xis(-1 1 -1.5 1.5),grid ontitle(最大谐波数=,num2str(n_max(k)end原周期信号最大谐波数=1：4最大谐波数=3：最大谐波数=5 时5最大谐波数=11：最大谐波数=47 时：6从上面的一系列图中可以看出，随着 fourier 级数的项数增多，部分和与周期方波信号的误差越来越小，在 N=47 时，部分和的波形与周期方波信号的波形很接近，但是在信号的跳点附近，总是存在一个过冲，这就是 Gibbs 现象。2、利用符号法中傅立叶变换函数：fourier(f,t,w) ifourier(F,w,t)对下列函数进行正反傅氏变换（1）求单位阶跃函数的微积分、正反
6、傅氏变换 Heaviside(t)（2）求单位冲击函数的微积分、正反傅氏变换 Dirac(t)（3）求门宽为 2 的门函数的傅氏变换（1）syms t wf=sym(Heaviside(t)b=diff(f,t)c=int(f,t)F=fourier(f,t,w)f=ifourier(F,w,t)f1=simple(f)在 command window 中看到的结果：f =Heaviside(t)b =Dirac(t)c =Heaviside(t)*t7F =pi*Dirac(w)-i/wf =1/2+1/2*Heaviside(t)-1/2*Heaviside(-t)f1 =Heavisid
7、e(t)（2）syms t w sf=sym(Dirac(t)a=int(f,t)F=fourier(f,t,w)f=ifourier(F,w,t)f1=simple(f)L=laplace(f,t,s)f=ilaplace(L,s,t)在 command window 中看到的结果：f =Dirac(t)a =Heaviside(t)F =1f =Dirac(t)f1 =Dirac(t)（3）syms ff=sym(Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1)F=fourier(f)ezplot(abs(F);在 command window 中看到的结果：f =Heavisi
8、de(t+1)-Heaviside(t-1)F =2/w*sin(w)绘出其频谱图形：3、利用数值法用定义求门宽为 2 的门函数的傅氏变换，画出频谱图，并对此信8号进行移时与移频，观察频谱的变化。与 3 中的（3）进行比较程序如下：dt=0.02;t=-2:dt:2;f=stepfun(t,-1)-stepfun(t,1);W1=2*pi*5N=2000;k=-N:N;W=k*W1/N;F=dt*f*exp(-j*t*W);F=abs(F);P=angle(F);subplot(311);plot(W,F);xlabel(w);ylabel(F(jw);title(频谱图F);%频移f1=f.
9、*exp(-j*10*t);F1=dt*f1*exp(-j*t*W);F1=abs(F1);P1=angle(F1);subplot(312);plot(W,F1);xlabel(w);ylabel(F1(jw);title(频谱图F1);%时移f2=stepfun(t,1)-stepfun(t,3);F2=dt*f2*exp(-j*t*W);F2=abs(F2);P2=angle(F2);subplot(313);plot(W,F2);xlabel(w);ylabel(F2(jw);title(频谱图F2);9得到的是幅频图，对比上一题中（3）用公式法做的幅频特性图，二者相同。F1和 F2
10、分别是验证 Fourier 变换的频移性质和时移性质。符合理论性质。4、编制一个抑制载波双边带幅度调制的程序，调制信号为正弦信号，频率为10Hz，载频为 100Hz，要求画出调制信号，已调信号的时域图形和频域图形。编写程序如下：Fm=10;Fc=100;Fs=1000;N=1000;k=0:N-1;10t=k/Fs;x=abs(sin(2.0*pi*Fm*t);xf=abs(fft(x,N);y2=modulate(x,Fc,Fs,am);subplot(211);plot(t(1:200),y2(1:200);xlabel(时间（ s）);ylabel(幅度);title(调幅信号);yf=
11、abs(fft(y2,N);subplot(212);stem(yf(1:200);xlabel(频率（ H）);ylabel(幅值);理论上，DSB 信号的调制时在包络过零变化时会有相位 180的跳变，从上面第一幅图可以看出这种跳变。频谱图也与 DSB 条幅波信号频谱相同。5、分别对抽样信号 Sa（t）进行临界采样、过采样和欠采样、并由采样信号恢复原信号，计算二者的误差并比较三种情况下的采样误差。临界采样程序：wm=1; 11wc=wm; Ts=pi/wm; fs=1/Ts; ws=2*pi*fs;n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t
12、=-15:Dt:15;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t); t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(3,1,1);stem(t1,f1);subplot(3,1,2);plot(t,fa)e=abs(fa-sinc(t/pi);%误差subplot(3,1,3);plot(t,e)欠采样程序：wm=1; wc=wm; Ts=0.7*pi/wm; fs=1/Ts; 12ws=2*pi*fs;n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi
13、);Dt=0.005;t=-15:Dt:15;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t); t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(3,1,1);stem(t1,f1);subplot(3,1,2);plot(t,fa)e=abs(fa-sinc(t/pi);%误差subplot(3,1,3);plot(t,e)过采样程序：wm=1; wc=wm; 13Ts=1.5*pi/wm; fs=1/Ts; ws=2*pi*fs;n=-100:100; nTs=n*Ts; f
14、=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-15:Dt:15;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t); t1=-15:0.5:15;f1=sinc(t1/pi);subplot(3,1,1);stem(t1,f1);subplot(3,1,2);plot(t,fa)e=abs(fa-sinc(t/pi);%误差subplot(3,1,3);plot(t,e)14四、实验总结：本次实验的主要任务是连续时间系统的频域分析，通过前一阶段对 MATLAB 实验内容的学习，这次实验我操作熟练了许多。我掌握了周期信号图形的傅里叶级数展开，会对其波进行分解和谐波的合成，在合成的过程中还观察到了 Gibbs 现象。对于不是周期性的信号，在本次实验中，对其进行傅里叶变换，得到 F（jw） ，并对傅里叶变换一些性质进行验证，进一步深化了信号的时域和频域的关系。对于信号的抽样，我们由 Nyquist 抽样定理知道时域信号的抽样间隔，我还分别写出过采样、临界采样、欠采样三种情况的程序，并对其频谱进行了比较，验证了抽样定理的正确性。这次实验让我对课本上实验的内容有了进一步的巩固，更好地掌握了所学习的知识，以后仍需对这些软件多加练习。
