1、第 1 页 共 9 页广东海洋大学 20112012 学年第 二 学期 高 等 数 学 试题答案和评分标准 考试 A 卷 闭卷课程号： 19221101x2 考查 B 卷 开卷题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师各题分数 21 14 28 32 5 100实得分数一、填空（37=21 分）1. 设 ，则 ， 1,20,1abbaba2. 过点 且与平面 垂直的直线方程为 () 0xyz3. 设曲线 ，则 = L:cos,in(2)xtt2()LxydsA4. 改变积分次序 = 210,xdfy5. 函数 的傅立叶级数在 x= 处收敛于 ()yx6. 函数 在点 处的梯
2、度为 2z(1,7. 微分方程 通解为 sin5yx y二 .计算题（72=14 分）1. 设 ，求 .2xzydz2.设 是由方程 所确定的具有连续偏导数的函数，),(yxfz10zxye求 .,班级： 姓名： 学号： 试题共 6 页 加白纸 3 张 密 封 线GDOU-B-11-302第 2 页 共 9 页三 .计算下列积分（74=28 分）1. ，其中 是由直线 以及 所围成的闭区域。()DxydDy0,x12. ，其中 是由 围成的闭区域。2Dsin()xydD21xy3. 设曲线积分 在整个 平面内与路径无关，(1,)0()xydkxy xoy求常数 ，并计算积分值。k第 3 页 共
3、 9 页4. 计算 ,其中 是区域 的2xdyzxzdyA01,01xyz整个表面的外侧。四 .计算题（84=32 分）1. 判别级数 是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件1)3nn（收敛。2. 将函数 展开为 的幂级数。23()xfe第 4 页 共 9 页3. 求微分方程 的通解。3yx4.求微分方程 的通解。2yx五. 设级数 收敛，证明级数 也收敛。 （5 分）12nu21()nu第 5 页 共 9 页试题答案和评分标准一、填空（37=21 分）8. 设 ，则 -1 ，1,20,1abbaba2,139. 过点 且与平面 垂直的直线方程为 () 0xyz1xyz10.设曲线 ，则 =L
4、:cos,in(2)tyt2()LxydsA11.改变积分次序 =210,xdfy10,ydf12.函数 的傅立叶级数在 x= 处收敛于 0 ()yx13.函数 在点 处的梯度为2z(1,2,14.微分方程 通解为sin5yx y21sin5xc二 .计算题（72=14 分）2. 设 ，求 .2xzydz解： （2） （2）,()x4()xy（2）zddy= （1）224()()xdyxy第 6 页 共 9 页2.设 是由方程 所确定的具有连续偏导数的函数，),(yxfz10zxye求 .,解： 在方程两边对 x 求偏导数， （1）（2）0zzyex得， （1）1zx在方程两边对 y 求偏导数
5、，（2）0zzxey得， （1）1zxye三 .计算下列积分（74=28 分）4. ，其中 是由直线 以及 所围成的闭区域。()DxydDy0,x1解：区域 D 可表示为 ， （1）0,yx（3）xyd10()xd= （2）1203= （1）5. ，其中 是由 围成的闭区域。2Dsin()xydD2xy解：区域 D 在极坐标下可表示为 ， （2）0,1r第 7 页 共 9 页原= （3）2120sindr= （1）(co)= （1）1s6. 设曲线积分 在整个 平面内与路径无关，(1,)0()xydkxy xoy求常数 ，并计算积分值。k解：设 则 （2）,PxyQPxy，所以 （2）,1k1
6、k原式= =1 （3）00()xdy4. 计算 ,其中 是区域 的2xyzxzdyA01,01xyz整个表面的外侧。解：设 V 是由 围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原式= (3)dvzyx)2(= (1)dvV4= (2)=4 （1）四 .计算题（84=32 分）第 8 页 共 9 页3. 判别级数 是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件1)3nn（收敛。解： = 发散， （2）1)3nn（ 1单调减少， ， （3）lim03n所以 收敛，并且是条件收敛。 （3）1)nn（4. 将函数 展开为 的幂级数。23()xfe解： （4）0!nxe（2）30()!nx， （2）2230()!nxfex3. 求微分方程 的通解。3yx解： 的通解为 ， （2）0yce设原方程的通解为 ，代入方程得 ()xy，得 （4）()3xce 3cec原方程的通解为（2）xyce4.求微分方程 的通解。2y解：特征方程为 ，特征根为 （2）2012,第 9 页 共 9 页对应的齐次方程的通解为 （2）21xyce124yx是原方程的一个特解 （2）原方程的通解为 （2）214xyxce五. 设级数 收敛，证明级数 也收敛。 （5 分）12nu21()nu证： 24（2）2nnuu24()n而 收敛， 也收敛。 （1）12n214n由比较判别法知，原级数收敛。 （2）
