1、84P.94 习题1已知直线运动方程为 。分别令 ，求从 至2510ts01.,t 4t这一段时间内运动的平均速度及 时的瞬时速度。tt4 4解 平均速度 tttttsv 55)()()( 22当 时，1t 10150t当 时， .0 .0.4当 时， 5v瞬时速度 )(lim)4(lim00 ttsstt2等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。解 设旋转体时刻 转过的角度为 ，若极限 存在，则定义该极t)(t0)(li0tt限值为旋转体在时刻 的角速度。0t3设 ， ，试求极限)(0xf4)(0xf xfx)(lim0解 4)()(lilim0000 f
2、fffxx4设 ，试确定 ， 的值，使 在 可导。3)(2baf abf3x解 要使 在 可导， 在 必连续，于是必左连续。fxfx，从而 。9)()(lim)(li33 fxx ab3在 的右导数 。f 6lim3li 233 xxfx左导数为 aabaff xxx 39lili)(li)3( 32385只要 ，则 在 的左导数与右导数相等，从而可导。这时6af3x 9b5试确定曲线 上哪些点的切线平行于下列直线：yln（1） （2）x1xy解 函数 的导数 ，两直线平行的条件是斜率相等。yl（1）直线 的斜率为 1，于是由 ，得 ，所以曲线 上点xx1xyln处的切线平行于直线 。)0,(
3、 y（2）直线 的斜率为 2，于是由 ，得 ，所以曲线 上2x2xxyl点 处的切线平行于直线 。)ln,1(1y6求下列曲线在指定点 P 的切线方程与法线方程：（1） （2）)1,(,42xy )1,0(,cosPx解 （1） 42lim)(4lilim) 22 xxxx切线方程为： ，法线方程：y1y（2） 0sin)0(,sinx切线方程为： ，法线方程：1yx7求下列函数的导数：（1） （2）3|)(xf01)(xf解 （1） 0|)(3xf当 时， ；当 时， ；0x2xf23)(xf86当 时， ， ，所以 。0x0lim)(30xfx 0lim)(30xf 0)(f（2）当 时，
4、 ；当 时， ；1)(f)(f当 时， ， ，左导数与右导数不0x0li0x1li0xx相等，所以 在 不可导。f8设函数 （m 为正整数） ，试问：01sin)(xxfm（1）m 等于何值时， 在 连续；f（2）m 等于何值时， 在 可导；0x（3）m 等于何值时， 在 连续。f解 （1） ，故对任意正整数 m， 在 连)0(1sinlm)(li00 fxxf0x续。（2） ， 11sinlisil0)(li)( 000 xxxff mxxx 不 存 在故当 时， 在 可导。1mf（3）先计算 的导函数。 ，0x000 00000 )1sin(1sin)(lim 1sinsi1sinsilm
5、sisil)0 00xxx xxxf mx mm 870201020010 0001002 1cossincossin sinlm)(lm0 xxxx xxmxx 20)i(li)1i(li)(li 2000 mf mxxx 不 存 在由（2）知， ，于是当 时，有 ，所以当 时，f 20()liffx在 连续。fx9求下列函数的稳定点：（1） （2）xfcosin)(xfln)(解 （1） ，令 ，得稳定点为：fin)( 0sico，k 为整数。4x（2） ，令 ，得稳定点为：xf)( 01)(xf 1x10设函数 在点 存在左右导数，试证 在点 连续。0f0证明 设函数 在点 存在左右导数
6、，于是f )()(lim)(lim00000 xxfxfxx )()(lili 00000 ffxx从而 ，即 在点 左连续。同理可证 在点 右连续。因而)(li0ffxf f0x在点 连续。f8811设 ， ，求0)(g0,1sin)(xgxf )(f解 01sin)(limsi)(li0)(lim)0( 00 xgxxff xxx（因为 ）)(0 gg12设 是定义在 R 上的函数，且对任何 ，都有f Rx21,)()(21fxf若 ，证明对任何 ，都有1)0(f x证明 在 中令 ，可得 .)()212xfx021)(f在 中令 ，得(1ff ，于是有 ，)1xx )()()( 1111
7、 xffxfxf 从而有 ，xfxff )()(111所以 xffff xx 1)(lim)(lim)( 101101 )()(li 1101 fffffx 13证明：若 存在，则)(f 2li 000 xfxfx 证明 fxf)(lim0089)(2)(lim)(lim00000 xfxffxffxx 14证明：若函数 在 上连续，且 ， ，f,baKbfaf)(bfaf则在 内至少有一点 ，使),(baKf)(证明 因为 ，所以由函数极限的局部保号性，存在点0lim)(axfax的右邻域 ， ，使得当 时，有 ，a;10U2b);(11aU0)(1axff于是 .又因为 ，所以也存在点 的
8、左邻Kafxf)(1 0)li)(bxffbx b域 ， ，使得当 时，有 ，于是有;(20bb);(2020)(2xff，从而 . 因为函数 在 上连续，于是在fxf)2 )(12xfxff,ba上连续，由闭区间上连续函数的介值定理，至少存在一点 ，,1 ),(21bax使得 .Kf)(15设有一吊桥，其铁链成抛物线型，面端系于相距 100 米高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下 10 米处，求铁链与支柱所成之角.解 建立坐标系如图，设铁链曲线为 ，由题意有2axy2501a于是 . 铁链在悬点的切线250斜率为 ，从而铁链与支柱所成之角为5tan0x 52arctn16在曲线 上取一点
9、，过 的切线与该曲线交于 ，证明：曲线在 处的3yPQ切线斜率正好是在 处切线斜率的四倍.证 曲线 上点 处的切线斜率为 ，过 点的切线方程为3x),(0y203xyP. 该切线与曲线 的交点 满足：)(020y3x),(1yx100o90，于是有 ，310201)(xy )(3012031xx，20021x，从而 . 所以曲线在点 处的切线斜率为：)(1x012xQ，正好是在 处切线斜率的四倍.20234y PP.103 习题4对下列各函数计算 )1(),(),xffx（1） （2） （3）3)(xf13xf解 （1） ， ， 2)()(xf 2)1()(（2）令 ，则 ，于是 。从而tx3
10、t 2tf， ，2)(3)f 2)1()(xxf 231x也可以如下进行：在 两端分别对 求导数，得 ，再令3)(xf x23)1(xf，.tx1（3）令 ，则 ，于是 。从而tx3)1(tf 2)(3)tf， ，2)()f 2)( xx231x6设 为可导函数，证明：若 时有 ，f 1x)()(22xfdxf则必有 或0)1()(f证明 因为 ， ，所以当 时有)(2xfdx )(2)(xfxfd191， ，由题设，有 ，)1(2)(1fxfd)1(2)(12fxfd )1(2)(ff于是 ，从而 或0ff 0ff另证：当 时x)1(2(lim1)(li )1()(li)(11 2222 f
11、xtf xfxfffdtx )1(2)1(li1)(li )1()(li1122 ffxxf fxxffdx xx 由题设，有 ，于是 ，从而 或)2ff 0ff 0)1(f)(fP.105 习题4证明曲线 ， （ ）上任一点的法线到原点距离等于 .)cos(inittayx0aa证明 曲线上点 处的切线斜率为 , 法线斜率为 . 于是), tdxyantco该点的法线方程可表示为 0)(cs)(sittyt . 从而原点 到该法线)0,(的距离为 axty|oin|co)(in)(| 225证明：圆 （ ）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.si2r0证明 由教材 P.105, 公式
12、(5), 切线与向径的夹角 的正切为，所以切线与向径的夹角等于向径的极角.tancosi)(tan6求心形线 的切线与切点向径之间的夹角.)1r解 切线与切点向径之间的夹角 的正切：92，所以)2tan(cosin)1()tan a 2P.109 习题2设函数 在点 处二阶可导，证明：若 ，则在 处有fx 0)1(,)(ff 1x)()(2fdfx证明 因为 在点 处二阶可导，所以在 的某邻域内 一阶可导，并且f1x1xf，)(2)(fxfd 0)(2)(12ffdx，)()(22xff )()(12ffx在 处有1x 0)1(2)(1)(lim1)(2)(lim)(li112 fxfxff
13、xfffdx xx所以在 处有 )()(22xfdf3求下列函数的高阶导数 ，求xef3)()(10f解 由 Leibniz 公式，有 )72030(6)( 231021010310 xxeCxeCxf xxx5求下列函数的 n 阶导数： 因为 ，所以xxy)1( 11)()()( )(!nnnn93 因为 ， ， ，由xyln1l1)(!kkxkkxx)!1()(ln(Leibniz 公式，得 nk knkn xxCxy1111)( )!()!)(l! nknknnx 1111 )(l!)(l!)( y解 因为 xxxnn 11121所以 1)()!nny bxeasi解 )sin(coss
14、in)n( 2 bxeabxexeaaax其中 ， ， . 2sib2rct)os()sin()in( bxebxaexe aa 2in(222 x一般地可推得 )sin()()sin(2bxeabxeaa 7研究函数 在 处的各阶导数.|3f0解 首先计算一阶导数：因为 ，所以当 时，0|)(3xxf 0x94，当 时， . ，23)(xf 023)(xf 0lim0)(li)0( 30 xxffx，所以 . 于是 .lim)0(3xf )(f 3)(2xf其次计算二阶导数：当 时， ，当 时， . 0xxf6)(0xf6)(， ，所以 ，3li)(li)0( 20 fff xx lim)(
15、20xf 0)(f从而 .6)(xf三阶导数： ， ，6lim0)(lim)0( 0 xfffx 6lim)0(xf所以 不存在 . )(f故 , 当 时, 不存在.)(f3n)(nf8设函数 在点 三阶可导，且 . 若 存在反函数xy0x)(xf，试用 ， 以及 表示 .)(1fx)(ff)(f)(1yf解 ，)(1)(1xfyf32121 )()()()( xfxfyxfdyf 所以 6231 )()()( xffdyfffyf 95524 )()(3)()(13)(1 xffxfxffx 9设 yarctn 证明它满足方程 02)1(yx 求 0)(|xny解 由 ，于是有21 1)(2
16、yx上式两端对 求导，得x0)1(2 上式对 求 阶导数，得n)1()()( ()1()2( nnn yxyyx由 ，得 ；由 ，得 ；由yarct020，得 ；由2)1(x)(y，11()()()( nnn yy得 . 从而有 ，00)()2( y 0)2(m)!2(1)(12mym10设 xarcsin 证明它满足方程 （ ）0)12()1( )(2)()(2nnn yxy 求 0)(|xny解 用数学归纳法证明：由 ，于是有 ，21xy yxxy )1()(223即 时，有0n960)1(2yx假设 时，有kn)( )(2)1()(2kkkyx上式对 求导数，得x 2)2()1(2)3(
17、2)2( 1(11 xxykykxy kkkk 02)1(2xk于是有 ，即当 时，0)1()1()( )(2)2()3( kkk yxyy 1kn等式也成立. 在 中的方程中令 得 . 再从 ， ，0x)()(22nn )()(y可得到 ，)0(2my)12( !1mym11证明 函数 在 处 阶可导且 ，其中0)(2xexf n0)(nf为任意正整数.n证明 用数学归纳法证明 : , , 其中 为次数不超过213)()(xnnepxf0)(xpn的多项式. 而对任何自然数 , 有 , 于是n3mli210mx )0()(li0nnxffP.116 习题3求下列函数的高阶微分：（1）设 ，求
18、xevxu)(,ln)( )(,33vud解 因为97x xxxxex eevuCvuduv)ln32( ln132)3 232313 所以 32333 )ln()( dxxduvdx)ln32( )(ln1)()3 2333xxe exeeev xxx 所以 323)l()dxevud（2）设 ，求xcos),2)(,33vu解 因为 )2sin8co62sin3co81( )2sin8()cos4(13)i(4)(2 223133 xxe xeeevuCvudxuvx xxx 所以 323 )7i()( deuvd )2tan1(sec42tansec43sc81)(223 xxxxxx
19、32 )t65(t de 322 )2tan48ta1tn8349(sc xxxxe P.117 总练习题981设 ，证明：dcxbay 2)(证 dcbaxdcxbaay 22)(1)( cnn11)( )(!证 用数学归纳法证明.2证明下列函数在 处不可导：0x 32)(xf证 ，所以 在 处不可导3103200limlilimxxx 32)(xf0 |1|ln)(f证 1)ln(im|1|lni|1|lni0|li 0000 yxxx yxxx )l(i)l(i|lim|1|lnim0000 yxxx左导数与右导数不相等，所以 在 处不可导.|1|ln)(f3 举出一个连续函数，它仅在已
20、知点 不可导；na,2解 |)()(|)(21naxaxf 举出一个函数，它仅在点 可导,1解 ，其中 为 Dirichlet 函数.)()()( 2221 xDxxf n )(x4证明： 可导的偶函数，其导函数为奇函数；99 可导的奇函数，其导函数为偶函数； 可导的周期函数，其导函数为周期函数.证 设 为可导的偶函数，即对任何 有， ，两端分别对 求导f x)()xffx数，得 ，所以导函数 为奇函数；)()(xf f 设 为可导的奇函数，即对任何 有， ，两端分别对 求导数，x)()(xff x得 ，所以导函数 为偶函数；)()xff f 设 为可导的周期函数，即存在常数 ，使得对任何 有
21、， ，Tx)(xfTf两端分别对 求导数，得 ，所以导函数 为以 为周期的周期函数.x)(xfxf f5对下列命题，若认为是正确的，请给予证明；若认为是错误的，请举一反例予以否定： 设 ，若 在点 可导，则 在点 可导；ff0x,0x解 此命题是错误的. 例如，设 ，其中 是)()(,)(xD)(xDirichlet 函数. 则 处处可导，但 处处不可导 .f , 设 ，若 在点 可导， 在点 不可导，则 在点 一定不可导；0x0xf0x证 反证法. 假设 在点 可导，由于 在点 可导，则 在点 可导，f这与 在点 不可导矛盾.0x 设 ，若 在点 可导，则 在点 可导；ff0x,0x解 此命
22、题是错误的. 例如，设 ，则为 无 理 数为 有 理 数x1)(处处可导，但 处处不可导.1f , 设 ，若 在点 可导， 在点 不可导，则 在点 一定不可导.f0x0xf0x证 若 ，则 在点 一定不可导. 反证法. 假设 在点 可导，由于)(0xf100在点 可导且 ，则 在点 可导，这与 在点 不可导矛盾0x0)(xf0x0x若 ，则 在点 不一定不可导. 例如， ，则 处处可)(0f0 f导.6设 在点 连续， ，求 和 . 问在什么条件下)(xa)(|)(xaxf)(aff存在？)(af解 )()(|lim)(li)( axaxff axax |mf当 时， ， 存在.0)()(ff
23、f7设 为可导函数，求下列各函数的一阶导数：f )(xfey解 )()()()()()( xfefexfeff xxfxf (xy解 )()xfff8设 为可导函数，求 ：,y 22)()(xy解 若 ，则0y若 ，2 )(2)(2)()(12 xxx )(arctnxy101解 )()()()()(1 2222 xxxxy （ ）log)(1,0,解 )(ln)(l)()(ln2xxy )(l)(2xx9设 （ ）为可导函数，证明：fij nj,1,nk nnnkknnnnn xfxfffff xfxffxfxfffffdx1222211121221121 )()()()()()()()( 证 利用导数的定义及行列式的性质，得 )()()()()()( )()()(1lim 2122112121 22 1120 xfxfffffxfxfxf fffx nnnnnnn n nknnn kkkkk nx xfxfxf ffffff xfxfxf1 21 2221 110 )()()( )()()(lim 102nk nnnkknxfxfffff xfxff12222111 )()()()( 13)(xF解 1032132020)( xxxx )5(364142x xxF20)(2解 232322 60160631)( xxxx
