1、新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！Part 1：人教版八年级上册数学分析执笔人：武汉市翠微中学 陈浩 430050 QQ：442052942第 11 章 全等三角形分析一、教科书内容和课程学习目标【目标】本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明。
2、【地位】通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等） ，同时为学习其他图形知识打好基础。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。也是武汉市中考中的重要内容，在武汉市中考中的地位也越来越突出。【重、难点】从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。这既是本章的重点，也是教学的难点。教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。在掌握了“
3、边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。 “边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。在“三角形全等的判定”一节中，得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。用这些结论可以判定两个三角形全等。三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理处理。但是，这些定理（除“边边边”定理外）的证明方法都比较特殊。学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，在正式学习推理证明的开始阶段，并不要求学生掌握。所以
4、为了突出重点，突出判定方法这条主线，本章中上述判定方法都是作为基本事实（公理）提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性。值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等” ，则是利用“两角和它们的夹边新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！CD BAy0xCD BAy0x对应相等的两个三角形全等”证明的。运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” （HL）判定两个直角三角形全等。本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过画图和实
5、验，使学生确信它的正确性。在“角的平分线的性质”一节中，介绍了角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等” “角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。教科书用三角形全等证明了前一个结论，并结合证明过程总结了证明一个几何命题的一般步骤。这两个结论是互逆定理。为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备。
6、得到：角平分线时的辅助线的方法（定理）与如何证明角平分线的方法（逆定理）举例：例 1（2006 年黄陂区期中考试题、定理）如图，在平面直角坐标系中，点A，B ， C，D， O 为五个旅游城镇，他们之间都有笔直的公路相通，OC 平分AOB ，公路AO 所在的直线的解析式为 ，公路 AB 所在的直线的解析式为 ，xy43 3204x（1） 求出 A 城镇的坐标；（2） 有公汽行驶在城镇之间，其票价与路程成正比，已知各城镇间的公汽票价如下：O A ：4 元 ； A B ：3 元O B ：5 元； O D ：4 元现将举办一个绕 B，C，D 三城的 “环行一周游”旅游项目，按上述标准能否确定此项目的公
7、汽的票价？若能，求出其票价；若不能，试说明理由。新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！例 2（2008 年汉阳区期中考试第 16 题、定理）如图，AOCBOC15，DCx 轴，CBx 轴于点 B，点 D、B 的横坐标分别为 2+ ，4+ ，则点 C 的坐标为 .3 OyxABCD例 3（2008 年汉阳区期中考试题第 22 题）如下图，点 P 为ABC 角平分线上的一点，D 点和 E 点分别在 AB 和 BC 上，且 PDPE，试探究BDP 与BEP 的数量关系，并给予证明 （BDP+BEP=180 ）21EAB CPD变式 1：若在 BC 上截取
8、BQ=BD，求证：PQ=PE变式 2：过 P 作 PABA，试写出 BE、BD、BA 之间的数量关系；（BD+BE=2BA）新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！例 4（2008硚口区期中考试题、逆定理）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？如图 11，是小红的做法，他的画法正确吗？请用全等三解形的知识来说明理由.利用三角板的刻度尺在AOB 的两边上，分别取 OM=ON.分别过 M、N 画 OM、ON 的垂线，交点为 P.画射线 OP.所以射线 OP 为AOB 的角平分线.例 5（2009湖南怀化市中考试题）如图 9，P 是BAC
9、内的一点，PEABFC，垂足分别为点 EF， ， A求证：（1） P；（2）点 P 在BAC 的角平分线上 【简而言之】本章的学习目标如下：1了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。例 6 （2009海南省中考卷第 5 题）已知图 2 中的两个三角形全等，则 度数是（ ）图 11新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！A.72 B.60 C.58 D.502探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。3了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。二、
10、本章编写特点（一）注重探索结论在“三角形全等的判定”一节设计了 8 个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：探究 1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等；探究 2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等；（SSS）探究 3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；（SAS）探究 4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；（SSA）探究 5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；（ASA）探究 6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；（AAS）探究 7：三
11、个角对应相等，两个三角形是否一定全等；（AAA）探究 8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形是否一定全等。(HL)探究 27 让学生探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究 3，探究 4两种情况） ，一边两角（包括探究 5，探究 6 两种情况） ，三个角，这样学生容易把握探索的过程。探究 1、 （两个条件不可） ，探究 4、 （SSA） ，探究 7（AAA ）是不一定能判定全等的情况，探究 2、探究 3、探究 5、探究 6 是能判定全等的情况。其中应该记住（SSA） ，探究7（AAA ）的两个特例。例
12、 7 （2009江苏省）如图，给出下列四组条件：新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！； ；ABDECFAD， ， BEBCEF， ，；， ， 其中，能使 的条件共有（ ， ， AD ）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组（二）注重推理能力的培养证明是数学的最高境界目前再不是七年级的说点理了，本章开始要求学生严格的进行证明，为了解决这个难点，教科书做了一些努力。1注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步做准备，下一步
13、又注意复习前一步训练的内容。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。2在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生分析问题、根据需要选择有关的结论去证明的能力。3注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。例如，在“三角形全等的判定”一节证明例 1 的结论“ABDACD”以前，首先指出证题的思路：“要证ABDACD ，可看这
14、两个三角形的三条边是否对应相等。”为了清楚地表达上述思考过程，引入“” “”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。（三）注重联系实际在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动他们学习的积极性。又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！ll图2图1AB CDE FFEDCBA出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。用三角形全等可以
15、说明实际测量方法的道理，教科书在例题和习题中安排了测量池塘两端的距离、测量河两岸相对两点的距离、用卡钳测量工件的内槽宽等内容，还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。三、几个值得关注的问题（一）关于内容之间的联系在“全等三角形”一节，让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转（全等变换）前后的图形全等的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。透视全等三角形的三大类型武汉市翠微路中学 陈 浩 （430050） （本文发表在中学生天地2007 年第 3 期上）与“三角形全等”有关的问题林林总总，习题又可变式发散，这样题量就千千
16、万万，浩瀚无边，但其类型不外乎以下几种，抓住了全等三角形的几种类型，就抓住了问题的精髓，从而发现证明“全等”问题的方向现分类透视，供同学们学习时参考一、平移型全等三角形把ABC 沿着某一条直线 l 平行移动，所得DEF 与ABC 称为平移型全等三角形有时这条直线就是ABC 的某一条边所在直线下图 1，图 2 是常见的平移型全等三角形新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！lBA DCE图6lECDAB图7lDCBA图4l DCAB E图5在证明平移型的全等型试题中，常常要碰到移动方向上的边的加（减）公共边，为边长相等创立条件如图 1，若 BEFC，则
17、BEEC FCEC，即：BCFE如图 2，若BE FC，则 BEECFCEC ，即：BCFE例 1 如图 3，ABC 中，A90，ADBC 于 D 点， C 的平分线 CE 交 AB、AD于 E、G ，过 G 作 FGBC 交 AB 于 F 点试说明：AEBFH图3GFED CBA提示：过 E 点作 EHBC 于 H 点证AFGBEH，得BE AF，BE EF AFEF即 AEBF 二、轴对称型全等三角形把ABC 沿直线 l 翻折后，能与另一个三角形重合，则称它们是轴对称型全等三角形下图是常见的轴对称型全等三角形，其对称轴 l 是对称点所连线段的垂直平分线识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐
18、含条件，例如有些具有公共边（如图 4 中的 AC，有些具有公共角或对顶角（如图 6、图 7 中的ACB DCE）例 2 （2008哈尔滨市）已知：如图，B、E、F、C 四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAOD例 3 如图，把 ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则A 与新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！图10 图11图9B BCEDAADECEDCBA1+2 之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A、1+2=2A B、1+2=AC、A=2（1+2） D、1+2=
19、A21三、旋转型全等三角形1旋转一个任意角度将ABC 绕顶点 C 旋转后，到达 DCE 的位置，则称ABC 和DCE 为旋转型全等三角形如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形识别旋转型全等三角形时，要注意图 9、10、11 中，ACB 和DCE 隐含着一个等量减（加）等量的条件，通常用边角边（SAS）来识别两个三角形全等例 4 （ 2008辽宁大连市）如图 12，P 是正ABC 内的一点，若将PAC 绕点 A 逆时针旋转到PAB ，则PAP 的度数为_ （PAP=60，请读者自己证明） 例 5 （2008河南省）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在 ABC 中，
20、AB=AC， P 是 ABC 内部任意一点，将 AP 绕 A 顺时针旋转至12ABC DE新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！图15图14图13CA BODEFAB O DEOFEDCBAAQ，使 QAP= BAC，连接 BQ、 CP，则 BQ=CP ”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了 ABQ ACP，从而证得BQ=CP 之后，将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外，原题中的条件不变，发现“ BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明2旋转角度为 1800把果把ABC 绕着一个点 O 旋转 180，得到另一个相应的三角形，那么这两个三角
21、形称为中心对称型全等三角形，点 O 称为对称中心中心对称型全等三角形是旋转型全等三角形的一个特例（旋转角度为 1800）如图所示是常见的中心对称型全等三角形，对称点连线都经过对称中心 O，且被点 O 平分例 6 （2008黄石市中考试题）如图， 是 上一点， 交 于点 ，DABFACE，CFAB求证： AECACF例 7 （2009莆田市中考试题）已知：如图在 中，过对角线 的中点ABCDB作直线 分别交 的延长线、 的延长线于点OEFDABD、 、 EMNF、 、 、 （1）观察图形并找出一对全等三角形： _ _，请加以证明； AB CD E F图Q PCBAAQBPC图新课标网（http:
22、/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！EBM ODNFCA EBM ODNFCA（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？为了使学生更全面地认识“全等”和“全等三角形” ，教科书安排了“阅读与思考 全等与全等三角形” 。这篇阅读材料以师生对话的形式对“全等”和“全等三角形”的相关问题作了进一步的介绍。全等是几何中的重要概念，是学生今后几何学习的重要基础。以三角形为载体介绍全等的知识，原因主要包括两个方面：一是三角形是最简单的多边形，可使学生在相对简单的图形环境中学习全等；二是任意多边形都可以分解为若干三角形，从而有利于把
23、全等的知识推广到其他多边形。对全等三角形的研究分为“性质”和“判定”两个方面，这两个方面是相辅相成的。认识到这一点，有利于学生今后对如平行四边形的性质和判定等知识的学习。作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图：（1）已知三边作三角形；（2）作一个角等于已知角；（3）已知两边和它们的夹角作三角形；（4）已知两角和它们的夹边作三角形；（5）已知斜边和一条直角边作直角三角形；（6）作已知角的平分线。（二）关于证明解决推理入门难是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考。只有学生自己思考了，才能逐步熟悉推理的过程，掌握推理的方法。课堂
24、上要注意与学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面。教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考时间。一般情况下，证明一个几何中的命题有以下步骤：（1）明确命题中的已知和求证；新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。分析证明命题的途径，这一步学生比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。在一般情况下，不要求写出分析的过程。有些题目已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当
25、然” 。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。在本章中还会遇到通过举反例说明两个三角形满足某些条件不一定全等。判断一个命题是假命题，只要举出一个反例。找反例对学生来说是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现反例。教师要根据学生的情况进行指导，尽量多发现几个反例，使学生学会举反例。问题链中的意外插曲（中学数学 07 年第 3 期）陈 浩 1 李乐利 2 【1：武汉市翠微中学 430050 2：武汉市黄陂区教研室 430300】美国数学家哈尔莫斯指出：“定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题才是数学的心脏” 数学的思维是解决问题的
26、心智活动，为引导学生不断深入思考，再创，从深层次，多角度思考问题，笔者在全等三角形这一章，特意设计了如下的问题链，却出现了一个让人意外小插曲，让人意外，但又回味悠长！首先给出：问题链 I：命题 1：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等命题 2：有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等对于这两个命题，大多数同学能顺利完成推广链 II：将命题中的“高”分别换成“中线” ，得到命题 3：有两边和其中一边上的中线对应相等的两个锐角三角形全等命题 4：有两边和第三边上的中线对应相等的两个锐角三角形全等新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！
27、图 2A DBCC图 1CEDCBA对于命题 3 的证明，学生不会感到困难，命题 4 利用“中线倍长”也可解决链 III：将命题中的“中线”分别换成“角平分线” ，得到类似命题命题 5：有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个锐角三角形全等命题 6：有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个锐角三角形全等弱化链 IV：将上述 6 个命题中的锐角三角形中的“锐角”去掉，判断这 6 个命题的真假，从而认识三角形的“高”的特殊性，得到 “有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等” ， “有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 ”这两个命题不成立现画出反例图形如下：如图 1，CCAE，BC
28、=BC， ABC 与ABC中，AB=AB，BC=BC，AB 边上的两条高 CD、CE 相等，明显 ABC 与ABC不全等，如图2，ABC 与ABC 中，AB= AB，BC =BC，AC 边与 AC边上的高相同，明显ABC 与ABC也不全等以上探究活动，较好地复习巩固了三角形全等的知识，同时通过类比思想，引导学生得到探究问题的方法至此，笔者正准备进入下一个环节，一生提出： 链 V：命题 7：有两边及两边夹角的平分线对应相等的两个三角形全等此言一出，语惊四座，猜想声，讨论声不绝入耳，眼看形势难收，于是提出让学生课后讨论、实践、实验、测量验证，初步得到这是一个真命题，但全等的几个判定方法不太适用，事
29、隔数日，终不能如愿，后笔者查找资料，为学有余力的同学提供两种较好的证明方法：方法一：利用斯台沃特定理ABC 中，BC=a，AC= b，AB=c，D 为 BC 任意一点，BD =u，CD=v， AD=t引理【1】： （斯台沃特定理）uvt22新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！E图 3ADB CDB CAD CBA图 4引理【2】：当 AD 为ABC 的角平分线时， ( 其中 p= )2apbct2cb引理【1】证明：如图 3，过 A 作 AEBC 于 E， 设 DE=x， 则有， 2222 )()(txucxvbAE(若 E 在 BC 的延长线上，
30、则将 换成 )于是有： vvuxct22消去 x 得： )()(2vucbtv uacbt22引理【2】证明：当 AD 为 ABC 的角平分线时，由三角形平分线定理得：， ，代入引理1中，得引理【2】cbuv 222 )()( cbacbaat 设 a+b+c=2p， 得 （这就是内角平分线公式）)(pt于是，如图 4，在ABC 中和ABC 中，设 AB=AB=c， AC=AC=b， BC=a， BC=a 又 a+b+c=2p， a +b+c=2p AD= A D，由引理【2】得： )(2)(cpbcp(p-a)=p (p -a) 即 44(22acbab a=a ， 即 BC=BC 则两三角
31、形的三边对应相等，由“SSS”可以证明命题 7 是真命题方法二、利用余弦定理： 新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！ DB CAD CBA图 5证明：如图 5，在ABC 中和ABC 中，设 AB=AB=c， AC=AC=b， AD=AD=y， BAD=CAD=，BAD=CAD=，由余弦定理知： ,cos22yBD ,cos22ybCD同理： ,2yc2b Cbc22B coscos222 byby化简后得： 0)()(2（1）若 b=c，可由等腰三角形的知识很快证明，这里不再赘述（2）可由“相似三角形”的相关知识证明， 2ybc（3） ， ， ，
32、，即0)cos(020BAC=BAC则命题 7 的正确性，可由“SAS”得证对于数学在探究之中提出的问题，不要一棒子打死，让他们在探究，实验，测量之中得到乐趣，得到探究的欲望，若教师加以适当的辅导，让优秀的学生看得更远，飞得更高，同时也能教学相长！改进证明：AB=AB，AC=AC，AD，AD分别是BACBAC的平分线，AD=AD，求证ABCABC新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！DECBAED CBA证明：，AB=AB，AC=AC，AD=AD，则ABDABDCCDE=DE，则 AE=AE，证明ABEABE（SSS） ，则BAD=BAD，则BAC=
33、BAC，则ABCABC（SAS）拓展命题 1：有两边和其中一边的对角的平分线对应相等的两个三角形全等。命题 2：有两边和其中一边的中线对应相等的两个三角形全等。命题 3：有三条中线对应相等的两个三角形全等。命题 4：有三条高线对应相等的两个三角形全等。参考中小学数学教师版 2007 年第 1-2 期全等三角形判定中的几个拓展命题 ，作者：浙江省慈溪市附海镇初级中学 童浩军（三）基本思路与基本习题一、关注基本图形与基本结论二、关注图形变换中的证明例 4 （2008河北省中考试题）如图 14-1， ABC 的边 在直线 l上，ACB，且 C； EFP 的边 也在直线 l上，边 EF与边 重合，且E
34、FP（1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 与 P所满足的数量关系和位置关系；新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！（2）将 EFP 沿直线 l向左平移到图 14-2 的位置时， EP交 AC于点 Q，连接 AP，BQ猜想并写出 B与 A所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将 沿直线 l向左平移到图 14-3 的位置时， 的延长线交 的延长线于点，连接 P， 你认为（2）中所猜想的 BQ与 AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由证明：（1） ABP； A （2） BQAP； 证明：由已
35、知，得EF， F， 45E又 C， 45QPCCQ在 RtB 和 tACP 中， B， 90A， ， ， Q如图 3，延长 BQ交 P于点 MttQ ， 12在 RBC 中， 390，又 4，241 90QMA BAP（3）成立证明：如图 4， 5EPF， 45CQ又 ACB， C 在 RtQ 和 t 中，BCA， 90ACP， QP， RttBCQAP A（E）B C（F） P l l lA AB BQPEFF CQ图 14-1 图 14-2图 14-3EP ClAB F CQ图 3M1234EPlABQPEF图 4NC新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢
36、迎您下载！BQAP如图 4，延长 交 于点 N，则 PBCQ RttBACP ，C在 RtCQ 中， 90，90APB 90 A三、借题掘题、变式训练题基：如图 1，ABC 中，AC =BC，ACB =90，AE 平分 BAC 交 BC 于 E，BD AE于 D，求证：BE=2CD 。图 1 EDCBA【实例 1某报期中考试模拟试题】 如图，等腰 RtABC 中，BAC90 0，点A、C 分别在 y 轴、x 轴上（1）如图 17，若已知点 A 的坐标为（ 0，2） ，OC 5，求 B 点的坐标；（2）如图 18，点 P 是第一三象限的平分线 DQ 上的一动点，是否存在点 P，使得PAC的面积是
37、 12，若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，说明理由；（2）如图 19，将ABC 绕 C 点旋转，使得 x 轴恰好平分 ACB ，AC 交 x 轴于点 N，过B 点作 BMx 轴于 M 点，写出 NC 与 BM 的数量关系，证明你的理由；DNM图 3yxO CBAQP图 2yxO CBA图 1yxO CBA新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！变式 1：如图 1，BE 是等腰 RtABCABC 的平分线，过 E 作 EDBC 于 D 点，求证：EDC 的周长等于 AB 的长。ED CBA变式 2：如图 2，连接 AD，求证：ADB=45；图 2 E
38、DCBA变式 3：如图 3，若点 P 为ABC 外一点，且APC=135 ，判断 BP、PC 的位置关系；（key： BPPC） （附加： PB、PC、PA 之间还有一个的数量关系，略）图 3 PCBA变式 4：如图 4，ABC 中，AC =BC，ACB =90，AE 平分 BAC 交 BC 于E，BD AE 于 D，DMAC 交 AC 的延长线于 M连接 CD，求 的值。 （key：ACB新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！）12EM图 4 DCBA变式 5：如图 5，延长 BA、CD 交于 F 点，求证：AF+CE=AB；FE图 5 DCBA变
39、式 6：如图 6，过 A 作 ATBD 于 T 点，写出 AT、TE、BE 之间的数量关系；（key：AT+TE= ） 。 （附加：AT+TE=CD）12BE T E图 6 DCBA变式 7：将题目中的条件“AE 平分BAC”改为“AE 平分BAC 处的外角” ，其他条件不变，上述还成立吗？ 四、立足课本、变式编拟新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！例 4 （课本习题）如图 1，ABC 中，B、C 的平分线交于 O 点，过 O 点作EFBC ，分别交 AB、AC 于 E、F 两点，判断 BE、CF、 EF 之间的数量关系；图 1FE OCBA变式
40、1：如图 2，将“B、 C 的平分线交于 O 点”改为“B 与ACB 的邻补角交于O 点” ，其他条件不变，判断 BE、CF、EF 之间的数量关系；AB COE F图 2变式 2：如图 3，将“B、 C 的平分线交于 O 点”改为“B 的邻补角与ACB 的邻补角交于 O 点” ，其他条件不变，判断 BE、CF、EF 之间的数量关系。新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！AB COE F图 3变式 4：（2006北京市中考试题）如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解
41、答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。变式 5：如图，ABCD，BE 、CE 分别平分ABC、DCB，求证：AB+CD=BC；E DCBA(第 23 题图)O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图 2新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！变式 6：如图
42、，直线 y= x+1 分别与坐标轴交于 A、B 两点，在 y 轴的负半轴上截取13OC=OB。yxOFEDCBA（1） 求直线 AC 的解析式；（2） 在 x 轴上取一点 D（ -1，0） ，过点 D 做 AB 的垂线，垂足为 E 点，交 AC 于点 F，交 y 轴于点 G，求 F 点的坐标；（3） 过 B 点作 AC 的平行线 BM，过点 O 作直线 y=kx（k0） ，分别交直线 AC、BM于点 H、I，试求 的值。ABI第 12 章 轴对称分析【教材内容与目标】本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上，利用轴对称，探索
43、等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形。轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。在本新课标网（http:/）-最专业的中小学教学资源共享平台http:/ 欢迎您下载！章第 1 小节“轴对称”中，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，从整体上概括出轴对称的特征。结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质（解决折叠问题） ，并结合这一性质的得出，讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理。接下来，在第2 小节“作轴对称图形”中，通过作轴对称图形、简单的图案设计、确
44、定最短路线等活动，让学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。用坐标表示轴对称，从数量关系的角度刻画了轴对称。教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于 x 轴或 y 轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于 x 轴或 y 轴对称的图形。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质。由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛。而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因。在本章第 3 小节“等腰三角形”中，利用等腰三角形的轴对称性，得出
45、了“等边对等角” “三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容。【重、难点】在本章，轴对称的性质是本章的重点，轴对称的应用，利用轴对称设计图案，用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的。另外，等腰三角形的性质和判定也是本章的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛。按照整套教科书对于推理证明的安排，在“全等三角形”已经要求让学生会用符号表示推理（证明）的基础上，对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）三角形的性质与判定等） ，仍是要求学生证明。由于学生刚开始接触用符号表示推理，虽然教科书控制了证明难度，但是相对于上一章，推
