1、1103200111 李振宁1基于 KF 及相空间的交通流模型预测研究摘要 交通流模型是公路交通监控系统设计、分析、仿真、运行的基础。 由于交通流模型是一个高阶非线性时变系统, 这使得该模型的状态估计问题成为一个非常困难的问题。 这里简要描述了卡尔曼滤波法（Kalman Filter-KF）状态估计原理, 并对其与相空间重构的结合进行了探讨，使Kalman模型得到了一定程度上的完善。并由此提出了三种对交通流模型预测的方法，且对它们进行了分析评价。关键词 Kalman滤波 相空间重构 交通流预测 数据融合 一 引言Kalman 滤波模型是一种时域上的状态空间方法。它已经成为信号处理、通信与控制等
2、的基本计算工具之一，在航空、航天工业过程以及社会经济等各领域具有广泛的应用。近年来，卡尔曼滤波在计算机图像处理中也取得了较为广泛的应用，如车辆识别，人脸跟踪识别等。目前已有一些学者提出过基于卡尔曼滤波的交通流预测模型。对于交通系统而言，基础 Kalman 滤波模型忽视了它的多维性，而相空间正好弥补了 Kalman 滤波模型的这一缺点。经过实力分析，二者结合能更好的预测交通流特性。二 基于 Kalman 滤波的交通流预测模型设计设某路段 t 时刻的交通流量为 Y(t)，t 时刻后的 T 个时刻交通流量为 Y(t+T)，考虑 t 时刻的交通流量与它前三个时刻的交通流量密切相关，则 Y(t+T)的预
3、测值 Y(t+T)可用以下表达式给出：Y(t+T)=H0V(t)+H1V(t-1)+H2V(t-2)+w(t)其中 V(t)，V(t-1) ，V(t-2) 分别为此路段 t,t-1,t-2 时刻所测交通流量，H 0，H 1，H 2 为参数矩阵，w(t) 为观测噪声，定义其协方差矩阵为 R(t)。为方便使用 Kalman 滤波理论对状态变量出预估计，进行以下整合变换：C(t)=(V(t),V(t-1),V(t-2)X(t)=(H0， H1， H2)T将其和 Kalman 滤波理论比对，可得交通流预测模型如下：X(t)=F(t)X(t-1)+u(t-1)Y(t+T)=C(t)X(t)+w(t)其中
4、，X(t) 为状态向量， Y(t+T)为观测向量，C(t)为观测矩阵，F(t)为状态转移矩阵。应用 Kalman 滤波理论对其进行交通流预测，步骤如下：1. 设定初始参数卡尔曼滤波方程里面的状态转移矩阵 F(1,0)初始值设置为单位矩阵 I，维数为 3x3。过程噪声相关矩阵的初始值：在 matlab 仿真软件中，采用随机函数和协方差函数求解。Q1(i)=cov(randn(3,1)测量噪声相关矩阵的初始值：在 matlab 仿真软件中，采用随机函数 randn(1,1)求解。在本文中，采用的观测数据为一维时间序列，所以Q2(i)=randn(1,1)状态向量预测估计的初始值 X(1,0)=0，
5、它的误差自相关矩阵为零矩阵。状态向量滤波估计初始值 X(1,1)=0，它的误差自相关矩阵为零矩阵。1103200111 李振宁22. 利用卡尔曼滤波理论递推预测1) 设定递推循环变量 i，递推次数为预测长度；2) 观测矩阵更新：C=Yreal(i),Yreal(i-1),Yreal(i-2)对卡尔曼滤波增益进行计算：G(i)=F(i+1,i)K(i,i-1)C H(i)R-1(i); 3) 计算信息误差矩阵：y(i)=y(i)-C(i)F(i,i-1)X(i| i-1);4) i=1， X(1,1)=X(1);i 1， X(i,i)=F(i,i-1)X(i-1,i-1)+G(i)y(i)i=1
6、， X(1,0)误差相关矩阵 K(1,0)=0i 1， K(i+1,i)=F(i+1,i)K(i)FH(i+1,i)+Q1(i)5) 计算 i+1 时刻状态向量的估计值 X(i+1,i)=F(i+1,i)X(i,i)6) 根据状态预估计值计算观测值的预测估计值 y(i+1,i)=F(i+1,i)X(i,i)，根据状态滤波估计值计算观测值的滤波估计 y(i,i)=C(i)X(i,i)7) 循环变量递增 1,重复上述 3 至 7 步骤，直至循环变量等于预测长度。3. 交通流预测误差指标在交通流预测的研究体系内有比较完善的性能评级指标，本文选择的评价指标有平均绝对误差 MAE，平均相对误差 MRE，
7、均方误差 MSE，均方百分比误差 MSPE，均等系数EC。各项指标意义如下：1). 平均绝对误差(MAE) 主要反应了真实值和预测值间的误差的绝对值平均值。2). 平均相对误差(MRE) 可以用来表征预测值与真实值偏离的程度。它的值越小说明预测值与实际值偏离越小，预测效果越好。3). 均方误差(MSE)是用来反应误差分布情况的，它的值越小，误差分布就比较集中，预测效果就越好。4). 均方百分比误差(MSPE)也反应了误差分布情况，同时在一定程度上反应了预测值与实际值的偏离程度。5). 均等系数(EC)值的大小用来表明预测值与真实值之间的拟合程度，它的值越大，说明曲线拟合程度越高，预测效果也越好
8、。一般情况下认为，EC0.9 时，系统具有较好的预测效果4. 交通流预测结果分析因国内信息获取不便，本文仿真数据来自美国加州交通局网站 PMES。PMES 数据每5 分钟更新一次，每日共计 288 组数据。为直观展示预测效果，本文选取 30 个时刻的数据，以 2012 年 12 月 13（周四）作为代表。仿真结果如下：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29350450550真 实 值预 测 值真 值 与 预 测 值 偏 差 表交通流量veh/5minuts1103200111 李振宁31 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 2
9、7 29-120-80-4004080120偏 差 值绝 对 误 差 表交通流量veh/5minuts图 2-1 基于 Kalman 滤波的交通流仿真图计算交通流预测误差指标如表 2-1 所示：表 2-1 交通流预测性能指标MAE MRE(%) MSE MSPE(%) EC计算值 24.9223 5.52 1052.3 0.48 0.9603由仿真结果可以看出，MRE 为 5.52%，EC 值大于 0.9，说明其预测结果较好。三 基于相空间重构的 Kalman 滤波交通流预测第二部分介绍了基本的基于 Kalman 滤波的交通流预测法，下面将对其进行改进，结合相空间重构，对交通流预测进行研究。“
10、相 “指某一特定时刻系统的状态，相空间决定了系统状态的几何空间。在很多研究领域，实际系统的状态几何空间一般都是多维的，但通常情况下，我们得到的只是这些多维系统的一些一维信息，如某一单变量的时间序列。我们可以通过相空间重构，找出隐藏的变化规律，反映出单变量时间序列中物理因子的相互作用，把一维时间序列扩展到高维空间中，以充分显露出一维时间序列中所隐含的信息。目前较常见的相空间重构方法为延迟矢量法。此方法最先为 Packard 提出，它的基本思想是：系统中所有的分量都是相互作用的，其中一个分量的演化是由与其相关的其他分量决定的。各个分量的发展过程能够有效的反应其他分量的相关信息。卡尔曼滤波器是通过预
11、测系统的状态向量 x(n)，进行递推计算得到系统未来的状态向量，从而实现对未来值的预测估计。本文中，系统的输入为观测交通流时间序列值y(1),y(2)y(n)，状态向量 x(n)的初始值确定对预测过程显得尤为重要，想要得到好的预测结果，需要找到合适的初始状态向量。本文将选择相空间重构和卡尔曼滤波结合的方式建立多维状态空间预测模型。在混沌空间中，两个相点间在轨道上的演化过程可以由下列函数表示：f:S(t+T)=f(S(t)Kalamn 滤波理论的过程房成为：X(n+1)=F(n+1,n)x(n)+v1(n)1103200111 李振宁4由此可以看出，相点和与状态向量在空间轨道上的演化轨迹刚好拟合
12、，所以可以通过卡尔曼滤波来递推未来相点。即可以利用相空间重构后的相点作为卡尔曼滤波方程中的状态向量，将状态向量的递推过程转化为相点的递推过程，通过递推完成相点的预测。设交通流时间序列为y(1),y(2)y(n)对其进行相空间重构，设嵌入维数为 m，延迟时间为 t，重构后相点的表达式为：Xk=yK,yK+t, yK+(m-1)t根据将卡尔曼滤波原理和相空间重构原理相结合的思想，可以把卡尔曼滤波方程中的状态初始向量 x(1)定义为相空间重构后的相点 X(1)：X(1)=y1,y1+t, y1+(m-1)tT基于相空间重构和卡尔曼滤波原理进行交通流预测模型建立的步骤为:步骤 1:对交通流序列进行混沌
13、特性分析，使用 C-C 算法计算相空间重构参数 m 和 t;步骤 2:根据步骤 1 求得的最佳嵌入维数和最佳延迟时间对交通流观测数据进行相空间重构，获得各个相点，各个相点即为卡尔曼滤波的状态向量；步骤 3:用 matlab 实现卡尔曼滤波预测过程，具体实现步骤如下:1.设定初始参数。卡尔曼滤波方程里面的状态转移矩阵 F(1,0)初始值设置为单位矩阵I，维数为 m m(m 为嵌入维数 )，测量矩阵 C(i) = 1,0,.,0T。过程噪声相关矩阵的初始值：在 matlab 仿真软件中，采用随机函数和协方差函数求解。Q 1(i)=cov(randn(m,m)(m 为相空间重构的嵌入维数） ；测量噪
14、声相关矩阵的初始值：在 matlab 仿真软件中，采用随机函数randn(1,1)求解。在本文中，采用的观测数据为一维时间序列 Q2(i)= randn(1,1)，所以。状态向量的预测估计的初始值 X(1,0)=X(1)，它的误差自相关矩阵为零矩阵。状态向量滤波估计初始值 X(1,1)=X(1)，它的误差自相关矩阵为零矩阵。2. 利用卡尔曼滤波理论递推预测1) 设定递推循环变量 i，递推次数为预测长度；2) 观测矩阵更新：C=Yreal(i),Yreal(i-1),Yreal(i-2)对卡尔曼滤波增益进行计算：G(i)=F(i+1,i)K(i,i-1)C H(i)R-1(i); 3) 计算信息
15、误差矩阵：y(i)=y(i)-C(i)F(i,i-1)X(i| i-1);4) i=1， X(1,1)=X(1);i 1， X(i,i)=F(i,i-1)X(i-1,i-1)+G(i)y(i)i=1， X(1,0)误差相关矩阵 K(1,0)=0i 1， K(i+1,i)=F(i+1,i)K(i)FH(i+1,i)+Q1(i)5) 计算 i+1 时刻状态向量的估计值 X(i+1,i)=F(i+1,i)X(i,i)6) 根据状态预估计值计算观测值的预测估计值 y(i+1,i)=F(i+1,i)X(i,i)，根据状态滤波估计值计算观测值的滤波估计 y(i,i)=C(i)X(i,i)7) 循环变量递增
16、 1,重复上述 3 至 7 步骤，直至循环变量等于预测长度。预测过程流程图如 3-1 所示：1103200111 李振宁5图 3-1 基本 Kalman 滤波的预测过程流程图3.交通流预测结果分析：根据相空间的卡尔曼滤波预测模型，实现交通流的预测。所开始设定初始值i=1计算滤波增益G(i)=F(i+1,i)K(i,i-1)CH(i)R-1(i)计算信息误差矩阵y(i)=y(i)-C(i)F(i,i-1)X(i|i-1)i=1X(1,1)=X(1)K(1,0)=0计算交通流时间序列预算值 y(i+1,i)=C(i)X(i+1,i)i=1结束1103200111 李振宁6选实验数据与基本的 Kal
17、man 滤波模型原始仿真数据相同。对 2012 年 12 月 13 日至 2012 年 12 月 15 日交通流 5 分钟聚集数据进行相空间重构，由 C_C 算法计算结果可知 t=9，t w=71,由于 t，t w，m 之间存在 tw=(m-1)t，所以 m=8。记时间序列为 y(1),y(2)y(n)，则预测模型的初始向量为：X(1)=y(1),y(10),y(19),y(28),y(37),y(46),y(55),y(64)n 时刻的状态向量为：X(n)=y(n),y(n+9),y(n+18),y(n+27),y(n+36),y(n+45),y(n+54),y(n+63)对 2012 年
18、12 月 13 日数据进行预测仿真，同样取 30 组数据，具体预测结果如图 3-2所示：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29350450550真 实 值预 测 值真 实 值 与 预 测 值 偏 差 表交通流量veh/5minuts1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29-80-60-40-20020406080100偏 差 值绝 对 误 差 表交通流量veh/5minuts图 3-2 基于相空间 Kalman 滤波的交通流仿真图计算交通流预测误差指标如表 3-1 所示：表 3-1 交通流预测性能指标MAE MRE(
19、%) MSE MSPE(%) EC1103200111 李振宁7计算值 6.9056 5.21 739.0876 0.46 0.9722四 相空间重构差值回归模型交通流预测由于在交通流时间序列中，两周中对应的两天交通状态存在很高的相似度，为了更全面的捕捉原始数据的信息，可以采用对应两周数据的差值或者比值作为模型的输入数据，通过预测交通流量时间序列的差值来达到预测交通流时间序列的目的。将两周中对应两天相应时间差值作为模型的输入数据，预测两周中对应两天相应时间差值，将预测到的差值与上周对应天的原始数据相加，即得到所要预测的交通流量时间序列。具体的歩骤如下所示：1 将两周中对应两天的交通流差值时间序
20、列进行相空间重构，获得各个相点，各相点即为卡尔曼滤波方程中的状态向量；观测向量输入值为对应两周交通流量差值；2 将初始相点赋值给初始状态向量，使用 Kalman 滤波理论完成差值预测过程。3 将差值估计值加上上周对应吋刻交通流时间值，就得到所要预测的本周交通流时间序列。预测过程可用公式表示如下：x(n+1)=F(n+1,n) x(n)+v1(n) y(n)=C(n) x(n)+v2(n) y2(n)=y1(n)+ y(n)在 matlab 仿真软件中的预测流程如图 4-1 所示：开始将两周相应两天的交通流时间序列依次做差 q(n)=Y(n)-L(n)，得出差值序列采用 C-C 算法对差值时间序
21、列进行相空间重构，计算差值序列嵌入维数 m 和嵌入时间 t根据差值时间序列和嵌入维数，嵌入时间设定预测模型初始值调用 kalman 滤波函数，对差值时间序列 q(n)求出预测时间序列 (n)q交通流时间序列的预测值为 (n)=Y(n)+ (n) q1103200111 李振宁8图 4-1 相空间差值回归预测模型流程图本文将利用相空间差值回归预测模型对上文数据进行仿真分析。对 2012 年 12 月 13 日至 2012 年 12 月 15 日与 2012 年 12 月 6 日至 2012 年 12 月 8 日的交通流差值数据序列进行空间重构，通过 C-C 算法求解延迟时间和嵌入维数。由程序运行
22、结果可得：在 t=5 时，S-mean 取得第一个极小值，所以延迟时间 t=5，由S-cor 曲线可知 min-S-cor=0.0152，此时对应时间 t=23，即最佳嵌入时间。由公式 tw=(m-1)t得，m=5。及交通流时间序列为y(1),y(2)y(n) ，则预测模型状态初始向量为：X(1)=y(1),y(6),y(11),y(16),y(21)n 时刻的状态向量为：X(n)=y(n),y(n+5),y(n+10),y(n+15),y(n+20)利用相空间差值回归模型对 2012 年 12 月 13 日交通流进行预测仿真，结果如图 4-2 所示：1 3 5 7 9 11 13 15 17
23、 19 21 23 25 27 29350450550真 实 值预 测 值真 实 值 与 预 测 值 偏 差 表交通流量veh/5minuts1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29-30-20-1001020304050偏 差 值偏 差 值交通流量veh/5minuts结束1103200111 李振宁9图 4-2 基于相空间差值回归模型的交通流仿真图计算交通流预测误差指标如表 4-1 所示：表 4-1 交通流预测性能指标MAE MRE(%) MSE MSPE(%) EC计算值 5.1648 4.99 652.368 0.44 0.9768五 总结本文首先
24、建立居于基本的 Kalman 滤波的交通流预测模型，然后结合相空间重构理论，对交通流时间序列进行相空间重构，建立基于相空间重构和 Kalman 滤波的交通流预测模型。针对相空间重构和 Kalman 滤波结合的预测模型进行改进，建立了相空间差值回归模型为对比各个模型的预测性能，将各模型预测性能指标列入表 5-1：表 5-1 交通流预测结果性能指标比较模型 MAE MRE(%) MSE MSPE(%) EC基本 Kalman 滤波模型 24.9223 5.52 1052.3 0.48 0.9603相空间 Kalman 滤波模型 6.9056 5.21 739.0876 0.46 0.9722相空间
25、差值回归模型 5.1648 4.99 652.368 0.44 0.97681. 基本模型和改进模型之间的性能比较由表 5-1 可以看出，改进模型的各项误差指标值均小于基本的 Kalman 滤波模型，且均等系数 EC 值均大于基本 Kalman 滤波模型的计算结果。EC 值代表了预测曲线与实际曲线的拟合程度，EC 值越大，拟合程度就越高。一般情况下，E0.9 为比较好的预测。所以通过指标计算结果可以看出，改进后的 Kalman 滤波预测性能要优于基本的 Kalman 滤波模型。这是因为相空间中的 Kalman 滤波预测模型考虑了交通流时间序列的混沌特性，捕捉到更多的交通流信息，提高了交通流预测
26、效果。2. 相空间的 Kalman 滤波模型、相空间差值回归模型比较通过表 5-1 的计算结果可以看出，相空间差值回归模型在一定程度上减小了预测的平均绝对误差、平均相对误差、均方误差、均方百分比误差。且增强了预测曲线与实际曲线的拟合度。由此可见对 Kalman 滤波模型的优化是实际有效的，相空间差值回归模型是一种较好的预测交通流的模型。六 参考文献1史其信，郑为中道路网短期交通流预测方法比较J交通运输工程学报，2004（4）2马君，刘小冬，孟颖基于神经网络的城市交通流预测研究J电子学报，2009（5）3杨兆升，朱中基于卡尔曼滤波理论的交通流实时预测模型J中国公路学报，1999（3）4周昊，郑立刚，樊建人，等广义回归神经网络在煤灰熔点预测中的应用J浙江大学学报：工学版，2004（11）5蒋恩松，李孟超，孙刘杰一种基于神经网络的卡尔曼滤波改进方法J电子与信息学报，2007（9）6屈重君，郭志想，陆志东利用神经网络和卡尔曼滤波的组合导航技术J传感技术学报，2007（11）i=1X(1,1)=X(1)K(1,0)=0计算交通流时间序列预算值 y(i+1,i)=C(i)X(i+1,i)i=1
