1、1“数字电子电路” 学习辅导(2) “数字电子电路”是中央电大开放教育电子信息技术专业必修的专业基础课，也是成招普招应用电子技术专业、通信工程等专业必修的专业基础课。本课程开放教育 6 学分，电视学时（04 春）36，必做实验 6 个（含综合性实验 1 个） 。 为了帮助同学们学好本课程，分八次（八章）进行教学辅导。 教学辅导分两个部分，一是教学重点内容的辅导，帮助同学们掌握基本概念、基本分析方法和设计方法；二是典型例题解析，帮助同学们掌握解题的方法和思路。 第二章 逻辑代数基础一、重点内容辅导（一）逻辑函数的表示方法及其相互转换一个逻辑函数可以用不同的方法表示，它们有：逻辑函数式、真值表、逻
2、辑图、波形图、卡诺图，它们之间可以互相转换。（二）逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本规则有代入规则、反演规则和对偶规则。 代入规则在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的所有同一变量都用一个函数代替之，则等式仍然成立。利用代入规则可以把基本公式推广为多变量的形式。 反演规则对于任意一个函数 F，如果将式中所有的与运算换成或运算，或运算换成与运算；0 换成 1，1 换成 0；原变量换成反变量，反变量换成原变量，就得到函数 F 的反函数F，利用反演规则可以直接得到一个函数的反函数。 对偶规则对于任意一个函数 F，如果将式中所有的与运算换成或运算，或运算换成与运算；0 换成 1，1换成 0，就得
3、到的一个新的表达式 F，F 和 F互为对偶式。 （三）逻辑函数的两种化简方法逻辑函数的化简方法有两种公式化简法和卡诺图化简法。公式化简法是反复应用逻辑代数的基本定律和规则，对逻辑函数进行反复运算求得最简表达式的过程，它适用于任意变量数逻辑函数的化简，但是难以确定化简的正确性。图形化简法是利用逻辑相邻的最小项可以合并，消去不同的因子，保留相同的因子，从而使逻辑函数得到化简的原理，在卡诺图中对逻辑函数进行化简的一种方法，此方法直观、形象，化简的2准确性较高，但它不适宜多变量逻辑函数的化简。1逻辑函数的公式化简方法用公式化简逻辑函数，常用的化简方法有以下几种： 并项法公式 AB+AB =A，它是将两
4、项合并，并消去了一个变量 B，实际上它是利用了基本公式（A+ A=1）和（A 1=A） 。并项法说明，在一个逻辑表达式的两个乘积项中，若一个因子相同，另一个因子互为反变量，则可将两项合并，并可消去互为反变量的因子。根据这个规律，可直接写出 ABC+ABC=ABABC+ A = A 吸收法公式 A+AB =A，吸收了多余的与项 AB，它是利用了基本公式（A+1=1 ）和（A1=A） 。吸收法说明，在一个逻辑表达式的两个乘积项中，若一个因子（或乘积项）包含于另一个乘积项中，则另一个乘积项可被吸收。根据这个规律，可直接写出B + ABCD =BAB +ABCD（ E+F） = AB 消去法公式 A+
5、AB =A+B，消去了多余的因子 A，它是利用了基本公式 A+BC=（A+B） （A+C），（A+ A=1）和（A1=A ）消去法说明，在一个逻辑表达式的两个乘积项中，若一个乘积项（或因子）的反包含于另一个乘积项中。 则另一个乘积项中该乘积项（或因子）的反可被消去。例如 AB+AC+BC=AB+（A+ B）C=AB + C = AB +CAB+AB+ABCD+ABCD = （ AB+ AB） + CD = AB+AB+CD 取消法公式 AB+AC+BC = AB+AC取消法说明了，在一个逻辑表达式中，若一个乘积项含有因子（或乘积项）A，另一个乘积项含3有该因子（或乘积项）的反A，这两个乘积项的
6、剩余因子（或乘积项）正好是第三个乘积项的一部分（或全部） ，则第三个乘积项可被消去。根据这个规律，可直接写出：AC+ ABD+BCDEF= AC+ABD 配项法有的逻辑函数有时一下子难以用上述方法对其进行化简，需要采用在函数式中加上适当的多余项的办法对逻辑函数进行化简，其原则一是增加了新项不能影响函数的逻辑关系，二是增加的新项便于与其他项合并。例如：F =A B+BC+ BC+AB = AB+BC+BC（A+ A）+ AB（C+ C）= AB+BC+ A BC+ABC+AB C +AB C= AB+BC+AC2 逻辑函数的卡诺图化简方法用卡诺图化简逻辑函数的一般步骤是： 根据变量数画出变量卡诺
7、图。 在函数包含的最小项方格中填“1” ，其余方格填“0”或可不填，作出函数卡诺图。合并相邻项。写出最简与-或表达式。为了得到最简逻辑表达式又不漏项，一般来说，合并最小项时要注意以下几点： 合并最小项的个数必须符合 2n个(n = 0,1,2,)。 每个圈尽可能大，使化简后乘积项含因子最少。 每个圈中至少有一个最小项仅被圈过这一次，以避免出现多余项。 用最少的圈覆盖函数的全部最小项，使乘积项的个数最少又不漏项。3具有无关项的逻辑函数的化简（1）约束项和无关项有时，逻辑函数输入变量之间有一定的制约关系，称为约束。这样的一组输入变量称为具有约束的变量。例如，逻辑变量 A、 B、 C 分别表示交通信
8、号的红、绿、黄三种灯。红灯亮（A=1）表示“不通行” ，绿灯亮（B=1）表示“可通行” ，黄灯亮（C=1 ）表示“车辆停” 。因为任何时刻，信号灯必须且只能发出一种命令，不允许两个变量同时为 1、或三个变量同时为 1 或为 0。因此，A、 B、 C 的取值只能是 100、 010、001 中的一种，而不能是 000、011、101、110、111 中的任何一种。可见，A 、 B、 C 的取值不是任意的，它们是一组具有约束的变量，有五种取值不允许出现。一4般用它们对应的最小项恒等于 0 来表示，即：ABC=ABC=ABC=ABC=ABC=0这些最小项称为约束项，也叫无关项。因为它们每一项的值为
9、0，它们之和也为 0，即：ABC+ABC+ABC+ABC +ABC=0这个条件等式称为约束条件。（2）化简方法因为约束项的值恒等于 0，因此，在逻辑函数的表达式中，加上或不加上约束项都不影响其函数值。在逻辑函数的卡诺图中，约束项用“”表示，可根据化简的需要，或将其当“1”处理，或当“0”处理，若当“1”处理，它的意义在于在函数的表达式中加上了这一项，若当“0”处理，表示在函数的表达式中未加上这一项。二、典型例题解析例 21 用公式化法将下列逻辑函数化简成最简与或表达式。L1=ABC+ABCL 2 = B + +BC L 3= ABC+B+C+ACDL 4=AB+（ A+C）B+ACL 5= A
10、B+BC+AB+AC解 L1=ABC+ABC =AC（B+ B） （并项法）=AC 1 （互补律 A+A=1）= AC （0-1 律 A1=A）L 2 = B + +BC = B + B + BC （第二项反演展开）= （ B +B） +BC （并项法）= 1+BC （互补律 A+A=1）=A+C+BC （第一项反演展开、0-1 律 A1=A）=A+C （吸收律 A+AB=A）5L 3= ABC+B+C+ACD=AC+B+C+ACD （吸收律 A+AB=A+B）=A+B+C+ACD （吸收律 A+AB=A+B）=A+B+C+CD （吸收律 A+AB=A+B）= A+B+C+D （吸收律 A+A
11、B=A+B）L 4=AB+（ A+C）B+AC= AB+ B+AC （ 对合律 =A）= AB+ B+AC （反演律 =AB 与对合律 =A）= AB+ B+AC （吸收律 A+AB=A+B）= A+ B （吸收律 A+AB=A+B、 A+AB=A）L5 =AB+BC+AB+AC=AB+BC+AB+AC+ AC （增加的 AC 是 AB+BC 的多余项，可与 AC 合并）=AB+BC+AB+A （吸收律 AB+ AB=A）=BC+B+A （吸收律 AB+ AB=A 和 A+AB=A+B）=B+A （吸收律 BC+B=B）例 2 用卡诺图法将下列逻辑函数化简成最简与或表达式。L1（ A， B，
12、C） = m（0，2， 3，4，5，7）L 2（ A， B， C， D） =ABC+ABD+ACD+ABCD+BDL 3（ A， B， C， D） =ACD+ABD+ABD+ABC+ABCDL 4（ A， B， C， D） =AC+BD+C+ABC+ABC解： L1 L 4 的卡诺图如图 2.1 所示。（a）L 1 的卡诺图 6（b）L 2 的卡诺图 （c）L 3 的卡诺图 （d）L 4 的卡诺图 图 2.1 可得：L1（a） =BC+AC+AB； L1（ b） =AB+AC+BC（最简式并不一定是唯一的，只要符合最简的要求即可）L 2=ABC +ACD+ABCD+BDL 3= ACD+ABD
13、+ABD +ACDL4=1（全体最小项之和恒为 1）例 3 检查图 2.2 （a）所示卡诺图的化简方法是否正确，若不对，试说明原因，并改正。Y1 Y 2 Y 3图 2.2 （a） 解： 全部有错，Y 1：没有以最大的圈覆盖 m1、m 3、m 5 和 m7。Y2：没有以最大的圈覆盖 m0、m 2、m 8 和 m 10。Y3：m 9、m 11、m 13 和 m15 的圈是多余的，此圈不包含仅被圈过这一次的最小项。改正后的卡诺图见图 2.2（ b） 。Y1 Y 2 Y 37图 2.2（ b） 例 4 用卡诺图法化简下列逻辑函数（ d 为约束项之和）F1（A ， B， C， D）= m（1， 5，7，9，15 ）+ d（3，8，11，14）F 2（ A， B， C， D）= m（2， 4，6，9，13，14）+ d（0，1，3，11，15）F 3（A ， B， C， D）= m（3，4，5，7，8，9，10，11）+ d（0，1，2，13，14，15）F 4（ A， B， C， D）= m（2 ，5，6，7，10，12，13，14 ）+ d（0，1，3，8，9，11）解： 画出 F1 F 4 的卡诺图如图 2.3 所示。图 2.3 可得：F 1=AD+BD+CDF 2= AD+AD+BCDF 3= B+D+ACF 4=AC+AD+CD
