1、姓名：_班级：_学号：_座号：_装订线1商丘师范学院 2011-2012 学年度第二学期期终考试数学与信息科学学院 数学与应用数学、信息与计算科学专业10 级（ 数本 10-1 班、数本 10-2 班、信计 10-1 班） 数学建模答卷评分标准数学模型（30 分）求解方法（30 分）结果与分析（30 分）总体印象（10 分）总分 总分人得分A 题：河南省人口发展趋势预测摘要：河南人口众多一直是河南省人民政府关心的问题，近三十年河南人口一直是只增不减，大有突破一亿的可能，究竟河南人口能够增长到多少？能够增长到什么时候？能够维持多长时间？这都是有待解决的问题。现在就河南人口近三十年的变化，根据具体
2、的人口数及增长率，运用数学知识建立指数增长模型和阻滞增长模型，再根据河南具体的基本经济情况和社会情况，以及自然资源的容纳率，计算得出指数增长模型不符合后期的人口增长规律，所以只能用阻滞增长模型来预测河南人口，然后再用 matlab 计算方法绘出河南人口的增长曲线，分析阻滞增长曲线描述河南人口增长过程中的变化，从中找到规律，并预测河南未来人口数，以便解决河南人口众多带来的经济与资源问题。并对河南人口老龄化进行分析，找出河南人口老龄化对未来经济与资源带来的问题。关键字：人口预测 组织增长模型 matlab 计算方法一、问题重述河南省统计年鉴是一部按年连续出版的大型统计资料，真实地记录了河南省一年来
3、经济社会发展变化情况，是国内外各界人士了解河南省的重要资料。从河南省最近几次人口普查数据来看，儿童人口所占比例持续大幅度下降、老龄化进程加速、受教育程度持续大幅度升高、城镇与乡村人口比不断提高、就业人数稳步提高。而人口、就业和城乡区域协调发展问题是城市化进程中至关重要的问题。请根据河南省官方提供的数据，分析河南省人口增长的特点，建立河南省人口增长的数学模型，对于河南省人口的数量、老龄化水平，从 2012姓名：_班级：_学号：_座号：_装订线2年至 2052 年每隔十年的发展做一次数据的预测。二、问题分析人口问题是一个永恒的话题，中国是个人口大国，几十年来中国人口一直都占据着世界人口的十分之一，
4、有效地控制我国人口的增长，不仅是我国全面进入小康社会、到 21 世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。而河南省是我国人口大省，近三十年来一直都占据着全国将近 10%的人口，自从 1980 年以来，河南省人口控制与计划生育工作开始走向规范化、制度化和经常化的轨道。根据河南省 1980 年以来人口总量的变动状况（见表 1） ，认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。表 1 河南人口最近三十年变动情况年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
5、1989人口数/万人7285 7397 7519 7632 7737 7847 7985 8148 8317 8491增长率/ 13.7 14.1 14.4 14.1 12.6 14.0 17.2 19.9 20.1 20.8年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999人口数/万人8649 8763 8861 8946 9027 9100 9172 9243 9315 9387增长率/ 18.4 13.2 11.1 9.5 9.0 8.1 7.8 7.7 7.8 7.7年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005
6、2006 2007 2008 2009人口数/万人9488 9555 9613 9667 9717 9768 9820 9869 9918 9967增长率/ 7.1 6.9 6.0 5.6 5.2 5.3 5.3 4.9 5.0 5.0三、模型假设1、假设各年的人口数均为当年年末的人口数。2、假设人口数足够大，为时间的连续可微的函数。3、不考虑河南人口的迁出与迁入。4、短期内我国的计划生育政策不改变。姓名：_班级：_学号：_座号：_装订线35、没有特大自然灾害或大规模疾病和战争的发生而导致人口急剧下降。6、假设各年龄段随时间变化出生率和死亡率都不发生变化。7、假设生存空间等自然资源无限，不考虑
7、资源对人口变化的影响。8、外省对河南人口数量没有影响。四 符号说明-表示人口增长率r-经过的年数k-表示今年人口数0x- 年后的人口数k-最大人口数量mx-时刻 的人口数tt-表示时间的变化五、模型建立与分析由以上可建立最简单的增长模型指数模型，则（1）kkrx10考虑时间由 变化到 的人口增量，显然有ttt令 ，得到 满足微分方程0ttx（2）0,xrdt所以这个方程很容易解出（3）rtetx0长期看来，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。人口增长率事实上在不断地变化着，一般来说，当人口较少时增长的越来越快，即增长率在变大，人口达到一定数量以
8、后，增长就会慢下来，即增长率变小，由表 1 可以看到增长率随人口增加而变小。即建立阻滞增长模型，此时将 表示为 的函数，即有rx姓名：_班级：_学号：_座号：_装订线4， （4）xrdt0x对 的一个简单的假定是，设 为 的线性函数，即xr（ ） （5）sxr,sr当 时人口不在增长，即增长率 ，由以上两式得mx0m， （6）xrdt10x方程右端的因子 体现人口自身的增长趋势，因子 则体现了资源和环rx 01境对人口增长的阻滞作用。由上式我们可以很容易的得到（7）rtmext10为了方便计算将（6）式改写为， （8）srxdt/mxr由表 1 的数据用 matlab 计算得 ， 。将计算得到
9、的 和0528.r1096r代入公式（7）将计算结果与实际数据作比较，得到图 1mx姓名：_班级：_学号：_座号：_装订线51980 1985 1990 1995 2000 2005 201070007500800085009000950010000 单位万人年份年图 1六、模型检验其计算相应年份人数与实际年份人数相比较，除了中间有几个差别较大外，其它可以看出此模型与实际值基本上吻合（表 2） ，如此可以得到此模型是相当满意的，可以用来测未来几年的人口数。表 2年份 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998实际人数 7285 7519
10、7737 7985 8317 8649 8861 9027 9172 9315计算人数 7285 7541 7787 8023 8249 8464 8667 8858 9039 9207年份 2000 2002 2004 2006 2008实际人数 9488 9613 9717 9820 9918计算人数 9365 9511 9647 9773 9890所以根据此模型预测 2012 年至 2052 年每隔十年的人口数如表 3.表 3年份 2012 2022 2032 2042 2052预测人口数 10096 10479 10721 10870 10960七，分析老龄化采用人口普查资料、卫生事业
11、发展资料，预测河南省平均期望寿命，利用线性回归模型预测老年人口系数。结果预计到 2010 年、2020 年、2030 年、2040 年和 2050 年，河南省女性平均预期寿命分别为 71.90 岁、 72.64 岁、姓名：_班级：_学号：_座号：_装订线673.24 岁、 73.73 岁和 74.11 岁，男性平均预期寿命分别约为 76.22 岁、77.37 岁、78.16 岁、78.62 岁和 78.83 岁，河南省老年人口系数将分别达到8.47、9.73、10.99、12.25 和 13.51。如表 4表 4年份 2010 2020 2030 2040 2050女性平均预测寿命 71.9
12、72.64 73.24 73.73 74.11男性平均预期寿命 76.22 77.37 78.16 78.62 78.83老年人口系数 8.47 9.73 10.99 12.25 13.51河南省老年人口系数随着人均 GDP 增长和年代的增加呈线性增长趋势，回归方程分别为 Y5.528+0.000 288X 和 Y=-244.793+0.126X。河南人口抚养比在未来 50 年中发生了明显的变化。老年人口抚养比则从 13.7%上升到 54.6%，上升了 40.9 个百分点。同期，少儿人口抚养比下降，少儿人口抚养比从 1990 年的 43.1%下降到 2050 年的 28.8%，下降了 14.3 个百分点。由于老年抚养比增加的速度远远快于少年抚养比的下降速度，导致总人口抚养比从 2000 年的 56.8%增加到 2050 年的 83.3%。 八、参考文献1 http:/ 2012年 6 月 8 日2 数学模型（第三版）姜启源，谢金星，叶俊 编 2008-3-1 出版 高等教育出版社3大学数学实验（第二版）萧树铁主编 姜启源 张立平 何青 高立 编著2006-5 第二版 高等教育出版社
