1、1993 年高考数学试题(理工农医类)(北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用题)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第 卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. (1)函数 f(x)=sinx+cosx 的最小正周期是：(A)2 (B)2(C) (D)/4(2)如果双曲线的焦距为 6,两条准线间的距离为 4,那么该双曲线的离心率为：(A)3/2 (B) /2(C) /2 (D)2(3)和直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为：(A)3x+4y-5=0(B)3x+4y+5=0(C)-3x+4y-5=0(D
2、)-3x+4y+5=0(4)极坐标方程 =4/(3-5cos)所表示的曲线是：(A)焦点到准线距离为 4/5 的椭圆(B)焦点到准线距离为 4/5 的双曲线右支(C)焦点到准线距离为 4/3 的椭圆(D)焦点到准线距离为 4/3 的双曲线右支(5) y = x3/5在-1,1上是：(A)增函数且是奇函数 (B)增函数且是偶函数(C)减函数且是奇函数 (D)减函数且是偶函数(6) 的值为：(A)-1/5 (B)-5/2(C)1/5 (D)5/2(7)集合X|k/2+/4,kZ,X|k/4+/2,kZ,则(A) (B) (C) (D)(8)sin20ocos70o+sin10osin50o 的值是
3、(A)1/4 (B) /2(C)1/2 (D) /4(9)参数方程(A)双曲线的一支，这支过点(1,1/2)(B)抛物线的一部分，这部分过(1,1/2)(C)双曲线的一部分，这部分过(-1,1/2)(D)抛物线的一部分，这部分过(-1,1/2)(10)若 a、b 是任意实数,且 ab,则(A)a 2b2(B)b/a0(D)(1/2) aa4+a5(B)a 1+a80,a1)()求 f(x)的定义域;()判断 f(x)的奇偶性并予以证明;()求使 f(x)0 的 x 取值范围.(25)已知数列Sn 为其前 n 项和.计算得 s1=8/9 s 2=24/25 s 3=48/49 s4=80/81观
4、察上述结果,推测出计算 Sn 的公式,并用数学归纳法加以证明.(26)已知:平面 平面 =直线 a., 同垂直于平面 ,又同平行于直线 b.求证:()a;()b. (27)在面积为 1 的 PMN 中，tgPMN=1/2，tgMNP=-2 建立适当的坐标系，求以 M,N 为焦点且过点 P 的椭圆方程。(28)设复数 z=cos+isin(0(1/3)(20)100 (21)1 (22)1760 (23)30三、解答题. (24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力.解：()由对函数的定义知(1+x)/(1-x)0如果 则-11, 等价于(1+x)/(1
5、-x)1, 而从()知 1-x0,故等价于 1+x1-x,又等价于 x0.故对 a1,当 x(0,1)时有f(x)0.2)对 00,故等价于-10.(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.解：()当 n=1 时，()设当 n=k 时等式成立，即则由此可知,当 n=k+1 时等式也成立.根据()、()可知,等式对任何 nN 都成立.(26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识,以及空间想象能力和逻辑思维能力.证法一:()设 =AB,=AC. 在 内任取一点 P 并于 内作直线PMAB,PNAC. , PM, PMa.同理 PNa. a.()于 a 上任取一点 Q,
6、过 b 与 Q 作一平面交 于直线 a1,交 于直线 a2. b,ba1.同理 ba2. a1,a2 同过 Q 且平行于 b, a1,a2 重合. a1,a2 都是 、 的交线,即都重合于 a. ba1,ba.而 a, b.证法二:()在 a 上任取一点 P,过 P 作直线 a. 可见 a是 , 的交线.因而 a重合于 a.又 a,a.()于 内任取不在 a 上的一点,过 b 和该点作平面与 交于直线 c.同法过 b 作平面与 交于直线 d.b,b.bc,bd.ba.而 a.b.(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.解法一:如图,以 MN 所在直线为 x 轴
7、,MN 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,设以 M、N 为焦点且过点 P 的椭圆方程为 x2/a2+y2/b2=1，焦点为 M(-c,0),N(c,0)由 tgM=1/2,tg=tg(-MNP)=2，得直线 PM 和直线 PN 的方程分别为 y=1/2(x+c)和 y=2(x-c)将此方程联立，解得 x=5c/3,y=4c/3,即 P 点坐标为(5c/3,4c/3)。在MNP 中， |MN|=2c,MN 上的高为点 P 的纵坐标，故由题设条件 SMNP =1,c= /2,即 P 点坐标为(5 /6,2 /3)由两点间的距离公式得 a=1/2（PM+PN）= /2由 b 2=a2c 2=15
8、/43/4=3故所求椭圆方程为解法二:同解法一得 c= /2,P 点的坐标为(5 /6,2 /3)点 P 在椭圆上，且 a2=b2+c2化简得 3b4-8b2-3=0解得 b 4=3,或 b2=-1/3(舍去)又 a 2=b2+c2=3+3/4=15/4故所求椭圆方程为 4x2/15+y2/3=1解法三:同解法一建立坐标系.P=-PMN.P 为锐角。sinP=3/5,cosP=4/5而 SMNP =1/2|PM|PN|sinP=1|PM|PN|=10/3|PM|+|PN|=2A,|MN|=2c,由余弦定理，(2c) 2=|PM|2+|PN|2-2|PN|PN|cosP=(|PM|+|PN|)
9、2-2|PM|PN|(1+cosP)=(2a) 2-2(10/3)-2(10/3)(4/5)c 2=a2-3，即 b2=3又 sinM=1/ ,sinN=2/ ,又正弦定理，得|PM|/sinN=|PN|/sinM=|MN|/sinP(|PM|+|PN|)/(sinN+sinM)=|MN|/sinP即a= ca 2=b2+c2=3+a2/5a 2=15/4故所求椭圆方程为 (28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.解法一:|=tg2|sin4+icos4|=|tg2|= /3tg2= /3因 0/2,不适合题意，舍去，综合 1)、2)知 =/2 或 =7/12解法二:z 4=cos4+isin4记 =4,得|= /3,arg/2当成立时，恒成立，所以 应满足(i) 或(ii)解(i)得 /12 或 7/12 (ii)无解综合(i)、(ii)知 /12 或 7/12
