1、 微分方程的应用学院：机械工程与自动化班级：2012 级机电 2班姓名： 何 健学号：312012080307231摘要：微分方程是数学的重要分支, 用微分方程来刻画许多自然科学、经济科学甚至社会科学领域中的一些规律,这是微分方程应用的重要领域,也是其发展的动力.本文重点介绍了几个利用微分方程常来解决的问题的例子,从中我们可以了解到微分方程应用的广泛性以及解决具体问题时常采用的一般步骤.关键词：微分方程 应用1 引言1.1 微分方程是与微积分一起形成发展起来的重要数学分支,已有悠久的历史,早在 1718世纪,牛顿、莱布尼兹、贝努里和拉格朗日等人在研究力学和几何学中就提出了微分方程 【1,2】
2、.随着科学的发展,它在力学、电学、天文学和其他数学物理领域内的应用不断获得成功,有力地推动了这些学科的发展,已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力工具.如今,微分方程仍继续保持着进一步发展的活力,其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中,许多实际问题可以通过建立微分方程模型得以解决.1.2 解决方法应用微分方程解决实际问题,其实就是建立微分方程数学模型,通过建立微分方程、确定定解条件、求解及对解的分析可以揭示许多自然界和科学技术中的规律.应用微分方程解决具体问题的主要步骤:(1)分析问题,将实际问题抽象,建立微分方程,并给出合理的定解条件;(2)求解微分方程的通解及满足定解条件的特解,或由
3、方程讨论解的性质;(3)由所求得的解或解的性质,回到实际问题,解释该实际问题,得出客观规律.我现在我就简单谈一下微分方程知识的应用2 微分方程的应用举例2.1 几何应用例 1 求直线束 的等角轨线和正交轨线.cxy解 首先求直线束 的微分方程.将 对 求导,得 =C,由ycyx消去 C,就得到 的微分方程cxyxd当 时,由（2.16）知道,等角轨线的微分方程为2xydk1或 yyx及 221yxdkyxd即 221xydkyxd积分后得到 ckyxlnartln212或 xyceartn212如果 = ,由（2.17）可知,正交轨线的微分方程为2xyd1即 yx或 0d故正交轨线为同心圆族
4、.22cyx例 2 在中学平面解析几何中已经指出,汽车前灯和探照灯的反射镜面都取为旋转抛物面,就是将抛物线绕对称轴旋转一周所形成的曲面.将光源安置在抛物线的焦点处,光线经镜面反射,就成为平行光线了.这个问题在平面解析几何中已经作了证明,现在来说明具有前述性质的曲线只有抛物线,由于对称性,只有考虑在过旋转轴的一个平面上的轮廓线 ,如图,loyxATMRN以旋转轴为 Ox轴,光源放在原点 O(0,0).设 的方程为 y=y(x,y).由 O点发l出的光线经镜面反射后平行于 Ox轴.设 M(x,y)为 上任一点,光线 OM经反射后为 MR.MT为 在 M点的切线,MN 为 在 M点的法线,根据光线的
5、反射定律,有l lOMN=NMR从而tanOMN=tanNMR因为 MT的斜率为 ,MN的斜率为- ,所以由正切公式,有y1ytanOMN= , tanNMR=1xy1y从而=-yx即得到微分方程+2x -y=02由这方程中解出 ,得到齐次方程y=-y1)(2yx令 =u,即 y=xu,有xy=u+dxu代入上式得到=dxuu221)(分离变量后得 221)(uxd令 1+ 上式变为 .积分后得2tuxdt1ln xCtln1或 .两端平方得12xcu 221xcu化简后得 xc2以 .这是一族以原点为焦点的抛物线.22cxyxu代 入 ， 得2.2 物理问题物理学是微分方程最早期的源泉之一.
6、我们都知道物理学的基本定律是牛顿第二定律 maf这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明显地含有加速度 a,a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键就在于找到外力 f和位移对时间的导数速度的关系.只要找到这个关系,就可以由 列出微分方程了.maf在求解动力学问题时,要特别注意力学问题中的定解条件,如初值条件等.例 3 物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,在速度不太大的情况下,空气阻力可看做与速度的平方成正比试证明在这种情况下,落体存在极限速度 .1v解 设物体质量为 m,空气阻力系数为 k,又设在时刻 t物体下落的速度为 v,于是在时刻 t物体所受的合外力为（
7、重力-空气阻力）2kvmgf从而,根据牛顿第二定律可得出微分方程2kvmgdt因为是自由落体,所以有0tvdkmg002积分得 tkvgln21或 mtkv2l解出 v,得 122mkgtkgtev当 时,有t1livkgvt 据测定, ,其中 为与物体形状有关的常数,为介质密度,s 为物体在sk地面上的投影面积.例 4 某厂房容积为 45m15m6m,经测定,空气中含有 0.2的 .开通通风2CO设备,以 360 的速度输入含有 0.05的 的新鲜空气,同时又排出同等数sm3 2CO量的室内空气.问 30min后室内所含 的百分比.2解 设在时刻 t,车间内 的百分比为 x(t) ,当时间经
8、过 dt后,室内的该变量为2CO45156dx=3600.05dt-360xdt于是有关系式4050dx=360(0.05-x)dt或dtxdx05.4初值条件为 x(0)=0.2.将方程分离变量并积分,初值解满足 txtx02.05求出 x,有X=0.05+0.15 te45以 t=30min=1800s代入,得 x0.05.即开动通风设备 30min后,室内的 含量2CO接近 0.05,基本上已是新鲜空气了.3. 总结：通过以上几个简单的例子，我们发现用微分方程解决一些实际问题其实很方便，也很普遍，所以在以后的学习中，除了学习必须的理论与方法外，更应该加强理论与实际的联系，将学习的知识更好的用于解决实际问题中.参考文献1 欧阳瑞,孙要伟.常微分方程在数学建模中的应用J.宿州教育学院学报,2008,11(2)2 朱思铭 王高雄 常微分方程M,第三版 高等教育出版社 2006,. 3 东北师范大学微分方程教研室.常微分方程,第二版.高等教育出版社.20054 蔡燧林,常微分方程,第二版.武汉大学出版社.2003.
