1、第一部分 基本概念和基本定理【内容提要】 （红色字体部分为复习重点）随机试验样本空间、样本点随机事件（基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件）事件的关系和运算（包括相容性、独立性）基本概念随机事件事件的概率频率（波动性、稳定性）概率（统计定义、三条基本性质及推论、实际推断原理）概率的直接计算（古典概型、几何概型）基本定理加法定理乘法定理公式(2-1) 、(2-1 )、(2-1 )条件概率乘法定理全概率公式和贝叶斯公式【释疑解惑】问题 1： 与 是否相等？AB答：不一定相等由对偶律可知， ；而 ABBAB问题 2：事件的相容性与独立性在逻辑上是否存在因果关系？答：如下表所示，事件的相容性与独立
2、性在逻辑上不存在因果关系特例 结论和 ，其中A0()1PA独立且相容和 ，其中独立但不相容和 ，其中 ()不独立不相容和 ，其中AB0(),1PAB若 独立，则 相容；,AB,等价地，若 不相容，则 不独立,AB问题 3：设 ， ， 同时成立，()()PAB()()PAC()()PBC能否推出 成立？C答：不能（例如第 2 章课件中的伯恩斯坦反例） ，由此可以看出“两两独立”和“相互独立”并不等价问题 4：下列式子中的等号何时成立？ ()()()|()PABPAB答：第一个等号总成立；当 时，第二个等号成立；当 独立时，第三个等号0PA,AB成立；当 不相容时，第四个等号成立,AB问题 5：不
3、可能事件与零概率事件是否相等？必然事件与概率为 1 的事件是否相等？答：不可能事件是零概率事件，但反之不然；必然事件是概率为 1 的事件，但反之亦不然第二部分 随机变量及其分布【内容提要】 （红色字体部分为复习重点）联合分布（三种刻画，分布函数的四条基本性质）边缘分布（三种刻画）条件分布（三种刻画）分布函数（定义及三条基本性质）一维随机变量一般刻画离散型分布律（两条基本性质）连续型密度函数（两条基本性质）二维随机变量三种概率分布随机变量的函数的分布和的分布 公式(5-36)、(5-39 )、(5-40)商的分布 公式(5-41)、(5-41 )最大（小）值的分布 P.151特殊刻画随机变量的分
4、类离散型非离散型 连续型其它数学刻画随机变量的函数的分布（解题思路：P.97 例 5、6）相互关系相互关系随机变量的独立性 判定方法：P.130 定义 1 及公式(5-18) (5-21)【释疑解惑】问题 1：离散型随机变量与连续型随机变量的联系与区别？答：离散型随机变量 连续型随机变量分布函数()()kkxFxP分布函数不连续，存在跳跃间断点()()xFxPftd分布函数一定是连续函数分布律与密度函数， ，0, 12,ip 1ip从而 一定成立i， ，()0f()1fx但 不一定成立连续型随机变量还具有一个特殊性质： ，即任一基本事件发生的概0, ()0CP率为零从而可以推出下列结论：不可能
5、事件是零概率的事件，但反之不然；必然事件是概率为 1 的事件，但反之亦不然 ()()()()(baPababPabfxd问题 2：连续型随机变量的密度函数是否一定是连续函数？答：不一定，均匀分布的密度函数并不连续问题 3：分布曲线（曲面）是分布函数的图像吗？答：不是，分布曲线（曲面）是密度函数的图像问题 4：密度函数是否由分布函数唯一确定？ 何时成立？()dFxf答：不是，因为修改密度函数在个别点处的函数值对其积分的值（概率）没有影响对 的连续点，有 ()fx()dFxf问题 5：联合分布、边缘分布、条件分布之间的联系与区别？答：从分布函数的定义来看，分布函数 几何意义联合分布 (,)(,)F
6、xyPxy边缘分布 (),)(,)xFx条件分布 对使得 的点 （这个条件不能少） ，()0fy| (,)|)PxyFxPxy 从分布律的定义来看，分布律 几何意义联合分布 (,)ijijPxyp边缘分布 .1()iijijx条件分布 当 时，.0ip.(|)ijjipPyx 边缘分布律体现为同一行概率求和 条件分布律体现为 在同一行概率中所占的比重ijp注意：条件分布中“ ”的条件不能少！.0i从密度函数的定义来看，密度函数 几何意义联合分布 (,)fxy边缘分布 ()(,)fxfyd条件分布 对使得 的点 ，()0f| ,()xfyf注意：条件分布中“ ”的条件不能少！()0fy三种概率分
7、布之间的相互转化关系是问题 6：给定二维随机变量 ，何时可以由 和 的边缘分布完全确定联合分布？(,)答：当 和 相互独立时，可以由边缘分布完全确定联合分布问题 7：已知二维随机变量 的边缘分布是正态分布，能否由此确定联合分布是二维(,)正态分布？答：不能，反例请参考 P.146 例 19第三部分 随机变量的数字特征【内容提要】复习重点：期望、方差、协方差、相关系数的性质1期望和方差的定义、性质随机变量 离散型分布律 ，()iiPxp1,2 连续型密度函数 ()fx期望 E1i（要求级数绝对收敛）Efd（要求积分绝对收敛）函数的期望 ()g1()()iigxp（要求级数绝对收敛）()()gxf
8、d（要求积分绝对收敛）方差 D21()iiiixEp222()(DxEfdxf期望的性质 方差的性质()EC()0DC 2E,vCo,Eov切比雪夫不等式22DE当且仅当 ，其中0D()1PE不相关独立相关2协方差和相关系数的定义、性质协方差(,)()CovE 相关系数,(,)CovrD对称性 (,)(,)ov特别地， vD对称性 ,r线性性质 (,)(,)CabCv1212(,ovov,abrr若 和 独立，则 ，但反(,)0之不然； 2,CovD随机变量不相关的四种等价定义： ； ；(,)0ov,r；ED ，等号成立当且仅当 和 之间,1r有严格的线性关系【释疑解惑】问题 1：是否所有随机
9、变量都存在数学期望？答：不是，反例请参考 P.74 例 22 及 P.98 例 7因为方差本质上是随机变量的函数的期望，所以并非所有随机变量都存在方差问题 2：随机变量的不相关性与独立性是否等价？答：“不相关”是指两个随机变量之间不存在线性函数的关系， “独立”是指两个随机变量不存在任何关系。如图所示，独立的随机变量一定不相关，但不相关的随机变量可能并不独立特例：若 ，则21(,)(,)Nr和 独立 和 不相关0若 ，显然 和 独立，21(,)(,)， 进一步，记 ，于是2N2(1212(,)更一般地，若 ， 和 独立，记 ，则(, (1,)iiin ij 1niab，其中 ， 2(,)N1n
10、iab221ia问题 3：设 ，根据正态分布的 法则可得 ，而根2(,)330.97P据切比雪夫不等式可得 ，如何看待这两个结果？89P答：只要知道随机变量的期望和方差，不必知道分布，利用切比雪夫不等式就可以估计出的下界，若利用 的具体分布可以得到更加精确的结果P第四部分 常见的概率分布【内容提要】复习重点：常见的概率分布（离散型、连续型） 1常见的离散型随机变量分布名称记号概率分布 性质二项分布 (,)Bnp，()knPCpq其中 ，0,1，,qp两点分布是二项分布的特殊情形，其分布列为 10pq ，EnDpP.63 定理 2P.66 定理 3（泊松定理）泊松分布 ()P，()!ke其中 ，
11、0,12k 0P.66 定理 3（泊松定理） ED超几何分布，()knMNC其中 ，0,1 （不考）nMN（不考）2()1D几何分布，()kPpq其中 ，,2，,01pq ， （不考）Ep2q无记忆性负二项分布，()rkrPkCpq其中 ，,，,0pq1， （不考）rEp2rqD2常见的连续型随机变量分布名称记号概率分布 性质均匀分布 (,)Uab1,()0axbfxb或,()1,xaFxbb ，2abE21()Dba正态分布 2(,)N，2()(xfxe其中 0 ，E2D标准化变换、查表、按比例取值3 法则指数分布 ()Ea，,()axef1,0()0axF其中 ，1a2无记忆性3关于抽样问
12、题假设：N 件产品中有 M 件次品，从中抽取 n 件（nM） ，求从中查出的次品件数的概率分布抽取方式 概率分布放回抽样 二项分布 ，其中(,)Bnp/N不放回抽样 超几何分布（P.69 例 17）说明：当抽取次数 n 远小于产品的总量 N 时，二项分布可以作为超几何分布的近似当抽取次数 n 很大，次品率 p 很小时，泊松分布可以作为二项分布的近似，其中 np根据棣莫弗拉普拉斯定理，当 n 很大时，正态分布也可以作为二项分布的近似4关于伯努利试验序列前提：独立重复进行一个成功概率 p = P(A)的伯努利试验试验序列停止的规则 关注点 概率分布独立重复进行确定的 1 次 事件 A 出现的次数
13、两点分布 (1,)Bp独立重复进行确定的 n 次 事件 A 出现的次数 二项分布 n直到事件 A 第 1 次出现 试验进行的次数 几何分布直到事件 A 第 r 次出现 试验进行的次数 负二项分布（又称巴斯卡分布）说明：两点分布是二项分布的特殊情形；几何分布是负二项分布的特殊情形5二维正态分布分布的性质（P.122123，P.125 例 5，P.129 例 9，P.131 例 10，P.147 注2）第五部分 中心极限定理和大数定律【内容提要】 （红色字体部分为复习重点）中心极限定理切比雪夫大数定理伯努利大数定理辛钦大数定律大数定律棣莫弗拉普拉斯定理 公式(5-43)、(5-43 )列维林德伯格定理附注：棣莫弗拉普拉斯定理是列维林德伯格定理的特殊情形；伯努利大数定理是切比雪夫大数定理的特殊情形
