1、数学物理方法复习提纲第九章 定解问题的物理意义1、理解波动方程、热传导方程、Poison 方程和 Laplace 方程的物理意义,根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题，掌握确定这两类边界条件的方法。3、初始条件的意义及确定。4、 重点掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。第十章 利用积分变换解无界问题1、熟练掌握利用 dAlembert 公式计算一维无界的齐次波动方程。2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。第十一章 一维有界问题的分离变量1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题
2、的通解形式。2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于 方程)(tT的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次方程和齐次边界条件的本征函数的确定； 2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开； 3)求解关于 方程的解； 4)定解问题的解。)(tT5、掌握非齐次边界条件的齐次化。第十
3、二章 球坐标的分离变量 Legendre 多项式1、了解波动方程、热传导方程的分离变量，Helmholtz 方程的导出和含时间变量满足的方程。2、了解 Helmholtz 方程在球坐标中分离变量得到的三个方程，Legendre 方程。3、Legendre 方程的解，Legendre 方程的本征值问题：)(3210)(2)1xPyllxylxylx本 征 函 数 ： ，本 征 值 ： 有 限有 限 （ 4、Legendre 多项式的性质：1) 重要的公式： )(,)1(xlll （要求记忆）)3521,3(2,(,1)( 30 xxxPx 2) Legendre 多项式的母函数02)(llrrx
4、1r3) Legendre 多项式的递推关系（不要求记忆） 0)()(1()1( 1xlPxPl ll l4) 掌握 Legendre 多项式的正交关系和广义 Fourier 展开正交关系 lkkldx12)(10)(llPCxf dxPflll)(亦可以利用系数比较法计算系数 。lC5、熟练掌握稳态轴对称问题1）首先根据具体物理问题写出相应的定解问题；2）稳态轴对称问题的通解定解问题 )(),(02fruacos),(01llllPBAru3）稳态轴对称问题的特解：a)根据定解问题的物理意义选择特解，球内问题和球外问题通解的系数和 的取值 。 ll0lAB球 外 问 题 ：球 内 问 题 ：
5、b）由边界条件 ，利用系数比较法确定特解的系数 或者)(),(frua lA。l第十三章 柱坐标的分离变量 Bessel 函数1、掌握波动方程、热传导方程的分离变量中含时间变量满足的方程，Helmholtz 方程在柱坐标中分离变量得到的三个方程以及各个参数的意义，Bessel 方程2、周期性边界条件的本征值问题：1）本征值问题 )(2(0)“n2）通解 ,12iniiin ee或者 n=0,1,2,3,cos)(3）本征函数 的正交关系及按本征函数 的 Fourier 展开inein3、熟练掌握圆域 Dirichlet 问题的通解与特解定解问题 )(),(02fua通解 inneBA0,0 )
6、(l或 )cossi(),(1 nDCu nn特解：根据定解问题的物理意义选择通解的各项0,0nAB圆 外 问 题 ：圆 内 问 题 ：由边界条件，利用本征函数 的正交关系，确定特解的系数，亦可以利ie用系数比较法。4、Bessel 方程的解， 满足的方程的本征值问题)(R0)( 0)(“22aRank 有 限本征值： （ 是 n 阶 Bessel 函数的第 m 个零点）xknm本征函数： )()()axJmn5、Bessel 函数的性质（整数阶）1）重要的公式： )(1)(xJnn2）Bessel 函数的母函数： ntxtxJe2利用 t 的一些特殊值，证明一些等式。3）n 阶 Bessel
7、 函数的递推公式（不要求记忆） )()(1xJxJdnnnn应用 a)递推公式展开时的一些特例；b)掌握公式在计算 型积分时的应用。dxJnm)(4）Bessel 函数的正交关系（了解）本征值 和本征函数 的意义，axknm),21()knm本征函数 正交性,2,1()Jna lnlmxJd0 )( 5）本征函数 的广义 Fourier 展开（了解）,()kn1)(mCfanmndfkJxJ021)()(6、熟练掌握柱坐标系中的定解问题的求解 解题步骤和方法：（1）根据物理问题写出定解问题；（2）分离变量得到相应的方程；（3）本征值问题：确定本征值和本征函数；（4）确定关于其余变量方程的解；（
8、5）定解问题的通解；（6）由定解条件确定待定系数（了解）。1）稳态问题：具有圆柱形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，上、下底面具有轴对称边界条件的稳态问题的定解问题。（1） 定解问题 )()(0,212fufuazhzza（2） 分离变量 ,(ZR0)()()(022202 kddkzZm（3）本征值： axkm0本征函数： ),21()0J（4） 关于 方程的解)(zZ )(0000 zkshBzkcAeDCmmzkmzkm （5）方程的通解： )(),( 01 Ju2）波动问题或热传导问题：具有圆柱（圆）形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，具有轴对称初始条件的波动问题的定解问题。a) 波动问题 )()(00),(),(022ttRuuRtat0)()()(2222 RkdRdtTkatm本征值： xkm0本征函数： ),21()0Jsincos()( 0takBtakAtTmmm)()i()(),( 01 00 mkJtttub) 热传导问题 )(0),(),(2tRuRtuDt0)()()(2220RkdRdTktm本征值： xkm0本征函数： ),21()0JtkDmeAtT20)()()(),(01)(20mtkJtu
