1、- 1 -一、单项选择题 （从下列各题 四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题( )内。 ） （每小题3分，共15分）1，常微分方程 的阶数是（ A ） 。3280dyyxA, 2 B，3 C， 4 D， 5。2，下面四个方程, 是线性常微分方程的是（ B ） 。A， B, C, D, 。sin()xy(4)3sinyxy2y3, 常微分方程 的一个通解是（ D ） 。320),A， B， C， D， 为任意常数。2xe1xce21xce21xce21,4，下述方程中，是全微分方程的是（ B ） 。A， B，0xdy20xdyC， D，0xdy2xy5，下述二阶偏微分方程中，在
2、整个平面上是双曲型方程的是（ A ） 。A， B， 22uatx20uatxC， D，20y2t二、填空题（将答案写在该题横线上。每小 题5分，共 25分。 ） 1微分方程主要有两类，它们分别是_常微分方程_和_偏微分方程_。 2设 是二阶线性微分方程 的两个线性无关的解，则该二)(,2x12()()0yaxy阶线性方程全部的解可表示为 _ _。 21C云南财经大学 2007 至 2008 学年 第二 学期“微分方程 ”课程期末考试试卷 A- 2 -3常微分方程边值问题 的一个非零解是_ _ _。()()0,0.Xx xCysin4常微分方程 的一个通解是_ _。2(y)xe )21ln(ey
3、x5偏微分方程 的一个通解是_ _。0u三、 （10 分）试求出常微分方程 的一个特解。2cotsin,|0xyxy解：先求： ； ；;0cotxydxytxydcot两边积分： ； ；Cllnn)(sisin设： (*)xy把（*）代入原方程： ;sin2cotsin)(co)(sin)( xxxC; ;2 C2所以， 是原方程的特解xxysii又因为 ， 从而， ； ;02x 14242最终特解为： sin22xy四、 （10 分）试求出常微分方程 的一个通解。(4)(2)0()xt解： （二重）0124x12x1对应的解为： ， ， ， tettte特解为： tttt CCx4321五、
4、 （10 分）试求出常微分方程 的一个通解。2cos()xyeyx解：先求对应齐次方程 的通解0特征方程是 2y- 3 -故特征根 对应齐次方程通解为：;1,21ii即 iieCy xeCxeysinco2因为数 不是特征值，故原方程具有形如ii的特解.)snco(xBAeyx将上式代入原方程，由于 xBexeexx cossini xBexexBexeAey sincoscossinscos 故xexeBAcosin)4(c)4( ;0,12所以原方程通解为： )sin(co21sinco1 xexCxeyx六、 （10 分）试求出常微分方程组 的一个通解。3dytx解：系数矩阵是： 31A
5、 0)2(1)( EA2可设其解形如 xeRxY210)()满足方程组 10,R)2(0EA由于 ，1)2( 0)(2从而 ,01R- 4 -于是 对应的两个解是：21xexY10)(1x)(22最后得到通解：21221)(Cxexyx七、 （10分）试用向前欧拉(Euler)法求出常微分方程组初值问题的数值解（要求时间t的步长大小为0.5） 。,013,().()2.dxyttxtyt解：系数矩阵为： 312A075)( 2EAii235,2351对应的单位向量是：21和 ii312,通解为： teiCteiCtt 2sn23cos551 当 时0.)(,0.)(tytx八、 （10 分）试设计一种有限差分法来求解下列初边值问题（要求时间 t 方向用向前欧拉 (Euler)法，空间 x 方向用中心差分法 ）- 5 -2021,12,|,|.txxutxt
