1、1验证: 是 在 上的一个原函数.2xysng|(,)解:当 时, 当 时, 而 所02,;yx02,;xy0000limli,lilim(),xxxxyy以 即 得证.0,xy|,2.应用换元积分法求下列不定积分:(1) 221sin111cs cos()cosi 2cosxdddxdxx x1(ln|o|lco|)l2CC(2) 1122222()()()1xdxdxx(3) 224()arctn4Cxx(4) 1(ln|)l|lndx(5) 3 4484224411112()()ln2()228x xd Cxx(6) ln|l|ln(1)dxCx (7) cos1t (si)l|si|i
2、nixdx(8) 542243521s()n(1ins)(insinsixdxdxxC (9) (据题(13).11coslincosidx C(10) 221()artn1()x xxx xeddeee(11) 2223(38l|38|8 Cx(12) 33 23 2()113ln|(1)1()()1()xddxdxxCx (13) 令 则 ,所以2(0).dxatan,xu2sec,dxu2secxau22secsx 2l|tn|l|xaCC2ln|xa(14) 令 则tan,x3222222sec111cossin()du xdudaaaxa(15) 其中 再令 则542211(,tx
3、2.tx,t2,tudt2235()1(),1tudduC故 3552221()()xxx3.应用分部积分求下列不定积分:(1) ; (2) (3) (4)2(ln)xdarctn;xdln();ldx 2(arcsin);xd(5) (6) 3sec2解: (1) 2 2(l)(l)l(l)(l).xxxC(2) 22 2111arctnarctn()arctn(arctnarct)xdddxxC(3) l()ll()lxxx(4) 22 21arcsin(arcsin)arcsind dx22(i)i1(i)(arcsin)xxxdx 2arcsn(arcsn).C(5) 3 2eetet
4、tansectatsecxdxxdxxx2 331cossctanctd31sinsectansecl2xxxd所以 3 ital.4sCx（6）222 222 axdxdxaxddxa22 2ln|ad所以222 21(l|xxxaC4.求下列不定积分:(1) 32 321(1)ln|1|1dxdxx(2) 22 2 (4)()l|l|4|ln734 3xxC (3) 32 211(1)ln|6dxxxd 22()ln|63dx221()1l|l(1)3 4xxx2 132ln|l()arctn()6xxxC21 1l|l(1)rt()33x(4) 42222( )4()()1)1dx xd
5、x dx 2 2 21ln(1dxx x2 2()1ln(1)1dxx2 12ln(1)2arctn()xxC2 1l()arctn()xxC同理有 2 221l()2arctn(1)dx xCx所以241lnrt()arct()441xx (5) 2 221 ()4()()()dxxd212211lnarctn4()884dxCx 222222() (arctn)(1)41(1)()4xd xCxxx所以 2 21ln|l rt()8()x(6) 22222221(4)1051() 4()xddx dxxx 122221()1arctn1()4()442x Cx x12arctn()(1)C
6、所以 22253arctn(21).()()xxdxC5. 求下列不定积分:(1) 令 则 ,所以.53cosxtan,2xarctn, 22,cos11tdxtx2211arctn(2)53cos 453dxdttCt1arctn(2)xC(2) 令 则 所以2.sinxta,x 22rctan,si,11txdtx222216arctn()i 32ddtttCt6arctn(t)2xC(3) 令 则t,2 2111tan tdxdt dtt211ln|l()arctn4ttCl|ln(a)24xC(4) .令 即 则22511()xddx15sin,2xt15sin,2xt5cos,2dx
7、t则2 23(sincos)24xtt3coscsi8tttC27111ari()485xxC(5) 令 则 ,2.dx2,t21t2(1),12tt2(1),tdxdt所以 22ln|ln|()|1dttCxCx(6) 22 2 2arcsin1arcsi1arcsin1arcsi() (),xxddxx令 则有 ,再令 则2,tx22()11ddttx,tu2,ttu所以 2 222111() ln()1ududxt Ctx21lnxC所求积分为:2arcsinl1xC(8) 22211l()l()ln()2 (1)x xdd dxx 221ln()l|l()11CCx x(9) 令 则7.sicodtan,x782 24rctan,sincostan,(1)tdtxx所以2 227(1)11()5inxttttC 212ta(t).5C(10) 22 2211()()1(1)xxxx eeededd221()(1)xxedd222()(1)x xx ed222(1)(1)xxxeeedd21xeC
