1、北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 1欲索取更多考研资料，请上北京天问教育网站官网！清华大学硕士生入学考试试题 1999 数学分析一求极限nne)1(lim二 .设实函数 在 上连续，在 内处处可导，且 （存在）f,0),0Axfn)(lim证明：当且仅当 时 在 一致连续.Af,三.设 为 中的一个有界开集，映射 满足2R2:RF（1） )()(1CF（2）F 的 Jacobi 矩阵的行列式在 内处处不为 0证明：对任何 方程 在 内至多有有限个解。),(2p),(),(yxp四.计算二重积分 ，其中 D 为 x 轴， y=x， 和dxyID24 1yx围成的有界闭区域2y
2、x五.设实函数 ，令,01Cf0 ,.321,)cos(ndxfn证明： 1n北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 2清华大学硕士生入学考试试题 2000 数学分析一（30 分） （1）用 语言证明：1limx（2）设函数 在点 a 可导，且 ，求f 0)(f nnaf)(li（3）求极限 其中,.21limpnn.二 . （15 分）计算 ，其中 L 是椭圆 沿逆时针方向Lyxd2 12byax三 （15 分）设 下的最大值和最小值.0,312zzk在 条 件求四.（20 分）设距离空间（X ，d）是完备的，即（X ，d）中的任何 Cauchy 列都收敛：是压缩的，即 证明：
3、: Xyxyx,),()(,),10(使 得存在唯一的 .,使 得五.（20 分）设 是 中的有界闭集， 是上半连续的，即nRRf: )(),(,0),(,0 xfyfxyxyxx 时 ， 有且当证明： 在 达到最大值.f清华大学硕士生入学考试试题专用纸数学分析北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 3准考证号 系别 考试日期 2001.1 专业 考试科目数学分析 试题内容：一、 （10 分）设 ，其中 ，,limanbnli0用 N 语言证明 abnn二、 （20 分）作 图。xexf1_2)(三、 （15 分）计算 ，其中 L 是曲面dzyxdzdyL )()(22与 的交线
4、 的部分，曲线的方向规定为从原点进入第xzyx422x20一挂限的方向。四、 （15 分）计算 ，这里 为不超过 x 的最大整数。njinjilm21五、 （20 分）设 R 种数列满足 ， 满足 ，n=1,2.,anbnnqab1其中 00 使y)f(x,)y,(00),(limyxf得当 0y-y 0 时， (y)存在。0),(limxf求证： Axfy0,)(li二、 （20 分）设半径为 r 的球面 的球心在一固定球面：x 2+y2+z2=a2(a0) 上，问当 r取何值时，球面含在球面内部的部分面积最大？三、 （20 分）设 0(x) a,a(a0), n(x)= n-1(t)dt,
5、(n=1,2,).fCfxf0求证： n(x) 在a,a上一致收敛于 0.f四、 （20 分）设 (x,y）在 R2上二阶连续可微， (x,2x）=x, x(x,2x）=x 2, 且ffxx(x,y)= yy(x,y), 2. ffyx),(求： y(x,2x）, yy(x,2x) 及 xy(x,2x). f五、 （25 分）设 (0）存在， (0)=0,xn= .ff )/(12kf求证： 存在，且 /2.nxlimnxli)0(f六、 （25 分）设 (x) 且在(0,1)上可导，且f1,C(1)= .f2/10)(dx求证：存在 ， 使得 （ ）= - ( )/,（ff七、 （25 分）
6、设 ， 在 R 上连续， (x)= (x); , 并且 (x)(x) fgfRxf, .Rx求证： (x) (x) f x欲索取更多考研资料，请上北京天问教育网站官网！北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 5清华大学 2006 年数学分析试题1. 简述有界变差数列，并证明：有界变差数列一定收敛。2. 证明若 f(x)在区间 I 上处处连续，且为一一映射，则 f(x)在 I 上必为严格单调。3. 设 f(x)在区间 a,b上非负且三阶可导，方程 f(x)=0 在 (a,b)内有两个不同实根。证明使 。(,)ab(3)0f4. 设 f(x)在区间 a,b上连续，求证 ，并计算()(
7、)bbaafxdfxd。236(cos)xd5. 比较 与 的大小，取 n8.1()n()n6. 设在任意的有穷区间0,A上 f(n)正常 R 可积，且 ，求证：lim()0xf01lim()txfdx7. 证明 在 x0 上一致收敛。20ye8. 证明：对连续函数 f(x)有 。2 11()2()xyzfdsftdA9. 已知 f(x)可导， ， 。则 时有 ，()fa()xx()fxa。()0fx北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 6清华大学 2006 数学分析真题参考答案1若数列 满足条件 则称 为有界变nx1221nnxxxMAnx差数列，证：令 ， （n=2,3,.
8、）那么10y1n单调递增，由条件知 有界， 收敛 ，从而 ，使当nynny0,N时，有 ，此即：mNmy，而121nnmxxxA，由柯西准则 收敛。121mn nx2证：（反证法）（1）若存在 ，且 使得 ，考虑123,xI123x123()()fxf和 。()f()f(i)若 ，由于 在 上连续，由介值定理，必存在132()f()f12,，使 ，定与一一映射矛盾。42,x43x(ii) ，这时考虑 ，必存在 使得312()()ffx23,x523,x，也得到矛盾。51()f(2)若存在 且 ， 。由介值定理，存在23,xI123123()()ff， ，使得 ，也与一一映射矛盾。41523,x
9、4xf(x)在 I 必严格单调。3证：设 在 内两个不同实根为 ，即 。()f,ab1212()0fx由罗尔定理，存在 ，使 （1）12(,)cx()0fc因为 ，从而为 极小值点，由费马定理 （2）()0fxf 1()()ff由（1） ， （2）对 在 和 用罗尔定理，则存在()1,c2,x使 。再一次对 在 上应344(,),c34()()0ff()fx34,用罗尔定理， ，使 。3,xab()北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 74证：令 t=a+b-x,则 。对 ，()()()bbbaaafxdftdfxd6a用前一部分结果，有 原式3b3323666sin11211
10、3lnln2()(2) 6xddxdxx 5解：令 ， ，则 exy,比较 与 大小 比较 与xn1yyxlnyxe大小 比较 与 的大小 比较 与 的大小。lnxyelxlnyln故考察函数 ， 当 时， ，从而l()(0)fx21l()xfe()0fx时， 则 exy()fylnl()()xy)y从而 即当 时， ， 时lnlyxyeyx81en1()()n6证：由条件 ，对任给的 ，存在 ，使当 时，lim0xf0Ax，故对一切 ，有()ftA于是对00 01111()()()()t t AAtAxdfxdfxdfxdt t，原式得证。,lim()xft7证： 时 ，最大值021xyAxAxAede ()(0)tfe，故 ，1()ef21xy20sup()xyAxd因此反常积分在 上一致收敛。08证：在 平面上，将圆zu北京天问教育 远程考研政治保过 不过全额退款天问教育 8表示成参数就是221xyzu 21cosinxuvy(02)则 2dsEaFdv2 1101()()2()xyzfsfudfud 9本题只要证 即可，令 ，limxa xFe()xGe则 严格单调上升趋于 ， ，应用推广 Stolz 定理()G()x(0()1lilili()(xxxFxfG应用柯西中值定理 lim()li()xffa
