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数学分析(三)试卷3new.doc

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1、数学分析(三)试卷 3 及答案一 叙述题(每小题 10 分,共 30 分)1 叙述第一类曲面积分的概念。2 叙述 Stokes 公式的内容。3 叙述 Dirichlet 引理及其等价形式。二 讨论题(每小题 10 分,共 20 分)1 讨论函数 至 少 有 一 个 是 无 理 数与 都 是 有 理 数与 yxyxf 0 1),(在任意有界闭区域 上的可积性。D2 试确定函数 dxaIa03)1ln()(的连续范围。三 计算题(每小题 10 分,共 30 分)1设四边形各边长为定值(分别为 ) ,求其最大面积,并且指出此时四边形的几dcba,何特性。2求球面 在圆柱 外那部分曲面 的面积。22R

2、zyxRxyx2S3 将下列函数展开成 Fourier 级数 2 0 )(2xxf并利用其展开式求 .12n四 证明题(每小题 10 分,共 20 分)1 若1) 积分 收敛,adxf)(2) 函数 有界,并且关于 是单调的,,yx则积分 一致收敛。axf),(2 设有半径为 的球面,其球冠的高为 ,证明球冠的面积Rh.RS2球 冠答案一 叙述题(每小题 10 分,共 30 分)1设曲面 为有界光滑(或分片光滑)曲面,函数 在 上有界。将曲面),(zyxfz用一个光滑曲线网分成 片小曲面 ,并记 为 的面积。nn,.21 ii在每片 上任取一点 ,作和式i),(ii。iniiif1,如果当所有

3、的小曲面 的最大直径为 趋于零时,这个和式的极限存在,且与小曲i面的分法和点 的取法无关,则称此极限值为 在曲面 上的),(ii ),(zyxfz第一类曲面积分,记为。iniiifdSzyxfI 10),(lm),(2设 是光滑曲面,其边界 为分段光滑闭曲线。若函数 , 和,zyxP),(zyxQ在其边界上上具有连续偏导数。则成立),(zyxR dxydzxRdyzQRdzQP,SPQzPz coscoscos其中 取诱导正向。3设函数 在 单调,则成立)(x,0。 0sin)(limpxdxp 0等价形式: = 。i)(2二 讨论题(每小题 10 分,共 20 分)1 首先,函数 在任意有界

4、闭区域 上是不可积的。下面证明这一点),(yxf D任给区域 的分割 ,将 分成 个小区域: ,设它们的面积分别是:DTnn,21.在小区域 上任取一点 .n,21 kDkkDP),(若 与 都是有理数,有 ,则积分和knfk ,21 ,.nkkf10|),(其中 是区域的面积.|D若 与 至少有一个是无理数,有 ,则积分和k nkfk ,21 ,0),(,nkkf1,因而,当 时,积分和 不存在极限,即函数 在任意有0|Tnkkf1),( ),(yxf界闭区域 上是不可积的.D2注意到 可能为奇点,将积分写成x。)()1ln()1ln()( 21303 aIdxdxaI aa 因为当 时 ,

5、所以只有当 即 时 才收敛;而显然只xax)l(3a34)(1I有当 时 才收敛。所以 的定义域为 。1a)(2I)(I),1(现在说明 在其定义域上连续。为此只要说明在任意闭区间 上, 连续)4,1(,cb)(aI即可。对任意闭区间 ,由于)4,1(,cb,4 ,10 ,)ln(l)ln( 333 cabxxxxcaa且 收敛。因此由 Weierstrass 判别法, 关于dIc103)l()( dxIa103)ln()(一致收敛,因此被积函数 在 上的连续性知, 在 上,baax)1ln(3,0(cb)(1I,cb连续。由于 ,且 收cabxxxxbaa 1 , ,)1ln()l()1ln

6、( 333 dxa103)ln(敛,所以由 Weierstrass 判别法, 关于 一致收敛,因此被积函数dxa13)ln(,cb在 上的连续性知, 在 上连续。ax)1ln(3,),cb)(2I,综上所述, 在其定义域 上连续。)(21aII4,1三 计算题(每小题 10 分,共 30 分)1 设 ),cos2s(sini 22dacbdbcadL 则有 .0sin2cos,bcbLada因而 .)si(sin于是 ,此时得最大面积是 并且四边形为圆 .)(41222cbdabcd的内接四边形.2 已知球面表面积为 ,设该球面在一个圆柱内的表面积为 ,则所求球面面积为24R1S.而124S)

7、.2( 42cos02/212RdrRdyxSxy因此 .28RS3 易知函数 是按段光滑的,因此可以展开成 Fourier 级数,计算 Fourier 级数如下:f ,2 )(120dxfa,1)(4 cos 2nn.)1(2(2 sin) 130 nndxfb所以当 时,),(),0x .2sin43si)3(2sinsi)43(2 5co1c(o8 sin)1(2(2s4)( 221 32 xxxx xnxfn 当 时,由于 所以x ,0)0(ff ).513(82当 或 时,由于 所以2 ,22)().513(822 于是 即,85132 .61n四 证明题(每小题 10 分,共 20 分)1 证明 设 则由 1)知:对任给 ,总存在数 ,使得当,|),(|Lyx0aB)(时,就有 而BA .2|)(| LdxyfA ,2|),(|,)AALdxyfx 所以积分 在对应的域内一致收敛. ,()yf2. 证明 设球面的方程是 于是,球冠的面积.22Rzx.122dxydxySDDx 这里 .)(: 222hRyx设 则有,20,)(0: ,sin ,co 22hRrrr. 0)(222 22D RhdrdxyRS

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