1、微积分论文 高等数学论文浅谈微积分中的反例摘要： 本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。 Abstract： This article lists Calculus common typical counter-examples and discusses the role of counter-examples in Calculus Teaching. On the one hand，the counter-exam
2、ples can strengthen the concept and reveal connotation of the concept，it make student exactly grasp the relationship between the concepts，thoroughly understand the conditions of theorem. On the other hand it trains students reverse thinking，what is more it helps to develop the math skills of student
3、s. 关键词： 反例；微积分；函数；微分；积分 Key words： counter-examples; Calculus; function; Differential; Integral 0 引言 用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。在微积分中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辨证
4、思维方式的形成。 1 连续、可导、可微问题 微积分中对于无穷大与无界、极大(小) 值与最大(小) 值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。 情形 1 若函数 f（x）在 a 连续， 则函数 f（x）在 a 也连续，但其逆命题不成立。 反例：函数 f（x）=1，x? 叟 0-1，x0，总存在 x=n，当 n时，有 f（x）=ncosn=n G 然而，当 x时，若取 x=n+ 此时 f（x）=n+cosn +=0。即 f（x）并不趋于。 4 函数的极大(小)值与最大( 小)值问题 情形 94可导函数的极值点一定是函数
5、的驻点，但驻点不一定是函数的极值点。 反例：x=0 是函数 f（x）=x3 的驻点，但不是其极值点。 情形 10 函数 f（x）的极大(小) 值不一定就是最大( 小)值。 反例：函数 f（x）=x-4x+3x+1，x-1，3 ，由于 f（x）=4x-8x+3=4（x-1）-1 ，易见 x=或 x=为 f（x）的稳定点，列表如下： 由上表可知：点为 f（x）的极大值点，极大值为；点 x=为f（x）的极小值点，极小值为 1。但函数 f（x）在点 x=3 取得最大值为 6，在点 x=-1 取得最小值为-。 上述归结，若函数 f（x）在闭区间a ，b 上连续，则 f（x）在a，b上一定有最大、最小值。
6、若函数 f（x）的最大(小)值点 x0 在区间内，则 x0 必定是 f（x）的极大(小) 值点。但 f（x）的最大(小)值也可能在区间端点处取得，则 f（x）的极大( 小)值不一定就是最大(小 )值，要通过比较才能确定。 5 结语 微积分中的反例有助于提高学生的数学逻辑思维能力,突出数学所表达的逆向思维以及体现了数学的严谨性.透彻理解命题、定理条件的充分性及必要性,为了分清条件的充分性与必要性使用恰当的反例是非常有好处的。反例对巩固和加深对概念与定理的理解，以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。 在微积分的教学中，反例的试举已成为提高教学质量的重要的一环。另一方面：“反例教学”对培养学生的数学思维能力方面的作用也是显著的。它不仅有助于培养学生纵向思维能力，而且有助于培养和发展学生的横向思维能力，更有助于培养学生的数学技能，并使学生养成严格推理、全面分析问题的能力。 参考文献： 1 刘福保 .反例教学法在数学分析中的作用和构造J.科技创新导报，2009，NO.11. 2 薛迎杰 .浅谈反例在高等数学教学中的作用J.中国校外教育，下旬刊. 3 马建珍 .反例在数学分析中的作用J.宜宾学院学报，2006，6（12）. 4 华东师范大学数学系.数学分析( 第三版) M.北京：高等教育出版社，2001.
